Центробежная сила

Центробежная сила — это вымышленная сила в механике Ньютона (также называемая «инерционной» или «псевдосилой»), которая действует на все объекты, если смотреть во вращающейся системе отсчета. Он направлен радиально от оси вращения. Величина центробежной силы F, действующей на объект массой m на расстоянии r от оси вращения системы отсчета, вращающейся под углом скорость ω равна: $F=m\omega ^{2}r$

Эта фиктивная сила часто применяется к вращающимся устройствам, таким как центрифуги, центробежные насосы, центробежные регуляторы и центробежные муфты, а также к центробежным железным дорогам, планетарным орбитам и наклонным кривым, когда они анализируются в неинерциальной системе отсчета, такой как вращающаяся система отсчета. система координат.

Как ни странно, этот термин иногда также используется для обозначения реактивной центробежной силы, реальной независимой от системы координат Ньютоновой силы, которая существует как реакция на центростремительную силу.

С 1659 года неолатинский термин vi centrifuga («центробежная сила») засвидетельствован в заметках и письмах Христиана Гюйгенса. Обратите внимание, что на латыни centrum означает «центр» и ‑fugus (от fugiō) означает «бегство, избегание». Таким образом, центрифуга в буквальном переводе означает «бегство от центра».

В 1673 году в книге Horologium Oscillatorium Гюйгенс пишет (в переводе Ричарда Дж. Блэквелла):

Есть еще один вид колебания в дополнение к тому, который мы рассмотрели до сих пор; а именно, движение, при котором подвешенный груз перемещается по окружности круга. Из этого мы пришли к конструкции других часов примерно в то же время, когда изобрели первые. […] Первоначально я намеревался опубликовать здесь длинное описание этих часов, а также вопросы, относящиеся к круговому движению и центробежной силе, как это можно было бы назвать, предмету, о котором я могу сказать больше, чем могу сделать в настоящее время. Но для того, чтобы те, кто интересуется этими вещами, могли скорее насладиться этими новыми и не бесполезными размышлениями, и для того, чтобы их публикация не была предотвращена какой-либо случайностью, я решил, вопреки моему плану, добавить эту пятую часть […].

В том же году Исаак Ньютон получил работу Гюйгенса через Генри Ольденбурга и ответил: «Я молю вас вернуть [г-ну Гюйгенсу] мою скромную благодарность […] Я рад, что мы можем ожидать еще одного рассуждения о vis centrifuga, которые могут оказаться полезными в естественной философии и астрономии, а также в механике».

В 1687 году в «Началах» Ньютон развивает vis centrifuga («центробежную силу»). Примерно в это же время эта концепция получила дальнейшее развитие Ньютона, Готфрида Вильгельма Лейбница и Роберта Гука.

В конце 18 века современная концепция центробежной силы развивалась как «фиктивная сила», возникающая во вращающейся системе отсчета.

Центробежная сила также играла роль в дебатах в классической механике об обнаружении абсолютного движения. Ньютон предложил два аргумента для ответа на вопрос, можно ли обнаружить абсолютное вращение: аргумент вращающегося ведра и аргумент вращающихся сфер. Согласно Ньютону, в каждом сценарии центробежная сила будет наблюдаться в локальной системе отсчета объекта (системе, в которой объект неподвижен), только если система вращается относительно абсолютного пространства.

Примерно в 1883 году был предложен принцип Маха, согласно которому вместо абсолютного вращения движение далеких звезд относительно местной инерционной системы порождает посредством некоторого (гипотетического) физического закона центробежную силу и другие эффекты инерции. Сегодняшний взгляд основан на идее инерциальной системы отсчета, которая дает привилегии наблюдателям, для которых законы физики принимают простейшую форму, и, в частности, системам, которые не используют центробежные силы в своих уравнениях движения для описания движений. правильно.

Примерно в 1914 году аналогия между центробежной силой (иногда используемой для создания искусственной гравитации) и силами гравитации привела к принципу эквивалентности общей теории относительности.

Центробежная сила — это внешняя сила, действующая во вращающейся системе отсчета. Его не существует, когда система описывается относительно инерциальной системы отсчета.

Все измерения положения и скорости должны производиться относительно некоторой системы отсчета. Например, анализ движения объекта в авиалайнере в полете может быть произведен относительно авиалайнера, поверхности Земли или даже Солнца. Система отсчета, которая находится в покое (или движется без вращения и с постоянной скоростью) относительно «неподвижных звезд», обычно считается инерциальной системой отсчета. Любую систему можно анализировать в инерциальной системе отсчета (и, следовательно, без центробежной силы). Однако часто вращающуюся систему удобнее описывать с помощью вращающейся системы отсчета — расчеты проще, а описания интуитивно понятны. При таком выборе возникают фиктивные силы, в том числе центробежная.

В системе отсчета, вращающейся вокруг оси, проходящей через ее начало, все объекты, независимо от состояния их движения, оказываются под действием радиально (от оси вращения) внешней силы, пропорциональной их массе, расстоянию от оси вращения рамки, и к квадрату угловой скорости рамки. Это центробежная сила. Поскольку люди обычно испытывают центробежную силу изнутри вращающейся системы отсчета, например. на карусели или транспортном средстве это гораздо более известно, чем центростремительная сила.

Движение относительно вращающейся системы отсчета приводит к появлению еще одной фиктивной силы: силы Кориолиса. Если скорость вращения системы отсчета изменяется, требуется третья фиктивная сила (сила Эйлера). Эти фиктивные силы необходимы для формулировки правильных уравнений движения во вращающейся системе отсчета и позволяют использовать законы Ньютона в их нормальной форме в такой системе отсчета (за одним исключением: фиктивные силы не подчиняются третьему закону Ньютона: у них нет равных и противоположных аналогов). Третий закон Ньютона требует, чтобы аналоги существовали в одной и той же системе отсчета, следовательно, центробежная и центростремительная силы, которые этого не делают, не являются действием и противодействием (как иногда ошибочно утверждают).

Пассажиры, едущие в транспортном средстве, например в автомобиле, меняющем направление, сталкиваются с обычным опытом, который порождает представление о центробежной силе. Если автомобиль движется с постоянной скоростью по прямой дороге, то пассажир внутри не ускоряется и, согласно второму закону движения Ньютона, результирующая сила, действующая на него, равна нулю (все действующие на него силы уравновешивают друг друга). ). Если автомобиль входит в поворот, который поворачивает влево, пассажир испытывает кажущуюся силу, которая, кажется, тянет его вправо. Это фиктивная центробежная сила. В рамках местной системы координат пассажиров необходимо объяснить их внезапную тенденцию начать ускоряться вправо относительно автомобиля — тенденцию, которой они должны противостоять, прикладывая к автомобилю силу, направленную вправо (например, силу трения о автомобиль). сиденье), чтобы оставаться внутри в фиксированном положении. Поскольку они толкают сиденье вправо, третий закон Ньютона гласит, что сиденье толкает их влево. Центробежная сила должна быть включена в систему отсчета пассажира (в которой пассажир остается в состоянии покоя): она противодействует левой силе, приложенной к пассажиру со стороны сиденья, и объясняет, почему эта в противном случае несбалансированная сила не заставляет его ускоряться. Однако неподвижному наблюдателю, наблюдающему с эстакады выше, было бы очевидно, что сила трения, действующая на пассажира со стороны сиденья, не уравновешивается; она представляет собой результирующую силу слева, заставляющую пассажира ускоряться по направлению к внутренней части поворота, что ему и нужно, чтобы продолжать движение вместе с автомобилем, а не двигаться по прямой, как в противном случае. Таким образом, «центробежная сила», которую они ощущают, является результатом «центробежной тенденции», вызванной инерцией. Подобные эффекты наблюдаются в самолетах и американских горках, где величина кажущейся силы часто указывается в единицах «G».

Если камень вращается на веревке в горизонтальной плоскости, единственная реальная сила, действующая на камень в горизонтальной плоскости, прикладывается нитью (гравитация действует вертикально). На камень в горизонтальной плоскости действует чистая сила, действующая по направлению к центру.

В инерциальной системе отсчета, если бы не эта результирующая сила, действующая на камень, камень двигался бы по прямой линии, согласно первому закону движения Ньютона. Чтобы камень продолжал двигаться по круговой траектории, к камню должна постоянно прикладываться центростремительная сила, в данном случае создаваемая струной. Как только его уберут (например, если веревка порвется), камень начнет двигаться по прямой, если смотреть сверху. В этой инерциальной системе отсчета понятие центробежной силы не требуется, поскольку все движение можно правильно описать, используя только реальные силы и законы движения Ньютона.

В системе отсчета, вращающейся с камнем вокруг той же оси, что и камень, камень неподвижен. Однако сила, приложенная струной, по-прежнему действует на камень. Если бы кто-то применял законы Ньютона в их обычной (инерциальной) форме, можно было бы прийти к выводу, что камень должен ускоряться в направлении результирующей приложенной силы — к оси вращения — чего он не делает. Центробежная сила и другие фиктивные силы должны быть включены вместе с реальными силами, чтобы применить законы движения Ньютона во вращающейся системе отсчета.

Земля представляет собой вращающуюся систему отсчета, поскольку она вращается вокруг своей оси каждые 23 часа 56 минут. Поскольку вращение медленное, создаваемые им фиктивные силы часто малы, и в повседневных ситуациях ими обычно можно пренебречь. Даже в расчетах, требующих высокой точности, центробежная сила обычно не учитывается явно, а скорее смешивается с гравитационной силой: сила и направление местной «гравитации» в любой точке земной поверхности на самом деле представляет собой комбинацию гравитационных и центробежных сил. силы. Однако фиктивные силы могут иметь произвольный размер. Например, в земной системе отсчета (где Земля представлена как неподвижная) фиктивная сила (сумма Кориолиса и центробежных сил) огромна и отвечает за вращение Солнца вокруг Земли. Это связано с большой массой и скоростью Солнца (относительно Земли).

Если объект взвешивается с помощью простых пружинных весов на одном из полюсов Земли, на объект действуют две силы: сила тяжести Земли, действующая в направлении вниз, и равная и противоположная возвращающая сила пружины, действующая вверх. . Поскольку объект неподвижен и не ускоряется, на объект не действует результирующая сила, а сила пружины равна по величине силе тяжести, действующей на объект. В этом случае весы показывают значение силы тяжести, действующей на предмет.

Когда тот же объект взвешивается на экваторе, на него действуют одни и те же две реальные силы. Однако объект движется по круговой траектории по мере вращения Земли и, следовательно, испытывает центростремительное ускорение. Если рассматривать его в инерциальной системе отсчета (то есть в той, которая не вращается вместе с Землей), ненулевое ускорение означает, что сила гравитации не будет уравновешиваться силой пружины. Чтобы иметь чистую центростремительную силу, величина возвращающей силы пружины должна быть меньше величины силы тяжести. Эта уменьшенная восстанавливающая сила пружины отражается на весах как меньший вес — примерно на 0,3% меньше на экваторе, чем на полюсах. В земной системе отсчета (в которой взвешиваемый объект покоится) объект не ускоряется; однако две реальные силы, гравитация и сила пружины, имеют одинаковую величину и не уравновешиваются. Центробежная сила должна быть включена, чтобы сумма сил была равна нулю и соответствовала кажущемуся отсутствию ускорения.

Примечание: На самом деле наблюдаемая разница в весе больше — около 0,53%. Гравитация Земли немного сильнее на полюсах, чем на экваторе, поскольку Земля не является идеальной сферой, поэтому объект на полюсах находится немного ближе к центру Земли, чем на экваторе; этот эффект в сочетании с центробежной силой приводит к наблюдаемой разнице в весе.

В следующем формализме вращающаяся система отсчета рассматривается как частный случай неинерциальной системы отсчета, которая вращается относительно инерциальной системы отсчета, называемой стационарной системой отсчета.

Во вращающейся системе отсчета производные по времени любой векторной функции P времени, например векторов скорости и ускорения объекта,— будет отличаться от своих производных по времени в стационарной системе отсчёта. Если P₁ P₂, P_{3} являются компонентами P относительно единичных векторов i, j, k, направленные вдоль осей вращающейся рамки (т. е. P = P₁ i + P₂ j +P₃ k), затем первая производная по времени [dP/dt] из P относительно вращающегося кадра по определению равно d P₁/dt i + dP₂/dt j + dP_{3/dt k}. Если абсолютная угловая скорость вращающейся системы отсчета равна ω, то производная dP/dt из P относительно неподвижного кадра связано с [dP/dt] по уравнению:
${\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {P}}}{\mathrm {d} t}}=\left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {P}}}{\mathrm {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {P}}\ ,$
где $\times$ обозначает векторное векторное произведение. Другими словами, скорость изменения P в неподвижной системе отсчета представляет собой сумму его кажущейся скорости изменения во вращающейся системе отсчета и скорости вращения ${\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {P}}$ , относящийся к движению вращающейся системы отсчета. Вектор ω имеет величину ω, равную скорости вращения, и направлен вдоль оси вращения по правилу правой руки.

Закон движения Ньютона для частицы массы m, записанный в векторной форме:
${\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}\ ,$
где F — векторная сумма физических сил, приложенных к частице, а a — абсолютное ускорение (которое есть ускорение в инерциальной системе отсчета) частицы, определяемое формулой:
${\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\ ,$
где r — вектор положения частицы (не путать с радиусом, как указано выше).

Применив приведенное выше преобразование от неподвижного кадра к вращающемуся трижды (дважды к ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}}$ и один раз к ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]}$ ), абсолютное ускорение частицы можно записать как:
${\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}\ \right)\\&=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]+{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\\&=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]+{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}\ \right)\\&=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]+{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}+2{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}})\ .\end{aligned}}$

Кажущееся ускорение во вращающейся системе координат равно $\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]$ . Наблюдатель, не знающий о вращении, ожидал бы, что оно будет равно нулю в отсутствие внешних сил. Однако законы движения Ньютона применимы только в инерциальной системе отсчета и описывают динамику в терминах абсолютного ускорения ${\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}$ . Следовательно, наблюдатель воспринимает дополнительные члены как вклады фиктивных сил. Эти члены кажущегося ускорения не зависят от массы; таким образом, оказывается, что каждая из этих фиктивных сил, подобно гравитации, притягивает объект пропорционально его массе. При сложении этих сил уравнение движения имеет вид:
${\boldsymbol {F}}-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}})=m\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]\ .$

С точки зрения вращающейся системы отсчета дополнительные члены силы ощущаются так же, как реальные внешние силы, и вносят вклад в кажущееся ускорение. Дополнительные члены на силовой стороне уравнения можно распознать как, читая слева направо, силу Эйлера $-m\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}/\mathrm {d} t\times {\boldsymbol {r}}$ , силу Кориолиса $-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \left[\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}/\mathrm {d} t\right]$ и центробежную силу $-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}})$ соответственно. В отличие от двух других фиктивных сил, центробежная сила всегда направлена радиально наружу от оси вращения вращающейся системы отсчета с величиной $m\omega ^{2}r_{\perp }$ , где $r_{\perp }$ — это компонент вектора положения, перпендикулярный ${\boldsymbol {\omega }}$ , и в отличие от силы Кориолиса в частности, она не зависит от движения частицы во вращающейся системе отсчета. Как и ожидалось, для невращающейся инерциальной системы отсчета $({\boldsymbol {\omega }}=0)$ центробежная сила и все другие фиктивные силы исчезают. Аналогично, поскольку центробежная сила пропорциональна расстоянию от объекта до оси вращения системы отсчета, центробежная сила исчезает для объектов, которые лежат на оси.

Три сценария были предложены Ньютоном, чтобы ответить на вопрос, можно ли обнаружить абсолютное вращение локальной системы отсчета; то есть, если наблюдатель может решить, вращается ли наблюдаемый объект или вращается наблюдатель.

В этих сценариях эффекты, приписываемые центробежной силе, наблюдаются только в локальной системе отсчета (системе, в которой объект неподвижен), если объект подвергается абсолютному вращению относительно инерциальной системы отсчета. Напротив, в инерциальной системе отсчета наблюдаемые эффекты возникают вследствие инерции и известных сил без необходимости введения центробежной силы. Основываясь на этом аргументе, привилегированная система отсчета, в которой законы физики принимают простейшую форму, представляет собой стационарную систему отсчета, в которой нет необходимости использовать какие-либо фиктивные силы.

В рамках этого взгляда на физику любое другое явление, которое обычно приписывают центробежной силе, можно использовать для определения абсолютного вращения. Например, сжатие сферы свободно текущего материала часто объясняется центробежной силой. Форма сплюснутого сфероида, согласно теореме Клеро, отражает баланс между удерживанием гравитационным притяжением и рассеиванием центробежной силой. То, что Земля сама представляет собой сплющенный сфероид, выпуклый на экваторе, где радиальное расстояние и, следовательно, центробежная сила больше, рассматривается как одно из доказательств ее абсолютного вращения.

Работу многочисленных распространенных вращающихся механических систем легче всего представить с точки зрения центробежной силы. Например:

Тем не менее, все эти системы также можно описать, не прибегая к понятию центробежной силы, в терминах движений и сил в неподвижной системе отсчета, ценой некоторого большего внимания при рассмотрении сил и движений внутри системы.

Хотя в большей части научной литературы термин центробежная сила используется для обозначения конкретной фиктивной силы, возникающей во вращающихся системах отсчета, в литературе имеется несколько ограниченных примеров применения этого термина к другим отдельным физическим концепциям. .

Один из таких случаев имеет место в лагранжевой механике. Лагранжева механика формулирует механику в терминах обобщенных координат {q_k}, которые могут быть такими же простыми, как и обычные полярные координаты $(r,\ \theta )$ или гораздо более обширный список переменных. В этой формулировке движение описывается в терминах обобщенных сил, используя вместо законов Ньютона уравнения Эйлера-Лагранжа. Среди обобщенных сил те, которые включают квадрат производных по времени {(dq_k /⁄ dt )²} иногда называют центробежными силами. В случае движения в центральном потенциале лагранжева центробежная сила имеет тот же вид, что и фиктивная центробежная сила, возникающая в системе отсчета, вращающейся вместе. Однако лагранжево использование «центробежной силы» в других, более общих случаях имеет лишь ограниченную связь с ньютоновским определением.

В другом случае этот термин относится к силе реакции на центростремительную силу или реактивной центробежной силе. Тело, совершающее криволинейное движение, например круговое, ускоряется к центру в любой конкретный момент времени. Это центростремительное ускорение обеспечивается центростремительной силой, которая действует на тело, находящееся в криволинейном движении, со стороны какого-либо другого тела. В соответствии с третьим законом движения Ньютона, тело, находящееся в криволинейном движении, оказывает на другое тело равную и противоположную силу. Эта реактивная сила действует телом, находящимся в криволинейном движении, на другом теле, которое обеспечивает центростремительную силу, и ее направление — от этого другого тела к телу, находящемуся в криволинейном движении.

Эту силу реакции иногда описывают как центробежную инерционную реакцию, то есть силу, направленную центробежно, которая представляет собой реактивную силу, равную и противоположную центростремительной силе, искривляющей траекторию массы.

Понятие реактивной центробежной силы иногда используется в механике и технике. Иногда ее называют просто центробежной силой, а не реактивной центробежной силой, хотя в элементарной механике такое использование не рекомендуется.