Модель гистерезиса Бука – Вэня: просто о сложном
Гистерезис — это явление, которое часто встречается в природе и технике. Оно описывает зависимость состояния системы от её истории, то есть от того, как система вела себя в прошлом. В строительной инженерии и механике гистерезис играет важную роль, особенно при моделировании поведения материалов и конструкций под нагрузкой. Одной из самых известных моделей, описывающих это явление, является модель гистерезиса Бука – Вэня.
Что такое модель Бука – Вэня?
Модель гистерезиса Бука – Вэня была разработана для описания нелинейных гистерезисных систем. Она была предложена Робертом Буком и позже расширена И-Квей Венем, который доказал её универсальность. Эта модель способна описывать широкий спектр гистерезисных циклов, что делает её полезной для анализа поведения различных материалов и конструкций.
Модель Бука – Вэня используется в инженерных задачи, таких как моделирование зданий, каркасов, систем с несколькими степенями свободы, а также для анализа поведения железобетонных, стальных, деревянных и каменных конструкций. Она также применяется в системах структурного контроля, например, при моделировании магнитореологических демпферов и устройств изоляции оснований зданий.
Основные принципы модели
Модель Бука – Вэня описывает поведение системы с одной степенью свободы. Рассмотрим уравнение движения такой системы:
\[ m \ddot{u}(t) + c \dot{u}(t) + F(t) = f(t) \]
Здесь:
— \( m \) — масса системы,
— \( u(t) \) — смещение,
— \( c \) — коэффициент линейного вязкого демпфирования,
— \( F(t) \) — восстанавливающая сила,
— \( f(t) \) — сила возбуждения.
Восстанавливающая сила \( F(t) \) в модели Бука – Вэня выражается следующим образом:
\[ F(t) = a k_i u(t) + (1 — a) k_i z(t) \]
Где:
— \( a = \frac{k_f}{k_i} \) — отношение пост-доходности к предварительной доходности,
— \( k_i \) — начальная жёсткость,
— \( k_f \) — жёсткость после текучести,
— \( z(t) \) — гистерезисный параметр, который описывает нелинейное поведение системы.
Гистерезисный параметр \( z(t) \) подчиняется нелинейному дифференциальному уравнению:
\[ \dot{z}(t) = A \dot{u}(t) — \beta |\dot{u}(t)| z(t) |z(t)|^{n-1} — \gamma \dot{u}(t) |z(t)|^n \]
Здесь \( A \), \( \beta \), \( \gamma \) и \( n \) — параметры, которые управляют формой и размером гистерезисной петли.
Применение модели в инженерии
Модель Бука – Вэня нашла широкое применение в различных областях инженерии. Например, она используется для анализа поведения зданий и мостов под воздействием землетрясений. Модель позволяет учитывать нелинейные эффекты, такие как пластические деформации и деградация материалов.
Одним из ключевых преимуществ модели является её универсальность. Она может быть адаптирована для описания различных типов гистерезисных систем, включая системы с несколькими степенями свободы и двунаправленные системы.
Модификации и расширения модели
С момента своего создания модель Бука – Вэня была расширена и модифицирована для учёта дополнительных эффектов. Например, Бабер и Вен предложили включить в модель эффекты деградации прочности и жёсткости. Это позволяет более точно описывать поведение материалов при длительных нагрузках.
Другие модификации включают учёт асимметричных гистерезисных кривых, которые возникают из-за различий в поведении материалов при растяжении и сжатии. Такие модификации особенно полезны при анализе железобетонных конструкций.
Практическое применение
Модель Бука – Вэня активно используется в программном обеспечении для инженерного анализа, таком как ETABS и SAP2000. Эти программы позволяют моделировать поведение конструкций под воздействием различных нагрузки, что помогает инженерам проектировать более безопасные и надёжные здания и мосты.
Кроме того, модель применяется при разработке систем сейсмической изоляции. Такие системы помогают снизить ущерб от землетрясений, поглощая энергию колебаний и защищая конструкции от разрушения.
Преимущества и ограничения модели
Одним из главных преимуществ модели Бука – Вэня является её простота и универсальность. Она позволяет описывать сложные нелинейные системы с помощью относительно небольшого числа параметров.
Однако у модели есть и ограничения. Например, она не учитывает зависимость гистерезиса от скорости, что может быть важно для некоторых материалов. Кроме того, параметры модели могут быть функционально избыточными, что затрудняет их идентификацию.