Модель гистерезиса Бука – Вэня

В строительной инженерии модель гистерезиса Бука – Вена представляет собой гистерезисную модель, обычно используемую для описания нелинейных гистерезисных систем. Он был представлен Робертом Буком и расширен И-Квей Венем, который продемонстрировал его универсальность, создав множество гистерезисных паттернов.
Эта модель способна в аналитической форме отразить ряд форм гистерезисных циклов, соответствующих поведению широкого класса гистерезисных систем. Благодаря своей универсальности и математической доступности модель Бука – Вена приобрела популярность. Он был расширен и применен к широкому кругу инженерных задач, включая системы с несколькими степенями свободы (MDOF), здания, каркасы, двунаправленную и крутильную реакцию гистерезисных систем, двух- и трехмерные континуумы, разжижение почвы и системы базовой изоляции. Модель Бука-Вэна, ее варианты и расширения использовались в структурном контроле, в частности, при моделировании поведения магнитореологических демпферов, устройств изоляции оснований зданий и других видов демпфирующих устройств. Он также использовался при моделировании и анализе конструкций, построенных из железобетона, стали, каменной кладки и древесины.

Рассмотрим уравнение движения системы с одной степенью свободы (sdof):

здесь ${\displaystyle \textstyle m}$ представляет массу, ${\displaystyle \textstyle u(t)}$ — смещение, ${\displaystyle \textstyle c}$ коэффициент линейного вязкого демпфирования, ${\displaystyle \textstyle F(t)}$ восстанавливающая сила и < span>${\displaystyle \textstyle f(t)}$ — сила возбуждения, а лишняя точка обозначает производную по времени.

Согласно модели Бука–Вэня восстанавливающая сила выражается как:

где ${\displaystyle \textstyle a:={\frac {k_{f}}{k_{i}}}}$ — это отношение пост-доходности ${\displaystyle \textstyle k_{f}}$ к предварительной доходности. (эластичный) ${\displaystyle \textstyle k_{i}:={\frac {F_{y}}{u_{y}}}}$ жесткость, ${\displaystyle \textstyle F_{y}}$ — усилие текучести, ${\displaystyle \textstyle u_{y}}$ смещение текучести и ${\displaystyle \textstyle z(t)}$ ненаблюдаемый гистерезисный параметр (обычно называемый гистерезисное смещение), которое подчиняется следующему нелинейному дифференциальному уравнению с нулевым начальным условием (${\displaystyle \textstyle z(0)=0}$) и имеет размерность длины :

или просто как:

где ${\displaystyle \textstyle \operatorname {sign} }$ обозначает функцию Signum, а ${\displaystyle \textstyle A}$, < span>${\displaystyle \textstyle \beta >0}$, ${\displaystyle \textstyle \gamma }$ и ${\displaystyle \textstyle n}$ — безразмерные величины, управляющие поведением модели (${\displaystyle \textstyle n=\infty }$ извлекает упругопластический гистерезис). Учтите, что в оригинальной статье Вэня (1976) ${\displaystyle \textstyle \beta }$ называется ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ , а ${\displaystyle \textstyle \gamma }$ называется ${\displaystyle \textstyle \beta }$. В настоящее время обозначения варьируются от бумаги к бумаге, и очень часто места ${\displaystyle \textstyle \beta }$ и ${\displaystyle \textstyle \gamma }$< /span> обмениваются. Здесь реализованы обозначения, используемые Сонгом Дж. и Дер Киурегяном А. (2006). Возвращающую силу ${\displaystyle \textstyle F(t)}$ можно разложить на упругую и гистерезисную части следующим образом:

и

следовательно, восстанавливающую силу можно представить как две пружины, соединенные параллельно.

Для малых значений положительного экспоненциального параметра ${\displaystyle \textstyle n}$ переход от эластичной к постэластичной ветви происходит плавно, тогда как для больших значений этот переход является резким. Параметры ${\displaystyle \textstyle A}$, ${\displaystyle \textstyle \beta }$ и <> контролируйте размер и форму петли гистерезиса. Обнаружено, что параметры модели Бука–Вэна функционально избыточны. Удалить эту избыточность лучше всего, установив ${\displaystyle \textstyle A=1}$.

Вэнь предположил целочисленные значения для ${\displaystyle \textstyle n}$; однако все реальные положительные значения ${\displaystyle \textstyle n}$ допустимы. Параметр ${\displaystyle \textstyle \beta }$ по предположению является положительным, а допустимые значения для ${\displaystyle \textstyle \gamma }$ , то есть ${\displaystyle \textstyle \gamma \in [-\beta ,\beta ]}$, может быть получено с помощью термодинамического анализа (Baber and Wen (1981)).

Ихуан и Роделлар (2005) дают некоторое представление о поведении модели Бука–Вена и приводят доказательства того, что реакция модели Бука–Вена на периодические входные данные является асимптотически периодической.

Некоторые термины определены ниже:

Поглощенная гистерезисная энергия представляет собой энергию, рассеиваемую гистерезисной системой, и количественно выражается как площадь гистерезисной силы при полном смещении; следовательно, поглощенная гистерезисная энергия (на единицу массы) может быть определена количественно как

то есть,

здесь ${\displaystyle \textstyle \omega ^{2}:={\frac {k_{i}}{m}}}$ — квадрат псевдособственной частоты нелинейной системы; единицы этой энергии: ${\displaystyle \textstyle J/kg}$.

Рассеяние энергии является хорошей мерой совокупного ущерба при изменении напряжения; он отражает историю загрузки и аналогичен процессу развития повреждений. В модели Бука – Вена – Бабера – Нури эта энергия используется для количественной оценки деградации системы.

Важная модификация оригинальной модели Бука–Вена была предложена Бабером и Веном (1981) и Бабером и Нури (1985, 1986).

Эта модификация включала эффекты ухудшения прочности, жесткости и сжатия посредством подходящих функций деградации:

где параметры ${\displaystyle \textstyle \nu (\varepsilon )}$, ${\displaystyle \textstyle \eta (\varepsilon )}$ и < > связаны (соответственно) с эффектами ухудшения прочности, жесткости и сжатия. ${\displaystyle \textstyle \nu (\varepsilon )}$, ${\displaystyle \textstyle A(\varepsilon )}$ и <> определяются как линейные функции поглощенной гистерезисной энергии ${\displaystyle \textstyle \varepsilon }$:

Функция сжатия ${\displaystyle \textstyle h(z)}$ определяется как:

где:

и ${\displaystyle \textstyle z_{u}}$ — это конечное значение ${\displaystyle \textstyle z}$, заданное как

Обратите внимание, что в модель включены новые параметры: ${\displaystyle \textstyle \delta _{\nu }>0}$, ${\displaystyle \textstyle \delta _{A}>0}$ , ${\displaystyle \textstyle \delta _{\eta }>0}$, ${\displaystyle \textstyle \nu _{0}}$, <>, ${\displaystyle \textstyle \eta _{0}}$, ${\displaystyle \textstyle \psi _{0}}$ , ${\displaystyle \textstyle \delta _{\psi }}$, ${\displaystyle \textstyle \lambda }$, <> и ${\displaystyle \textstyle \varsigma }$, где ${\displaystyle \textstyle \varsigma }$ >, p, q, ${\displaystyle \textstyle \psi }$, ${\displaystyle \textstyle \delta }$ и < span>${\displaystyle \textstyle \lambda }$ — параметры сжатия. Когда ${\displaystyle \textstyle \delta _{\nu }=0}$, ${\displaystyle \textstyle \delta _{\eta }=0}$ или <> В модель не включено ухудшение прочности, ухудшение жесткости или эффект сжатия.

Foliente (1993) в сотрудничестве с MP Singh и M. Noori, а позже Heine (2001) немного изменили функцию зажима, чтобы смоделировать слабые системы. Примером слабой системы является деревянная конструкция, в которой смещение происходит с жесткостью, кажущейся нулевой, поскольку болт конструкции вдавливается в древесину.

Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, подверженную двухосным возбуждениям. В этом случае взаимодействие восстанавливающих сил может существенно изменить реакцию конструкции; например, повреждение, причиненное возбуждением в одном направлении, может ослабить ухудшение жесткости и/или прочности в другом направлении, и наоборот. Уравнение движения, моделирующее такое взаимодействие, имеет вид:

где ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle C}$ обозначают матрицы массы и демпфирования, ${\displaystyle u_{x}}$ и ${\displaystyle u_{y}}$ — смещения, <> и ${\displaystyle f_{y}}$ — возбуждения, а ${\displaystyle q_{x}}$< /span> и ${\displaystyle q_{y}}$ — восстанавливающие силы, действующие в двух ортогональных (перпендикулярных) направлениях, которые определяются выражением

где ${\displaystyle K}$ — начальная матрица жесткости, ${\displaystyle a}$ — коэффициент -отдача до предварительной (эластичной) жесткости и ${\displaystyle z_{x}}$ и ${\displaystyle z_{y}}$ представляют собой гистерезисные смещения.

Используя это обобщение с двумя степенями свободы, Парк и др. (1986) представили гистерезисное поведение системы следующим образом:

Эта модель подходит, например, для воспроизведения геометрически линейного, несвязанного поведения двухосно нагруженной железобетонной колонны. Такое программное обеспечение, как ETABS и SAP2000, использует эту формулировку для моделирования базовых изоляторов.

Ван и Вен (2000) попытались расширить модель Парка et al. (1986), включив в нее случаи с различной остротой «перегиба» (т. е. ${\displaystyle n\neq 2}$< /span>). Однако при этом предложенная модель уже не была вращательно-инвариантной (изотропной). Харви и Гэвин (2014) предложили альтернативное обобщение модели Парка-Вэня, которое сохранило изотропию и по-прежнему учитывало ${\displaystyle n\neq 2}$, а именно.

Учтите, что используя замену переменных: ${\displaystyle z_{x}=z\cos \theta }$, ${\displaystyle z_{y}=z\sin \theta }$, ${\displaystyle u_{x}=u\cos \theta }$, ${\displaystyle u_{y}=u\sin \theta }$, уравнения Eq. 14 сводится к одноосному гистерезисному соотношению Уравнение. 3 с ${\displaystyle n=2}$, то есть

Поскольку это уравнение справедливо для любого значения ${\displaystyle \theta }$, гистерезисное восстанавливающее смещение является изотропным.

Ван и Вен (1998) предложили следующее выражение для учета асимметричной пиковой восстанавливающей силы:

где ${\displaystyle \textstyle \phi }$ — дополнительный параметр, который необходимо определить.

Асимметричные гистерезисные кривые появляются из-за асимметрии механических свойств испытываемого элемента, геометрии или того и другого. Сонг и Дер Кюрегян (2006) заметили, что петли гистерезиса часто зависят не только от знаков скорости ${\displaystyle {\dot {u}}(t)}$ и гистерезисного смещения ${\displaystyle z(t)}$, но также и от знака смещения ${\displaystyle u(t)}$, поскольку гистерезисное поведение структурного элемента при растяжении может отличаться от его поведения при сжатии. Поэтому Сонг и Дер Кюрегян (2006) предложили следующую функцию для моделирования этих асимметричных кривых:

где ${\displaystyle \textstyle \beta _{i}}$, ${\displaystyle \textstyle i=1,2,\ldots ,6}$ — шесть параметров, которые необходимо определить в процесс идентификации. Однако, согласно Ikhoane et al. (2008), коэффициенты ${\displaystyle \textstyle \beta _{2}}$, <> и ${\displaystyle \textstyle \beta _{6}}$ должны быть установлены на ноль. Также, по данным Алоизио et al. (2020), никаких исследований относительно интервалов допустимости параметров ${\displaystyle \beta _{i}}$ не проводилось. было проведено еще в свете второго начала термодинамики.

Aloisio et al. (2020) расширили формулировку, представленную Song и Der Kiureghian (2006), чтобы воспроизвести явления защемления и деградации. Они включили два дополнительных параметра ${\displaystyle \textstyle \beta _{7}}$ и ${\displaystyle \textstyle \beta _{8}}$, которые приводят к защемленным путям нагрузки; также они сделали восемь ${\displaystyle \textstyle \beta _{i}}$ коэффициентов функциями рассеянной гистерезисной энергии ${\displaystyle \varepsilon }$ для учета деградации прочности и жесткости.

В экспериментах, контролируемых смещением, временная история смещения ${\displaystyle \textstyle u(t)}$ и его производной <> известны; поэтому расчет гистерезисной переменной и восстанавливающей силы выполняется непосредственно с использованием уравнений Ур. 2 и уравнение. 3.

В экспериментах, контролируемых силой, уравнение. 1, Уравнение. 2 и уравнение. 4 можно преобразовать в форму пространства состояний, используя замену переменных ${\displaystyle \textstyle x_{1}(t)=u(t)}$, ${\displaystyle \textstyle {\dot {x}}_{1}(t)={\dot {u}}(t)=x_{2}(t)}$< /span>, ${\displaystyle \textstyle {\dot {x}}_{2}(t)={\ddot {u}}(t)}$ и ${\displaystyle \textstyle x_{3}(t)=z(t)}$ как:

и решаются с использованием, например, метода предиктора-корректора Ливермора, методов Розенброка или метода Рунге-Кутты 4/5-го порядка. Последний метод более эффективен с точки зрения времени вычислений; остальные медленнее, но дают более точный ответ.

Форма пространства состояний модели Бука – Вена – Бабера – Нури определяется следующим образом:

Это жесткое обыкновенное дифференциальное уравнение, которое можно решить, например, с помощью функции ode15 MATLAB.

Согласно Хейну (2001), время вычислений для решения модели и численного шума значительно сокращается, если и сила, и смещение имеют один и тот же порядок величины; например, хорошим выбором будут единицы кН и мм.

Гистерезис, создаваемый моделью Бука – Вена, не зависит от скорости. Уравнение. 4 можно записать как:

где ${\displaystyle {\dot {u}}(t)}$ внутри функции ${\displaystyle \operatorname {sign} }$ служит только индикатором направления движения. Неопределенный интеграл уравнения 19 может быть выражен аналитически через гипергеометрическую функцию Гаусса ${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b,c;w)}$. С учетом начальных условий имеет место следующее соотношение:

где ${\displaystyle q=\beta \operatorname {sign} (z(t){\dot {u}}(t))+\gamma }$ предполагается постоянным для рассматриваемого перехода (не обязательно малого), ${\displaystyle A=1}$ и ${\displaystyle u_{0}}$, ${\displaystyle z_{0}}$ — начальные значения смещение и гистерезисный параметр соответственно. Уравнение 20 решается аналитически для ${\displaystyle z}$ для конкретных значений экспоненциального параметра ${\displaystyle n}$, т. е. для ${\displaystyle n=1}$ и ${\displaystyle n=2}$ . Для произвольных значений ${\displaystyle n}$, Eq. 20 можно эффективно решить, используя, например, bisection – методы типа, такие как метод Брента.

Параметры модели Бука–Вэня имеют следующие границы: ${\displaystyle \textstyle a\in (0,1)}$, ${\displaystyle \textstyle k_{i}>0}$, ${\displaystyle \textstyle k_{f}>0}$, ${\displaystyle \textstyle c>0}$, << MATH4>>, ${\displaystyle \textstyle n>1}$, ${\displaystyle \textstyle \beta >0}$, ${\displaystyle \textstyle \gamma \in [-\beta ,\beta ]}$.

Как отмечалось выше, Ма et al.(2004) доказали, что параметры модели Бука-Вэна функционально избыточны; то есть существует несколько векторов параметров, которые производят идентичный ответ на данное возбуждение. Удалить эту избыточность лучше всего, установив ${\displaystyle \textstyle A=1}$.

Константину и Аднане (1987) предложили наложить ограничение ${\displaystyle \textstyle {\frac {A}{\beta +\gamma }}=1}$, чтобы свести модель к формулировке с четко определенными свойствами.

Принимая эти ограничения, неизвестные параметры становятся: ${\displaystyle \textstyle \gamma }$, ${\displaystyle \textstyle n}$, < span>${\displaystyle \textstyle a}$, ${\displaystyle \textstyle k_{i}}$ и ${\displaystyle \textstyle c}$ .

Определение параметров модели с использованием экспериментальных входных и выходных данных может быть выполнено с помощью методов идентификации системы. Процедуры, предложенные в литературе, включают:

Эти алгоритмы настройки параметров минимизируют функцию потерь, основанную на одном или нескольких из следующих критериев:

После применения метода идентификации для настройки параметров модели Бука-Вэна полученная модель считается хорошим приближением истинного гистерезиса, когда ошибка между экспериментальными данными и выходными данными модели достаточно мала (с практической точки зрения). вид).

Гистерезисная модель Бука-Вэня подверглась некоторой критике за ее способность точно описывать явление гистерезиса в материалах. Например: