Координаты Лоде

Координаты лоуда ${\displaystyle (z,r,\theta )}$ или Координаты Хейга–Вестергаарда ${\displaystyle (\xi ,\rho ,\theta )}$. представляют собой набор тензорных инвариантов, которые охватывают пространство действительных, симметричных, 3-мерных тензоров второго порядка и изоморфны относительно пространства главных напряжений. Эта правосторонняя ортогональная система координат названа в честь немецкого ученого доктора Вальтера Лоде из-за его основополагающей работы, написанной в 1926 году, описывающей влияние среднего главного напряжения на пластичность металла. Другими примерами наборов тензорных инвариантов являются набор главных напряжений ${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ или набор кинематических инвариантов ${\displaystyle (I_{1},J_{2},J_{3})}$. Систему координат Лоде можно описать как цилиндрическую систему координат в пространстве главных напряжений с совпадающим началом и осью z, параллельной вектору ${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(1,1,1)}$.

Инварианты механики

Координаты Лоде проще всего вычислить с помощью механических инвариантов. Эти инварианты представляют собой смесь инвариантов тензора напряжений Коши, ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$, и девиатор напряжения, ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$, и задаются как

${\displaystyle I_{1}=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})}$

${\displaystyle J_{2}={\frac {1}{2}}\left[{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }}^{2})-{\frac {1}{3}}{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})^{2}\right]={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}\right)={\frac {1}{2}}\lVert {\boldsymbol {s}}\rVert ^{2}}$

${\displaystyle J_{3}=\mathrm {det} ({\boldsymbol {s}})={\frac {1}{3}}\mathrm {tr} \left({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}\right)}$

что можно эквивалентно записать в обозначениях Эйнштейна

${\displaystyle I_{1}=\sigma _{kk}}$

${\displaystyle J_{2}={\frac {1}{2}}\left[{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }}^{2})-{\frac {1}{3}}{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})^{2}\right]={\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ji}={\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ij}}$

${\displaystyle J_{3}={\frac {1}{6}}\epsilon _{ijk}\epsilon _{pqr}\sigma _{ip}\sigma _{jq}\sigma _{kr}={\frac {1}{3}}s_{ij}s_{jk}s_{ki}}$

где ${\displaystyle \epsilon }$ — символ Леви-Чивиты (или символ перестановки), а последние две формы для ${\displaystyle J_{2}}$ эквивалентны, потому что ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$ симметричен (${\displaystyle s_{ij}=s_{ji}}$).

Градиенты этих инвариантов можно рассчитать по формуле

${\displaystyle {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}={\boldsymbol {I}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial J_{2}}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}={\boldsymbol {s}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\mathrm {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)}{3}}{\boldsymbol {I}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial J_{3}}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}={\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}-{\frac {2J_{2}}{3}}{\boldsymbol {I}}}$

где ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$ — второй- тензор идентификатора порядка и ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ называется тензором Хилла.

Осевая координата ( z ) {\displaystyle (z)}

Координата ${\displaystyle z}$ находится путем вычисления величины ортогональной проекции напряженного состояния на гидростатическую ось.

${\displaystyle z={\boldsymbol {E_{z}}}\colon {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})}{\sqrt {3}}}={\frac {I_{1}}{\sqrt {3}}}}$

где

${\displaystyle {\boldsymbol {E_{z}}}={\frac {\boldsymbol {I}}{\lVert {\boldsymbol {I}}\rVert }}={\frac {\boldsymbol {I}}{\sqrt {3}}}}$

— единица нормали в направлении гидростатической оси.

Радиальная координата

(
r
)

{\displaystyle (r)}

${\displaystyle r}$-координата находится путем вычисления величины девиатора напряжений (ортогональной проекции напряженного состояния на девиаторная плоскость).

${\displaystyle r={\boldsymbol {E_{r}}}\colon {\boldsymbol {\sigma }}=\lVert {\boldsymbol {s}}\rVert ={\sqrt {2J_{2}}}}$

где

${\displaystyle {\boldsymbol {E_{r}}}={\frac {\boldsymbol {s}}{\lVert {\boldsymbol {s}}\rVert }}}$

Derivation

The relation that ${\displaystyle r={\sqrt {2J_{2}}}}$ can be found by expanding the relation ${\displaystyle r={\frac {\boldsymbol {s}}{\lVert {\boldsymbol {s}}\rVert }}\colon {\boldsymbol {\sigma }}}$ and writing ${\displaystyle \sigma }$ in terms of the isotropic and deviatoric parts while expanding the magnitude of ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$ ${\displaystyle r={\frac {\boldsymbol {s}}{\sqrt {{\boldsymbol {s}}\colon {\boldsymbol {s}}}}}\colon \left({\boldsymbol {s}}+z{\boldsymbol {E_{z}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {{\boldsymbol {s}}\colon {\boldsymbol {s}}}}}\left({\boldsymbol {s}}\colon {\boldsymbol {s}}+z{\boldsymbol {s}}\colon {\boldsymbol {E_{z}}}\right)}$. Because ${\displaystyle {\boldsymbol {E_{z}}}}$ is isotropic and ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$ is deviatoric, their product is zero. Which leaves us with ${\displaystyle r={\frac {{\boldsymbol {s}}\colon {\boldsymbol {s}}}{\sqrt {{\boldsymbol {s}}\colon {\boldsymbol {s}}}}}={\sqrt {{\boldsymbol {s}}\colon {\boldsymbol {s}}}}}$ Applying the identity ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\colon {\boldsymbol {B}}=\mathrm {tr} \left({\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)}$ and using the definition of ${\displaystyle J_{2}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}\right)}$ ${\displaystyle r={\sqrt {\mathrm {tr} \left({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}\right)}}={\sqrt {2J_{2}}}}$

${\displaystyle r={\frac {\boldsymbol {s}}{\lVert {\boldsymbol {s}}\rVert }}\colon {\boldsymbol {\sigma }}}$

и записывая ${\displaystyle \sigma }$ в терминах изотропной и девиаторной частей, расширяя величину ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle r={\frac {\boldsymbol {s}}{\sqrt {{\boldsymbol {s}}\colon {\boldsymbol {s}}}}}\colon \left({\boldsymbol {s}}+z{\boldsymbol {E_{z}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {{\boldsymbol {s}}\colon {\boldsymbol {s}}}}}\left({\boldsymbol {s}}\colon {\boldsymbol {s}}+z{\boldsymbol {s}}\colon {\boldsymbol {E_{z}}}\right)}$.

Поскольку ${\displaystyle {\boldsymbol {E_{z}}}}$ является изотропным и ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$ является девиаторным, их произведение равно нулю. Что оставляет нам

${\displaystyle r={\frac {{\boldsymbol {s}}\colon {\boldsymbol {s}}}{\sqrt {{\boldsymbol {s}}\colon {\boldsymbol {s}}}}}={\sqrt {{\boldsymbol {s}}\colon {\boldsymbol {s}}}}}$

Применение идентичности ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\colon {\boldsymbol {B}}=\mathrm {tr} \left({\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)}$ и используя определение ${\displaystyle J_{2}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}\right)}$

${\displaystyle r={\sqrt {\mathrm {tr} \left({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}\right)}}={\sqrt {2J_{2}}}}$

— единичный тензор в направлении радиальной составляющей.

Угол Лоде – угловая координата

(
θ
)

{\displaystyle (\theta )}

Угол Лоде можно довольно условно рассматривать как меру типа нагрузки. Угол Лоде изменяется в зависимости от среднего собственного значения напряжения. Существует множество определений угла Лоде, в каждом из которых используются разные тригонометрические функции: положительный синус, отрицательный синус и положительный косинус (здесь они обозначаются ${\displaystyle \theta _{s}}$, ${\displaystyle {\bar {\theta }}_{s}}$ и ${\displaystyle \theta _{c}}$ соответственно)

${\displaystyle \sin(3\theta _{s})=-\sin(3{\bar {\theta }}_{s})=\cos(3\theta _{c})={\frac {J_{3}}{2}}\left({\frac {3}{J_{2}}}\right)^{3/2}}$

и связаны между собой

${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\pi }{6}}-\theta _{c}\qquad \qquad \theta _{s}=-{\bar {\theta }}_{s}}$

Derivation

The relation between ${\displaystyle \theta _{c}}$ and ${\displaystyle \theta _{s}}$ can be shown by applying a trigonometric identity relating sine and cosine by a shift ${\displaystyle \cos(3\theta _{c})=\sin(3\theta _{s})}$ ${\displaystyle \cos(3\theta _{c})=\sin \left(\left(3\theta _{s}-{\frac {\pi }{2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ${\displaystyle \cos(3\theta _{c})=\cos \left(3\theta _{s}-{\frac {\pi }{2}}\right)}$. Because cosine is an even function and the range of the inverse cosine is usually ${\displaystyle 0\leq \cos ^{-1}(\theta )\leq 1}$ we take the negative possible value for the ${\displaystyle \theta _{s}}$ term, thus ensuring that ${\displaystyle \theta _{c}}$ is positive. ${\displaystyle 3\theta _{c}=\pm \left(3\theta _{s}-{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ${\displaystyle \theta _{c}={\frac {\pi }{6}}-\theta _{s}}$

${\displaystyle \cos(3\theta _{c})=\sin(3\theta _{s})}$

${\displaystyle \cos(3\theta _{c})=\sin \left(\left(3\theta _{s}-{\frac {\pi }{2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \cos(3\theta _{c})=\cos \left(3\theta _{s}-{\frac {\pi }{2}}\right)}$.

Поскольку косинус является четной функцией, а диапазон арккосинуса обычно ${\displaystyle 0\leq \cos ^{-1}(\theta )\leq 1}$ мы берем отрицательное возможное значение для ${\displaystyle \theta _{s}}$ члена, таким образом гарантируя что ${\displaystyle \theta _{c}}$ положительно.

${\displaystyle 3\theta _{c}=\pm \left(3\theta _{s}-{\frac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \theta _{c}={\frac {\pi }{6}}-\theta _{s}}$

Все эти определения определены для диапазона ${\displaystyle \pi /3}$.

Единичную нормаль в угловом направлении, завершающую ортонормированный базис, можно рассчитать для ${\displaystyle \theta _{s}}$ и ${\displaystyle \theta _{c}}$ с помощью

${\displaystyle {\boldsymbol {E_{\theta s}}}={\frac {{\boldsymbol {T}}/\lVert {\boldsymbol {T}}\rVert -\sin(3\theta _{s}){\boldsymbol {E_{r}}}}{\cos(3\theta _{s})}}\qquad {\boldsymbol {E_{\theta c}}}={\frac {{\boldsymbol {T}}/\lVert {\boldsymbol {T}}\rVert -\cos(3\theta _{c}){\boldsymbol {E_{r}}}}{\sin(3\theta _{c})}}}$.

Меридиональный профиль

Меридиональный профиль — это двумерный график ${\displaystyle (z,r)}$, содержащий ${\displaystyle \theta }$ константа и иногда строится с использованием скалярных кратных ${\displaystyle (z,r)}$. Обычно он используется для демонстрации зависимости поверхности текучести от давления или траектории сдвига давления пути напряжения. Поскольку ${\displaystyle r}$ неотрицательно, график обычно опускает отрицательную часть ${\displaystyle r}$-ось, но может быть включена для иллюстрации эффектов при противоположных углах Лоде (обычно триаксиальное растяжение и триаксиальное сжатие).

Одним из преимуществ построения меридионального профиля с помощью ${\displaystyle (z,r)}$ является то, что это геометрически точное изображение поверхности текучести. Если для меридионального профиля используется неизоморфная пара, то нормаль к поверхности текучести не будет выглядеть нормальной в меридиональном профиле. Любая пара координат, отличающаяся от ${\displaystyle (z,r)}$ постоянными кратными одинакового абсолютного значения, также изоморфна относительно главного пространства напряжений. Например, давление ${\displaystyle p=-I1/3}$ и напряжение по Мизесу ${\displaystyle \sigma _{v}={\sqrt {3J_{2}}}}$ не являются изоморфной парой координат и, следовательно, искажают поверхность текучести, поскольку

${\displaystyle p=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}z}$

${\displaystyle \sigma _{v}={\sqrt {\frac {3}{2}}}r}$

и, наконец, ${\displaystyle |-1/{\sqrt {3}}|\neq |{\sqrt {3/2}}|}$.

Октаэдрический профиль

Октаэдрический профиль — это двумерный график ${\displaystyle (r,\theta )}$, содержащий ${\displaystyle z}$ константа. Построение поверхности текучести в октаэдрической плоскости демонстрирует уровень зависимости угла Лоде. Октаэдрическую плоскость иногда называют «пи-плоскостью» или «девиаторной плоскостью».

Октаэдрический профиль не обязательно является постоянным для разных значений давления, за заметными исключениями критерия текучести фон Мизеса и критерия текучести Треска, которые постоянны для всех значений давления.

Примечание по терминологии

Термин пространство Хейга-Вестергарда неоднозначно используется в литературе для обозначения как декартова главного пространства напряжений, так и цилиндрического координатного пространства Лоде.