Формат отображения импульса

Формат отображения импульса является ключевым приемом в методе материальной точки (MPM) для передачи физических величин, таких как импульс, масса и напряжение, между материальной точкой и фоновой сеткой.

Метод материальной точки (MPM) — это численная техника, использующая смешанное эйлерово-лагранжево описание. Он дискретизирует вычислительную область с материальными точками и использует фоновую сетку для решения уравнений импульса. Предложен Сульски и др. в 1994 году.

С тех пор MPM был расширен на различные области, такие как вычислительная динамика твердого тела. В настоящее время MPM предлагает несколько схем отображения импульса, четыре основные из которых — PIC (частица в ячейке), FLIP (жидкость-неявная частица), гибридный формат и APIC (аффинная частица в ячейке). Глубокое понимание этих схем имеет решающее значение для дальнейшего развития MPM.

Фон

MPM представляет материалы как наборы материальных точек (или частиц). В отличие от других методов частиц, таких как SPH (гидродинамика сглаженных частиц) и DEM (метод дискретных элементов), MPM также использует фоновую сетку для решения уравнений импульса, возникающих при взаимодействии частиц. MPM можно отнести к категории смешанного метода частиц/сетки или смешанного метода Лагранжа-Эйлера. Объединяя сильные стороны обеих структур, MPM стремится стать наиболее эффективным численным решателем для задач с большими деформациями. Он был дополнительно разработан и применен к различным сложным задачам, таким как высокоскоростное воздействие (Huang et al., 2011), оползни (Fern et al., 2019), насыщенные пористые среды (He et al., 2024) и взаимодействие жидкости и структуры (Li et al., 2022).

Сообщество Material Point Method (MPM) разработало несколько схем отображения импульса, среди которых наиболее распространены PIC, FLIP, гибридная схема и APIC. Схема FLIP широко используется для динамических задач из-за ее свойств сохранения энергии, хотя она может вносить численный шум и нестабильность (Bardenhagen, 2002), что потенциально приводит к сбою вычислений. Напротив, схема PIC известна своей численной устойчивостью и выгодна для статических задач, но она страдает от значительной численной диссипации (Brackbill et al., 1988), что неприемлемо для сильно динамических реакций. Nairn et al. объединили FLIP и PIC линейно (Nairn, 2015), чтобы создать гибридную схему, скорректировав долю каждого компонента на основе эмпирического, а не теоретического анализа. Hammerquist и Nairn (2017) представили улучшенную схему под названием XPIC-m (eXtended Particle-In-Cell of order m), которая решает проблему чрезмерной фильтрации и численной диффузии PIC, одновременно подавляя шум, вызванный нелинейным пространством в FLIP, используемом в MPM. XPIC-1 (eXtended Particle-In-Cell of order 1) эквивалентен стандартному методу PIC. Jiang et al. (2017, 2015) представили метод Affine Particle In Cell (APIC), в котором скорости частиц представлены локально аффинно, сохраняя линейный и угловой импульс во время процесса переноса. Это значительно снижает численное рассеяние и позволяет избежать шума скорости и нестабильности, наблюдаемых в FLIP. Fu et al. (2017) представили обобщенные локальные функции в методе APIC, предложив метод Polynomial Particle In Cell (PolyPIC). PolyPIC рассматривает передачу G2P (сетка-частица) как проекцию локальной скорости сетки частицы, сохраняя линейный и угловой импульс, тем самым улучшая сохранение энергии и вихреобразования по сравнению с исходным APIC. Кроме того, PolyPIC сохраняет фильтрующие свойства APIC и PIC, обеспечивая устойчивость к шуму.

Метод аффинных частиц в ячейках

В схеме PIC скорости частиц на подшаге «Сетка-частица» (G2P) напрямую перезаписываются путем экстраполяции узловых скоростей на сами частицы:

${\displaystyle \mathbf {V} _{p}^{n+1}=\sum _{I}^{}S_{Ip}^{n}\mathbf {V} _{I}^{n+1}}$

В схеме FLIP скорости материальных точек обновляются путем интерполяции приращений скорости узлов сетки за текущий шаг времени:

${\displaystyle \mathbf {a} _{I}^{n}={\frac {f_{I}^{int,n}+f_{I}^{ext,n}}{m_{I}^{n}}}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{p}^{n+1}=\mathbf {V} _{p}^{n}+\sum _{I}^{}S_{Ip}^{n}\mathbf {a} _{I}^{n}\Delta t}$

Отображение импульса гибридной схемы можно математически представить следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {V} _{p}^{n+1}=(1-\alpha _{FLIP}^{})\mathbf {V} _{p}^{PIC,n+1}+\alpha _{FLIP}^{})\mathbf {V} _{p}^{FLIP,n+1}}$

где параметры определены, как показано ниже

Основываясь на идее «обеспечения локального поля скорости вокруг материальной точки фоновой сетке путем передачи градиента скорости материальной точки», Цзян и др. (2015) предложили метод APIC. В этом методе скорость частицы локально аффинна, математически выражается как:

${\displaystyle \mathbf {V} _{p}^{affine}=\mathbf {V} _{p}^{}+\mathbf {C} _{p}(\mathbf {x} _{}^{}-\mathbf {x} _{p}^{})}$

где параметры определены, как показано ниже:

Вычислительная реализация

PIC (частица в ячейке), FLIP (жидкость-неявная частица), гибридный (гибридное решение) и APIC (аффинное) Различные численные методы, используемые в моделировании жидкости методом частиц в ячейке, наглядно демонстрируют, как они отображают импульс и временные интегралы между материальными точками и сетками, и чем они отличаются друг от друга. Типичные схемы временной интеграции для схем PIC, FLIP, гибридных и APIC имеют свои собственные уникальные характеристики. Эволюция импульса на сетке в каждой схеме идентична. Несмотря на различия между этими форматами отображения четырех импульсов, их общие точки по-прежнему являются доминирующими. В процессе P2G отображение импульса в схемах PIC, FLIP и гибридных схемах одинаково. Положения материальных точек обновляются одинаковым образом во всех четырех схемах. На этапе G2P PIC передает обновленный импульс на узлах сетки непосредственно обратно в материальные точки, FLIP использует инкрементное отображение, а гибридная схема линейно объединяет FLIP и PIC с использованием коэффициента. Отображение APIC поддерживает дополнительную аффинную матрицу поверх отображения PIC.

Числовые тесты

Численные тесты на столкновение колец подчеркивают производительность различных схем отображения импульса в динамических задачах. Среднее распределение напряжений и кривая эволюции полной энергии в типичное время являются ключевым содержанием внимания исследователей. Из-за схемы отображения PIC, которая отменяет скорости в противоположных направлениях, происходит значительная потеря энергии, что препятствует эффективному преобразованию кинетической энергии в энергию деформации. GIMP_FLIP (Generalized Interpolation Material Point — Fluid Implicit Particle) показывает заметный числовой шум и нестабильность с серьезными колебаниями среднего напряжения, что приводит к численному разрушению. GIMP_FLPI0.99 демонстрирует улучшенную стабильность, но все еще несет риск численного разрушения. Тесты показывают, что увеличение компонента PIC повышает численную стабильность, при этом распределение напряжений становится более равномерным и регулярным, а вероятность численного разрушения уменьшается. Однако потеря энергии также становится более выраженной. GIMP_APIC (Generalized Interpolation Material Point — Affine Particle-In-Cell) демонстрирует наилучшую производительность, обеспечивая стабильное и плавное распределение напряжений при сохранении превосходных характеристик сохранения энергии.

Сопутствующие исследования и разработки

Недавно Ку и др. предложили PowerPIC (Qu et al., 2022) — более стабильную и точную схему картирования, основанную на оптимизации, которая также сохраняет объем и равномерные характеристики распределения частиц.