Модуль сдвига

В материаловедении модуль сдвига или модуль жесткости, обозначаемый как G, а иногда S или μ, является мерой упругой жесткости материала при сдвиге и определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига:

${\displaystyle G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A}{\Delta x/l}}={\frac {Fl}{A\Delta x}}}$

где

${\displaystyle \tau _{xy}=F/A\,}$ = shear stress

${\displaystyle F}$ is the force which acts

${\displaystyle A}$ is the area on which the force acts

${\displaystyle \gamma _{xy}}$ = shear strain. In engineering ${\displaystyle :=\Delta x/l=\tan \theta }$, elsewhere ${\displaystyle :=\theta }$

${\displaystyle \Delta x}$ is the transverse displacement

${\displaystyle l}$ is the initial length of the area.

Производной единицей СИ модуля сдвига является паскаль (Па), хотя обычно он выражается в гигапаскалях (ГПа) или в тысячах фунтов на квадратный дюйм (ksi). Его размерная форма — M1L−1T−2, заменяющая силу на массу, умноженную на ускорение.

Объяснение

Модуль сдвига является одной из нескольких величин для измерения жесткости материалов. Все они возникают в обобщенном законе Гука:

Эти модули не являются независимыми, и для изотропных материалов они связаны уравнениями

${\displaystyle E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu )}$

Модуль сдвига касается деформации твердого тела, когда оно испытывает силу, параллельную одной из его поверхностей, в то время как его противоположная грань испытывает противодействующую силу (такую ​​как трение). В случае объекта, имеющего форму прямоугольной призмы, он деформируется в параллелепипед. Анизотропные материалы, такие как дерево, бумага, а также по существу все монокристаллы, демонстрируют различную материальную реакцию на напряжение или деформацию при испытании в разных направлениях. В этом случае может потребоваться использовать полное тензорное выражение упругих констант, а не одно скалярное значение.

Одним из возможных определений жидкости было бы определение материала с нулевым модулем сдвига.

Поперечные волны

В однородных и изотропных твердых телах существуют два вида волн: волны давления и волны сдвига. Скорость сдвиговой волны, ${\displaystyle (v_{s})}$ контролируется модулем сдвига,

${\displaystyle v_{s}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}}$

где

G is the shear modulus

${\displaystyle \rho }$ is the solid’s density.

Модуль сдвига металлов

Модуль сдвига металлов обычно уменьшается с ростом температуры. При высоких давлениях модуль сдвига также, по-видимому, увеличивается с приложенным давлением. Корреляции между температурой плавления, энергией образования вакансий и модулем сдвига наблюдались во многих металлах.

Существует несколько моделей, которые пытаются предсказать модуль сдвига металлов (и, возможно, сплавов). Модели модуля сдвига, которые использовались в расчетах пластического течения, включают:

МТС модель

Модель модуля сдвига MTS имеет вид:

${\displaystyle \mu (T)=\mu _{0}-{\frac {D}{\exp(T_{0}/T)-1}}}$

где ${\displaystyle \mu _{0}}$ — модуль сдвига при ${\displaystyle T=0K}$ и ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle T_{0}}$ являются материальными константами.

Модель SCG

Модель модуля сдвига Стейнберга-Кохрана-Гинана (SCG) зависит от давления и имеет вид

${\displaystyle \mu (p,T)=\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}+{\frac {\partial \mu }{\partial T}}(T-300);\quad \eta :={\frac {\rho }{\rho _{0}}}}$

где μ₀ — модуль сдвига в исходном состоянии (T = 300 К, p = 0, η = 1), p — давление, а T — температура.

Модель НП

Модель модуля сдвига Надаля-Ле Поака (NP) является модифицированной версией модели SCG. Эмпирическая температурная зависимость модуля сдвига в модели SCG заменена уравнением, основанным на теории плавления Линдемана. Модель модуля сдвига NP имеет вид:

${\displaystyle \mu (p,T)={\frac {1}{{\mathcal {J}}\left({\hat {T}}\right)}}\left[\left(\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}\right)\left(1-{\hat {T}}\right)+{\frac {\rho }{Cm}}~T\right];\quad C:={\frac {\left(6\pi ^{2}\right)^{\frac {2}{3}}}{3}}f^{2}}$

где

${\displaystyle {\mathcal {J}}({\hat {T}}):=1+\exp \left[-{\frac {1+1/\zeta }{1+\zeta /\left(1-{\hat {T}}\right)}}\right]\quad {\text{for}}\quad {\hat {T}}:={\frac {T}{T_{m}}}\in [0,6+\zeta ],}$

и μ₀ — модуль сдвига при абсолютном нуле и давлении окружающей среды, ζ — площадь, m — атомная масса, а f — постоянная Линдемана.

Модуль релаксации сдвига

Модуль релаксации сдвига ${\displaystyle G(t)}$ является зависящим от времени обобщением модуля сдвига ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle G=\lim _{t\to \infty }G(t)}$.

Есть два допустимых решения.

Знак плюс приводит к ${\displaystyle \nu \geq 0}$.