Удельный модуль — это свойство материалов, состоящее из модуля упругости на единицу массовой плотности материала. Он также известен как отношение жесткости к весу или удельная жесткость. Материалы с высоким удельным модулем находят широкое применение в аэрокосмической промышленности, где требуется минимальный вес конструкции. Размерный анализ дает единицы квадрата расстояния на квадрат времени. Уравнение можно записать как:
где — модуль упругости, а — плотность.
Полезность конкретного модуля заключается в поиске материалов, которые будут производить конструкции с минимальным весом, когда основным ограничением конструкции является прогиб или физическая деформация, а не нагрузка при разрыве — это также известно как «жесткостно-управляемая» конструкция. Многие обычные конструкции являются жестко-управляемыми в течение большей части их использования, например, крылья самолетов, мосты, мачты и велосипедные рамы.
Чтобы подчеркнуть этот момент, рассмотрим вопрос выбора материала для строительства самолета. Алюминий кажется очевидным, потому что он «легче» стали, но сталь прочнее алюминия, поэтому можно представить себе использование более тонких стальных компонентов для экономии веса без ущерба для прочности на разрыв. Проблема этой идеи в том, что это приведет к значительной потере жесткости, что позволит, например, крыльям недопустимо прогибаться. Поскольку именно жесткость, а не прочность на разрыв, движет такого рода решениями для самолетов, мы говорим, что они движимы жесткостью.
Детали соединений таких конструкций могут быть более чувствительны к проблемам прочности (а не жесткости) из-за воздействия концентраторов напряжений.
Удельный модуль упругости не следует путать с удельной прочностью — термином, который сравнивает прочность с плотностью.
Приложения
Удельная жесткость при растяжении
Использование удельной жесткости в приложениях на растяжение просто. Как жесткость на растяжение, так и общая масса для данной длины прямо пропорциональны площади поперечного сечения. Таким образом, эксплуатационные характеристики балки на растяжение будут зависеть от модуля Юнга, деленного на плотность.
Удельная жесткость при изгибе и прогибе
Конкретная жесткость может использоваться при проектировании балок, подверженных изгибу или эйлеровскому выпучиванию, поскольку изгиб и выпучивание обусловлены жесткостью. Однако роль, которую играет плотность, меняется в зависимости от ограничений задачи.
Балка с фиксированными размерами; цель — снижение веса
Рассматривая формулы прогиба и деформации, мы видим, что сила, необходимая для достижения заданной деформации или достижения потери устойчивости, напрямую зависит от модуля Юнга.
Рассматривая формулу плотности, мы видим, что масса балки напрямую зависит от плотности.
Таким образом, если размеры поперечного сечения балки ограничены, а снижение веса является основной целью, эксплуатационные характеристики балки будут зависеть от модуля Юнга, деленного на плотность.
Балка с фиксированным весом; цель — повышение жесткости
Напротив, если вес балки фиксирован, размеры ее поперечного сечения не ограничены, а основной целью является повышение жесткости, то эксплуатационные характеристики балки будут зависеть от модуля Юнга, деленного либо на плотность в квадрате, либо на кубе. Это происходит потому, что общая жесткость балки, а следовательно, и ее сопротивление эйлеровскому изгибу при воздействии осевой нагрузки и прогибу при воздействии изгибающего момента, прямо пропорциональны как модулю Юнга материала балки, так и второму моменту площади (моменту инерции площади) балки.
Сравнение перечня моментов инерции площади с формулами для площади дает соответствующее соотношение для балок различной конфигурации.
Площадь поперечного сечения балки увеличивается в двух измерениях
Рассмотрим балку, площадь поперечного сечения которой увеличивается в двух измерениях, например. сплошная круглая балка или сплошная квадратная балка.
Объединив формулы площади и плотности, мы можем увидеть, что радиус этого пучка будет изменяться примерно обратно пропорционально квадрату плотности для данной массы.
Исследуя формулы момента инерции площади, мы видим, что жесткость этой балки будет изменяться примерно как четвертая степень радиуса.
Таким образом, второй момент площади будет изменяться примерно как обратная величина квадрата плотности, а эксплуатационные характеристики балки будут зависеть от модуля Юнга, деленного на квадрат плотности.
Площадь поперечного сечения балки увеличивается в одном измерении
Рассмотрим балку, площадь поперечного сечения которой увеличивается в одном измерении, например, тонкостенную круглую балку или прямоугольную балку, высота которой, но не ширина, изменяется.
Объединив формулы площади и плотности, мы можем увидеть, что радиус или высота этого луча будут изменяться примерно обратно пропорционально плотности для данной массы.
Исследуя формулы момента инерции площади, мы видим, что жесткость этой балки будет изменяться примерно как третья степень радиуса или высоты.
Таким образом, второй момент площади будет изменяться примерно как обратная кубу плотности, а характеристики балки будут зависеть от модуля Юнга, деленного на куб плотности.
Однако при использовании этой метрики следует проявлять осторожность. Тонкостенные балки в конечном итоге ограничены локальным выпучиванием и боковым выпучиванием с кручением. Эти режимы выпучивания зависят от свойств материала, отличных от жесткости и плотности, поэтому метрика жесткости по кубу плотности в лучшем случае является отправной точкой для анализа. Например, большинство пород древесины набирают больше баллов, чем большинство металлов по этой метрике, но многие металлы можно сформировать в полезные балки с гораздо более тонкими стенками, чем можно было бы достичь с помощью древесины, учитывая большую уязвимость древесины к локальному выпучиванию. Характеристики тонкостенных балок также могут быть значительно изменены относительно небольшими изменениями в геометрии, такими как полки и ребра жесткости.
Жесткость против прочности на изгиб
Обратите внимание, что предел прочности балки при изгибе зависит от предела прочности ее материала и момента сопротивления сечения, а не от ее жесткости и второго момента площади. Однако его прогиб и, следовательно, его сопротивление эйлерову короблению будут зависеть от этих двух последних значений.