Результаты напряжений — это упрощенные представления напряженного состояния в элементах конструкции, таких как балки, пластины или оболочки. Геометрия типовых элементов конструкции позволяет упростить внутреннее напряженное состояние за счет существования направления «толщины», в котором размер элемента значительно меньше, чем в других направлениях. Как следствие, три компонента тяги, которые изменяются от точки к точке поперечного сечения, могут быть заменены набором равнодействующих сил и равнодействующих моментов. Это результирующие напряжения (также называемые мембранными силами, силами сдвига и изгибающим моментом), которые можно использовать. определить детальное напряженное состояние в элементе конструкции. Затем трехмерную задачу можно свести к одномерной (для балок) или двумерной задаче (для пластин и оболочек).
Результирующие напряжений определяются как интегралы напряжений по толщине элемента конструкции. Интегралы взвешиваются целыми степенями координаты толщины z (или x3). Результирующие напряжения определяются таким образом, чтобы представлять эффект напряжения в виде мембранной силы N (нулевая степень в z), изгибающего момента M (степень 1 ) на балке или оболочке (конструкции). Результирующие напряжений необходимы для исключения зависимости z напряжения из уравнений теории пластин и оболочек.
Рассмотрим элемент, показанный на соседнем рисунке. Предположим, что направление толщины равно x3. Если элемент извлечен из балки, ширина и толщина сопоставимы по размеру. Пусть x2 — направление ширины. Тогда x1 — это направление длины.
Результирующий вектор силы, возникающий из-за тяги в поперечном сечении (A), перпендикулярном оси x1, равен
где e1, e2, e3 — это единичные векторы вдоль x1, x2 и x< sub>3 соответственно. Определим результирующие напряжения так, что
где N11 — мембранная сила, а V2, V3 — сдвигающие силы. Более конкретно, для балки высотой t и шириной b,
Аналогично, результирующие поперечной силы равны
Вектор изгибающего момента, вызванного напряжениями в поперечном сечении A, перпендикулярном оси x1, определяется выражением
Расширяя это выражение, мы имеем:
Мы можем записать результирующие компоненты изгибающего момента как
Для пластин и оболочек размеры x1 и x2 намного больше, чем размер в x3 направлении. Интегрирование по площади поперечного сечения должно было бы включать одно из более крупных измерений и привело бы к модели, которая слишком проста для практических расчетов. По этой причине напряжения интегрируются только по толщине, а результирующие напряжения обычно выражаются в единицах силы на единицу длины (или момента на единицу длины) вместо истинного значения. сила и момент, как в случае с балками.
Для пластин и оболочек нам приходится рассматривать два сечения. Первый перпендикулярен оси x1, а второй перпендикулярен оси x2. Следуя той же процедуре, что и для балок, и учитывая, что результаты теперь приведены на единицу длины, мы имеем
Мы можем записать вышесказанное как
где мембранные силы определяются как
а сдвигающие силы определяются как
Для равнодействующих изгибающего момента имеем
где r = x3 e3.
Раскрывая эти выражения, мы имеем:
Определим результирующие изгибающего момента так, что
Тогда результирующие изгибающего момента будут иметь вид
Это результирующие, которые часто встречаются в литературе, но необходимо позаботиться о том, чтобы знаки были правильно интерпретированы.