сюжет Саутвелла

График Саутвелла — это графический метод экспериментального определения критической нагрузки конструкции без необходимости подвергать конструкцию нагрузкам, близким к критическим. Методика может быть использована для неразрушающего контроля любых элементов конструкции, которые могут выйти из строя из-за потери устойчивости.

Рассмотрим свободно опертую балку, находящуюся под сжимающей нагрузкой P. Дифференциальное уравнение равновесия имеет вид

${\displaystyle {\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+\alpha ^{2}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(v-v^{o})=0}$, ${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {P}{EI}}}$

где v^o — начальный прогиб, а граничные условия:

${\displaystyle v(0)=v^{»}(0)=v(L)=v^{»}(L)=0}$

Предполагая, что отклоненную форму можно выразить в виде ряда Фурье

${\displaystyle v^{o}(x)=\sum _{1}^{\infty }v_{n}^{o}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$, ${\displaystyle v(x)=\sum _{1}^{\infty }v_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$

Тогда после подстановки в дифференциальное уравнение

${\displaystyle v(x)=\sum _{1}^{\infty }{\frac {v_{n}^{o}}{P_{n}/P-1}}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$, ${\displaystyle P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{L^{2}}}}$

Это связывает отклоненную форму с первоначальными дефектами и приложенной нагрузкой. В частности, при x=L/2,

${\displaystyle v(L/2)=V_{1}-V_{3}+V_{5}+…}$, ${\displaystyle V_{n}={\frac {v_{n}^{o}}{P_{n}/P-1}}}$

Когда P приближается к P₁, в v(L/2) преобладает В₁. Следовательно, когда P${\displaystyle \approx }$P₁, то фундаментальный режим будет доминировать, что приведет к

${\displaystyle v=V_{1}={\frac {v_{1}^{o}}{P_{1}/P-1}}or{\frac {v}{P}}={\frac {v}{P_{c}}}+{\frac {v_{i}^{o}}{P_{c}}}}$

Саутвелл строит график зависимости v/P от v и получает P₁= P_{критический}=P_c от наклона прогнозируемого прямого графика.

Этот анализ был выполнен для конкретной точки свободно опертой балки, но эту концепцию можно распространить на произвольные конструкции. Для любой задачи, математическим аналогом которой является то же обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка, что и выше, с аналогичными граничными условиями, первое собственное значение соответствующей однородной задачи можно получить из наклона графика. Поэтому можно выбрать точку большого прогиба, причем она не обязательно должна быть центром свободно опертой балки.

Строго говоря, график Саутвелла применим только к конструкциям с нейтральным путем после потери устойчивости. Первоначально созданный для решения проблем устойчивости при потере устойчивости колонн, метод Саутвелла также использовался для определения критических нагрузок в экспериментах по выпучиванию рам и плит.

Метод особенно полезен для полевых испытаний конструкций, которые могут быть повреждены при приложении нагрузок, близких к критической нагрузке и за ее пределами, таких как железобетонные колонны или современные композитные материалы. Метод также может минимизировать паразитные эффекты в экспериментах и ​​давать значения, которые ближе к теоретически ожидаемым значениям. Например, в реальной экспериментальной установке невозможно идеально воспроизвести любое теоретическое граничное условие. Кроме того, результаты испытаний на сжатие могут быть очень чувствительны к несовершенствам и фактическим граничным условиям. Поэтому измеренная критическая нагрузка во время эксперимента может сильно отличаться от прогнозируемой.