Теорема Кенига (кинетика)

В кинетике Теорема Кенига или Разложение Кенига — это математическое соотношение, выведенное Иоганном Самуэлем Кенигом, которое помогает при расчете углового момента и кинетической энергии тел и систем частиц.

Теорема разделена на две части.

Первая часть выражает момент импульса системы как сумму момента импульса центра масс и момента импульса, приложенного к частицам относительно центра масс.

L → = r → C o M × ∑ i m i v → C o M + L → ′ = L → C o M + L → ′ {\displaystyle \displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}_{CoM}\times \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{CoM}+{\vec {L}}’={\vec {L}}_{CoM}+{\vec {L}}’}

Учитывая инерциальную систему отсчета с началом О, угловой момент системы можно определить как:

L → = ∑ i ( r → i × m i v → i ) {\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}({\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\vec {v}}_{i})}

Положение отдельной частицы можно выразить как:

r → i = r → C o M + r → i ′ {\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{CoM}+{\vec {r}}’_{i}}

Итак, мы можем определить скорость отдельной частицы:

v → i = v → C o M + v → i ′ {\displaystyle {\vec {v}}_{i}={\vec {v}}_{CoM}+{\vec {v}}’_{i}}

Первое уравнение принимает вид:

Но следующие члены равны нулю:

∑ i m i r → i ′ = 0 {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}’_{i}=0}

∑ i m i v → i ′ = 0 {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}’_{i}=0}

Итак, мы доказываем, что:

L → = ∑ i r → i ′ × m i v → i ′ + M r → C o M × v → C o M {\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}{\vec {r}}’_{i}\times m_{i}{\vec {v}}’_{i}+M{\vec {r}}_{CoM}\times {\vec {v}}_{CoM}}

где М — полная масса системы.

Вторая часть выражает кинетическую энергию системы частиц через скорости отдельных частиц и центра масс.

В частности, он утверждает, что кинетическая энергия системы частиц представляет собой сумму кинетической энергии, связанной с движением центра масс, и кинетической энергии, связанной с движением частиц относительно центра масс.

K = K ′ + K CoM {\displaystyle K=K’+K_{\text{CoM}}}

Полная кинетическая энергия системы равна:

K = ∑ i 1 2 m i v i 2 {\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}}

Как и в первой части, подставляем скорость:

Мы знаем, что v ¯ C o M ⋅ ∑ i m i v ¯ i ′ = 0 , {\displaystyle {\bar {v}}_{CoM}\cdot \sum _{i}m_{i}{\bar {v}}’_{i}=0,} , поэтому, если мы определим:

K ′ = ∑ i 1 2 m i v i ′ 2 {\displaystyle K’=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v’_{i}}^{2}}

K CoM = ∑ i 1 2 m i v CoM 2 = 1 2 M v CoM 2 {\displaystyle K_{\text{CoM}}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{\text{CoM}}^{2}={\frac {1}{2}}Mv_{\text{CoM}}^{2}}

нам осталось:

K = K ′ + K CoM {\displaystyle K=K’+K_{\text{CoM}}}

Теорема также может быть применена к твердым телам, утверждая, что кинетическая энергия K твердого тела, наблюдаемая наблюдателем, фиксированным в некоторой инерциальной системе отсчета N, может быть записана как:

N K = 1 2 m ⋅ N v ¯ ⋅ N v ¯ + 1 2 N H ¯ ⋅ N ω R {\displaystyle ^{N}K={\frac {1}{2}}m\cdot {^{N}\mathbf {\bar {v}} }\cdot {^{N}\mathbf {\bar {v}} }+{\frac {1}{2}}{^{N}\!\mathbf {\bar {H}} }\cdot ^{N}{\!\!\mathbf {\omega } }^{R}}

где m {\displaystyle {m}} — масса твердого тела; N v ¯ {\displaystyle {^{N}\mathbf {\bar {v}} }} — скорость центра масс твердого тела, видимая наблюдателем, неподвижным в инерциальной системе отсчета N; N H ¯ {\displaystyle {^{N}\!\mathbf {\bar {H}} }} — момент импульса твердого тела относительно центра масс, также взятый в инерциальной системе отсчета N; и N ω R {\displaystyle ^{N}{\!\!\mathbf {\omega } }^{R}} — угловая скорость твердого тела R относительно инерциальной системы отсчета N.