В проектировании конструкций параболическая формула Джонсона представляет собой эмпирически обоснованное уравнение для расчета критического напряжения потери устойчивости колонны. Формула основана на экспериментальных результатах Дж. Б. Джонсона примерно 1900 года как альтернатива формуле критической нагрузки Эйлера в условиях низкого коэффициента гибкости (отношения радиуса инерции к эффективной длине).
Уравнение интерполирует предел текучести материала до критического напряжения потери устойчивости, определяемого формулой Эйлера, связывающей коэффициент гибкости с напряжением, необходимым для выпучивания колонны.
Выпучивание относится к режиму разрушения, при котором конструкция теряет устойчивость. Это связано с недостаточной жесткостью конструкции. Установка нагрузки на длинный тонкий стержень может привести к разрушению коробления до того, как образец выйдет из строя при сжатии.
Формула Эйлера для потери устойчивости тонкой колонны дает критический уровень напряжения, вызывающий потерю устойчивости, но не учитывает виды разрушения материала, такие как текучесть, которая, как было показано, снижает критическое напряжение потери устойчивости. Формула Джонсона интерполирует предел текучести материала колонны и критическое напряжение, определяемое формулой Эйлера. Он создает новую границу разрушения путем подгонки параболы к графику разрушения Эйлера с помощью метода
На графике кривой Эйлера имеется точка перехода, расположенная при критическом коэффициенте гибкости. При значениях гибкости ниже этой точки (возникает у образцов с относительно небольшой длиной по сравнению с их поперечным сечением) график будет следовать параболе Джонсона; напротив, более высокие значения гибкости будут более точно соответствовать уравнению Эйлера.
Формула Эйлера
где
Уравнение Эйлера полезно в таких ситуациях, как идеальный закрепленный-закрепленный столбец, или в случаях, когда эффективная длина может использоваться для корректировки существующей формулы (т. е. фиксированная-свободная).
(L — первоначальная длина образца до приложения силы.)
Однако некоторые геометрии не совсем точно отражаются формулой Эйлера. Одной из переменных в приведенном выше уравнении, которая отражает геометрию образца, является коэффициент гибкости, который представляет собой длину колонны, деленную на радиус вращения.
Коэффициент гибкости является показателем устойчивости образца к изгибу и короблению из-за его длины и поперечного сечения. Если коэффициент гибкости меньше критического коэффициента гибкости, колонна считается короткой. В этих случаях парабола Джонсона более применима, чем формула Эйлера.
Коэффициент гибкости элемента можно найти с помощью
Критический коэффициент гибкости равен
Одним из распространенных материалов в аэрокосмической промышленности является алюминий 2024. Некоторые свойства алюминия 2024 были определены экспериментально, например, предел текучести при растяжении (324 МПа) и модуль упругости (73,1 ГПа). Формулу Эйлера можно использовать для построения кривой разрушения, но она не будет точной ниже определенного значения — критического коэффициента гибкости.
Следовательно, уравнение Эйлера применимо для значений больше 66,7.
Парабола Джонсона учитывает меньшие значения .