Закон Парижа

Закон Париса (также известный как уравнение Париса–Эрдогана) — это уравнение роста трещины, которое определяет скорость роста усталостной трещины. Коэффициент интенсивности напряжений ${\displaystyle K}$ характеризует нагрузку вокруг вершины трещины, а экспериментально показано, что скорость роста трещины является функцией диапазона интенсивность напряжения ${\displaystyle \Delta K}$, наблюдаемая в цикле нагрузки. Уравнение Парижа имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{da \over dN}&=C\left(\Delta K\right)^{m},\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle a}$ — длина трещины, а ${\displaystyle {\rm {d}}a/{\rm {d}}N}$ — рост усталостной трещины для цикла нагрузки ${\displaystyle N}$. Коэффициенты материала ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle m}$ получены экспериментально и также зависят от окружающей среды, частоты, температуры и коэффициента напряжений. Было обнаружено, что диапазон коэффициента интенсивности напряжений коррелирует со скоростью роста трещины из различных условий и представляет собой разницу между максимальным и минимальным коэффициентами интенсивности напряжений в цикле нагрузки и определяется как

${\displaystyle \Delta K=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}.}$

Уравнение Париса-Эрдогана, описывающее степенную зависимость между скоростью роста трещины при циклическом нагружении и диапазоном коэффициента интенсивности напряжений, можно представить в виде прямой линии на графике в двойном логарифмическом масштабе, где ось x обозначает диапазон коэффициента интенсивности напряжений, а ось y — скорость роста трещины.

Способность ΔK коррелировать данные о скорости роста трещины во многом зависит от того, что переменные напряжения, вызывающие рост трещины, малы по сравнению с пределом текучести. Поэтому пластические зоны вершины трещины малы по сравнению с длиной трещины даже в очень пластичных материалах, таких как нержавеющие стали.

Уравнение дает рост для одного цикла. Одиночные циклы можно легко подсчитать для нагрузки постоянной амплитуды. Для извлечения эквивалентных циклов постоянной амплитуды из последовательности нагрузки переменной амплитуды необходимо использовать дополнительные методы идентификации цикла, такие как алгоритм подсчета дождевого потока.

История

В статье 1961 года П. К. Парис выдвинул идею о том, что скорость роста трещины может зависеть от коэффициента интенсивности напряжений. Затем в своей статье 1963 года Парис и Эрдоган косвенно предложили уравнение с попутным замечанием: «Авторы колеблются, но не могут устоять перед соблазном провести прямую линию с наклоном 1/4 через данные» после обзора данных на логарифмическом графике роста трещины в зависимости от диапазона интенсивности напряжений. Затем уравнение Париса было представлено с фиксированным показателем степени 4.

Область применимости

Коэффициент напряжения

Известно, что более высокое среднее напряжение увеличивает скорость роста трещин и известно как эффект среднего напряжения.
Среднее напряжение цикла выражается через коэффициент напряжения ${\displaystyle R}$ который определяется как

${\displaystyle R={K_{\text{min}} \over K_{\text{max}}},}$

или отношение минимального и максимального коэффициентов интенсивности напряжений. В режиме линейного упругого разрушения ${\displaystyle R}$ также эквивалентно отношению нагрузки

${\displaystyle R\equiv {P_{\text{min}} \over P_{\text{max}}}.}$

Уравнение Парижа-Эрдогана явно не включает эффект отношения напряжений, хотя коэффициенты уравнения могут быть выбраны для определенного отношения напряжений. Другие уравнения роста трещин, такие как уравнение Формана явно включают эффект отношения напряжений, как и уравнение Элбера, моделируя эффект закрытия трещины.

Средний диапазон интенсивности напряжения

Уравнение Парижа-Эрдогана справедливо для среднего диапазона темпов роста, но не применимо для очень низких значений ${\displaystyle \Delta K}$приближаемся к пороговому значению ${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$ или для очень высоких значений, приближающихся к вязкости разрушения материала, ${\displaystyle K_{\text{Ic}}}$. Интенсивность знакопеременного напряжения на критическом пределе определяется выражением ${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K_{\text{cr}}&=(1-R)K_{\text{Ic}}\end{aligned}}}$.

Наклон кривой скорости роста трещины в двойном логарифмическом масштабе обозначает значение показателя степени ${\displaystyle m}$ и обычно находится в диапазоне ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 4}$, хотя для материалов с низкой статической вязкостью разрушения, таких как высокопрочные стали, значение ${\displaystyle m}$ может достигать ${\displaystyle 10}$.

Длинные трещины

Поскольку размер пластической зоны ${\displaystyle (r_{\text{p}}\approx K_{I}^{2}/\sigma _{y}^{2})}$ мала по сравнению с длиной трещины, ${\displaystyle a}$ (здесь, ${\displaystyle \sigma _{y}}$ — предел текучести), применяется приближение мелкомасштабной текучести, что позволяет использовать линейно-упругую механику разрушения и коэффициент интенсивности напряжений. Таким образом, уравнение Париса–Эрдогана справедливо только в режиме линейно-упругого разрушения, при растягивающей нагрузке и для длинных трещин.