Уравнения Кирхгофа

В гидродинамике уравнения Кирхгофа, названные в честь Густава Кирхгофа, описывают движение твердого тела в идеальной жидкости.

Уравнения Кирхгофа

d d t ∂ T ∂ ω → = ∂ T ∂ ω → × ω → + ∂ T ∂ v → × v → + Q → h + Q → , d d t ∂ T ∂ v → = ∂ T ∂ v → × ω → + F → h + F → , T = 1 2 ( ω → T I ~ ω → + m v 2 ) Q → h = − ∫ p x → × n ^ d σ , F → h = − ∫ p n ^ d σ {\displaystyle {\begin{aligned}{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}}+{\vec {Q}}_{h}+{\vec {Q}},\\[10pt]{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }}+{\vec {F}}_{h}+{\vec {F}},\\[10pt]T&={1 \over 2}\left({\vec {\omega }}^{T}{\tilde {I}}{\vec {\omega }}+mv^{2}\right)\\[10pt]{\vec {Q}}_{h}&=-\int p{\vec {x}}\times {\hat {n}}\,d\sigma ,\\[10pt]{\vec {F}}_{h}&=-\int p{\hat {n}}\,d\sigma \end{aligned}}}

где ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} и v → {\displaystyle {\vec {v}}} — векторы угловой и линейной скорости в точке x → {\displaystyle {\vec {x}}} соответственно; I ~ {\displaystyle {\tilde {I}}} — тензор момента инерции, m {\displaystyle m} — масса тела; n ^ {\displaystyle {\hat {n}}}  — это
единица измерения нормали к поверхности тела в точке x → {\displaystyle {\vec {x}}} ;
p {\displaystyle p} на этом этапе является давлением; Q → h {\displaystyle {\vec {Q}}_{h}} и F → h {\displaystyle {\vec {F}}_{h}} — гидродинамические
крутящий момент и сила, действующие на тело соответственно;
Q → {\displaystyle {\vec {Q}}} и F → {\displaystyle {\vec {F}}} аналогичным образом обозначают все остальные крутящие моменты и силы, действующие на
тело. Интегрирование выполняется по части, подверженной воздействию жидкости.
поверхность тела.

Если тело представляет собой полностью погруженное тело в бесконечно большом объеме безвихревой, несжимаемой, невязкой жидкости, то есть покоящееся на бесконечности, то векторы Q → h {\displaystyle {\vec {Q}}_{h}} и F → h {\displaystyle {\vec {F}}_{h}} находится путем явного интегрирования, а динамика тела описывается уравнениями Кирхгофа – Клебша:

d d t ∂ L ∂ ω → = ∂ L ∂ ω → × ω → + ∂ L ∂ v → × v → , d d t ∂ L ∂ v → = ∂ L ∂ v → × ω → , {\displaystyle {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}},\quad {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }},}

L ( ω → , v → ) = 1 2 ( A ω → , ω → ) + ( B ω → , v → ) + 1 2 ( C v → , v → ) + ( k → , ω → ) + ( l → , v → ) . {\displaystyle L({\vec {\omega }},{\vec {v}})={1 \over 2}(A{\vec {\omega }},{\vec {\omega }})+(B{\vec {\omega }},{\vec {v}})+{1 \over 2}(C{\vec {v}},{\vec {v}})+({\vec {k}},{\vec {\omega }})+({\vec {l}},{\vec {v}}).}

Их первые интегралы читались
J 0 = ( ∂ L ∂ ω → , ω → ) + ( ∂ L ∂ v → , v → ) − L , J 1 = ( ∂ L ∂ ω → , ∂ L ∂ v → ) , J 2 = ( ∂ L ∂ v → , ∂ L ∂ v → ) . {\displaystyle J_{0}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{\vec {\omega }}\right)+\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{\vec {v}}\right)-L,\quad J_{1}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right),\quad J_{2}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right).}

Дальнейшее интегрирование дает явные выражения для положения и скорости.