Уравнение роста трещины

Уравнение роста трещин используется для расчета размера усталостной трещины, растущей от циклических нагрузок. Рост усталостной трещины может привести к катастрофическому разрушению, особенно в случае самолетов. Когда множество растущих усталостных трещин взаимодействуют друг с другом, это называется широкомасштабным усталостным повреждением. Уравнение роста трещин можно использовать для обеспечения безопасности как на этапе проектирования, так и во время эксплуатации путем прогнозирования размера трещин. В критической конструкции нагрузки могут регистрироваться и использоваться для прогнозирования размера трещин, чтобы гарантировать, что техническое обслуживание или вывод из эксплуатации произойдет до того, как какая-либо из трещин выйдет из строя. Коэффициенты безопасности используются для уменьшения прогнозируемой усталостной долговечности до эксплуатационной усталостной долговечности из-за чувствительности усталостной долговечности к размеру и форме дефектов, вызывающих трещины, а также изменчивости между предполагаемой нагрузкой и фактической нагрузкой, испытываемой компонентом.

Усталостный срок службы можно разделить на период зарождения и период роста трещины. Уравнения роста трещин используются для прогнозирования размера трещины, начиная с заданного начального дефекта, и обычно основаны на экспериментальных данных, полученных в ходе усталостных испытаний с постоянной амплитудой.

Одно из первых уравнений роста трещин, основанное на диапазоне коэффициентов интенсивности напряжений в цикле нагрузки (${\displaystyle \Delta K}$) — уравнение Парижа–Эрдогана.

${\displaystyle {da \over dN}=C(\Delta K)^{m}}$

где ${\displaystyle a}$ — длина трещины и ${\displaystyle {\rm {d}}a/{\rm {d}}N}$ — рост усталостной трещины за один цикл нагрузки ${\displaystyle N}$. Были разработаны различные уравнения роста трещин, аналогичные уравнению Парижа-Эрдогана, которые включают факторы, влияющие на скорость роста трещины, такие как соотношение напряжений, перегрузки и эффекты истории нагрузки.

Диапазон интенсивности стресса можно рассчитать по максимальной и минимальной интенсивности стресса за цикл.

${\displaystyle \Delta K=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}}$

Фактор геометрии ${\displaystyle \beta }$ используется для связи напряжения в дальней зоне ${\displaystyle \sigma }$ к интенсивности напряжения в вершине трещины с помощью

${\displaystyle K=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}}}$.

Существуют стандартные ссылки, содержащие геометрические коэффициенты для множества различных конфигураций.

История уравнений распространения трещин

За прошедшие годы было предложено множество уравнений распространения трещин для повышения точности прогнозирования и учета различных эффектов. Работы Хэда, Фроста и Дагдейла, МакЭвили и Иллга и Лю о поведении усталостных трещин заложили основу в этой теме. Общий вид этих уравнений распространения трещин можно выразить как

${\displaystyle {da \over dN}=f(\Delta \sigma ,a,C_{i}),}$

где длина трещины обозначается как < >, число количество циклов приложенной нагрузки определяется выражением < >, ударение диапазон по ${\displaystyle \Delta \sigma }$ и параметры материала с помощью ${\displaystyle C_{i}}$. Для симметричных конфигураций длина трещины от линии симметрии определяется как ${\displaystyle a}$ и составляет половину общей длины трещины ${\displaystyle 2a}$.

Уравнения роста трещин вида ${\displaystyle da/dN}$ не являются истинными дифференциальными уравнениями, поскольку они не моделируют процесс роста трещин в непрерывным образом в течение всего цикла нагрузки. Таким образом, для определения максимальных и минимальных значений в цикле требуются отдельные алгоритмы подсчета циклов или идентификации, такие как широко используемый алгоритм подсчета потока дождя. Хотя он был разработан для методов определения прочности на растяжение/деформацию, подсчет потока дождя также показал свою эффективность для роста трещин. Было также разработано небольшое количество истинных производных уравнений роста усталостных трещин.

Факторы, влияющие на скорость роста трещин

Режимы

На рисунке 1 показан типичный график скорости роста трещины в зависимости от интенсивности переменного напряжения или движущей силы вершины трещины ${\displaystyle \Delta K}$ построено в логарифмическом масштабе. Поведение скорости роста трещины в зависимости от интенсивности знакопеременного напряжения можно объяснить в различных режимах (см. рис. 1) следующим образом:

Режим A: При низких скоростях роста изменения в микроструктуре, среднем напряжении (или коэффициенте нагрузки) и окружающей среде оказывают существенное влияние на скорость распространения трещин. Замечено, что при низких коэффициентах нагрузки скорость роста наиболее чувствительна к микроструктуре, а в материалах низкой прочности она наиболее чувствительна к коэффициенту нагрузки.

Режим B: При средних скоростях роста изменения микроструктуры, среднего напряжения (или коэффициента нагрузки), толщины и окружающей среды не оказывают существенного влияния на скорость распространения трещин.

Режим C: При высоких скоростях роста распространение трещин очень чувствительно к изменениям микроструктуры, среднего напряжения (или коэффициента нагрузки) и толщины. Воздействие окружающей среды имеет сравнительно меньшее влияние.

Эффект соотношения напряжений

Циклы с более высоким коэффициентом нагрузки < > имеют повышенную скорость роста трещин. Этот эффект часто объясняют с помощью концепции закрытия трещины, которая описывает наблюдение, что берега трещины могут оставаться в контакте друг с другом при нагрузках выше нуля. Это уменьшает диапазон эффективных коэффициентов интенсивности напряжений и скорость роста усталостных трещин.

Эффекты последовательности

A ${\displaystyle da/dN}$ уравнение дает скорость роста для один цикл, но когда нагрузка не имеет постоянной амплитуды, изменения нагрузки могут привести к временному увеличению или уменьшению скорости роста. Для решения некоторых из этих случаев были разработаны дополнительные уравнения. Скорость роста замедляется, когда в последовательности загрузки возникает перегрузка. Эти нагрузки создают пластическую зону, которая может замедлить темпы роста. Два примечательных уравнения для моделирования задержек, возникающих при росте трещины в области перегрузки:

The Wheeler model (1972)

${\displaystyle \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{VA}}=\beta \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{CA}}}$ with ${\displaystyle \beta =\left({\frac {r_{\text{pi}}}{r_{\text{max}}}}\right)^{k}}$

где ${\displaystyle r_{\text{pi}}}$ — это пластик зона, соответствующая i-му циклу, возникающему после перегрузки, и ${\displaystyle r_{\text{max}}}$ — расстояние между трещиной и протяженностью пластической зоны при перегрузке.

The Willenborg model

Уравнения роста трещин

Пороговое уравнение

Для прогнозирования скорости роста трещины в околопороговой области использовалось следующее соотношение:

${\displaystyle {da \over dN}=A\left(\Delta K-\Delta K_{\text{th}}\right)^{p}.}$

Уравнение Парижа–Эрдогана

Для прогнозирования скорости роста трещины в промежуточном режиме используется уравнение Париса–Эрдогана

${\displaystyle {da \over dN}=C\left(\Delta K\right)^{m}.}$

Уравнение Формана

В 1967 году Форман предложил следующее соотношение для учета увеличения скорости роста из-за соотношения напряжений и при приближении к вязкости разрушения ${\displaystyle K_{\text{c}}}$

${\displaystyle {da \over dN}={\frac {C(\Delta K)^{n}}{(1-R)K_{\text{c}}-\Delta K}}}$

Уравнение МакЭвиля–Гроегера

МакЭвили и Грегер предложили следующую степенную зависимость, которая учитывает влияние как высоких, так и низких значений ${\displaystyle \Delta K}$

${\displaystyle {da \over dN}=A(\Delta K-\Delta K_{\text{th}})^{2}{\Big [}1+{\frac {\Delta K}{K_{\text{Ic}}-K_{\text{max}}}}{\Big ]}}$.

Уравнение НАСГРО

Уравнение NASGRO используется в программах роста трещин AFGROW, FASTRAN и NASGRO. Это общее уравнение, которое охватывает более низкую скорость роста вблизи порогового значения ${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$ и увеличение скорости роста, приближающейся к вязкости разрушения ${\displaystyle K_{\text{crit}}}$, а также учет эффекта среднего напряжения путем включения напряжения соотношение ${\displaystyle R}$. Уравнение NASGRO имеет вид

${\displaystyle {\frac {da}{dN}}=C\left[\left({\frac {1-f}{1-R}}\right)\Delta K\right]^{n}{\left(1-{\frac {\Delta K_{\text{th}}}{\Delta K}}\right)^{p} \over \left(1-{\frac {K_{\max }}{K_{\text{crit}}}}\right)^{q}}}$

где ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$ и ${\displaystyle K_{\text{crit}}}$ — коэффициенты уравнения.

Уравнение МакКлинтока

В 1967 году МакКлинток разработал уравнение для верхнего предела роста трещины, основанное на циклическом смещении раскрытия вершины трещины ${\displaystyle \Delta {\text{CTOD}}}$

${\displaystyle {da \over dN}\propto \Delta {\text{CTOD}}\approx \beta {(\Delta K)^{2} \over {2\sigma _{0}E’}}}$

где ${\displaystyle \sigma _{0}}$ — напряжение потока, ${\displaystyle E’}$ — модуль Юнга и ${\displaystyle \beta }$ — это константа, обычно лежащая в диапазоне 0,1–0,5.

Уравнение Уокера

Чтобы учесть эффект соотношения напряжений, Уокер предложил модифицированную форму уравнения Пэрис-Эрдогана.

${\displaystyle {da \over dN}=C{\Big (}{\overline {\Delta K}}{\Big )}^{m}=C{\bigg (}{\frac {\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma }}}{\bigg )}^{m}=C{\big (}K_{\text{max}}(1-R)^{\gamma }{\big )}^{m}}$

где, ${\displaystyle \gamma }$ — это параметр материала, который отражает влияние соотношения напряжений на скорость роста усталостной трещины. Обычно ${\displaystyle \gamma }$ принимает значение около ${\displaystyle 0.5}$, но может варьироваться в пределах ${\displaystyle 0.3-1.0}$. Обычно предполагается, что сжимающая часть цикла загрузки ${\displaystyle {\big (}R<0{\big )}}$ не влияет на рост трещины, учитывая ${\displaystyle \gamma =0,}$ что дает ${\displaystyle {\overline {\Delta K}}=K_{\text{max}}.}$ Это можно физически объяснить, если учесть, что трещина закрывается при нулевой нагрузке и не ведет себя как трещина при сжимающих нагрузках. В очень пластичных материалах, таких как сталь Man-Ten, сжимающая нагрузка не способствуют росту трещин в соответствии с << MATH7>>.

Уравнение Элбера

Элбер модифицировал уравнение Пэрис-Эрдогана, чтобы учесть закрытие трещины, введя уровень интенсивности напряжения открытия ${\displaystyle K_{\text{op}}}$, при которой происходит контакт. Ниже этого уровня нет движения на вершине трещины и, следовательно, нет роста. Этот эффект был использован для объяснения эффекта соотношения напряжений и повышенной скорости роста, наблюдаемой при коротких трещинах. Уравнение Элбера

${\displaystyle \Delta K_{\text{eff}}=K_{\text{max}}-K_{\text{op}}}$

${\displaystyle {da \over dN}=C(\Delta K_{\text{eff}})^{m}}$

Уравнение пластичных и хрупких материалов

Общий вид скорости роста усталостных трещин в пластичных и хрупких материалах имеет вид

${\displaystyle {da \over dN}\propto (K_{\text{max}})^{n}(\Delta K)^{p},}$

где, ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle p}$ — параметры материала. Основываясь на различных механизмах распространения трещин и защиты их кончиков в металлах, керамике и интерметаллидах, замечено, что скорость роста усталостных трещин в металлах существенно зависит от ${\displaystyle \Delta K}$ термин, в керамике на ${\displaystyle K_{\text{max}}}$, а интерметаллиды имеют почти аналогичную зависимость от ${\displaystyle \Delta K}$ и ${\displaystyle K_{\text{max}}}$ термины.

Прогнозирование усталостной долговечности

Компьютерные программы

Существует множество компьютерных программ, реализующих уравнения роста трещин, например Nasgro, AFGROW и Fastran. Кроме того, существуют также программы, реализующие вероятностный подход к росту трещин, рассчитывающие вероятность отказа на протяжении всего срока службы компонента.

Программы роста трещин увеличивают трещину от первоначального размера до тех пор, пока она не превысит вязкость разрушения материала и не выйдет из строя. Поскольку вязкость разрушения зависит от граничных условий, вязкость разрушения может изменяться от условий плоской деформации для полукруглой поверхностной трещины до условий плоского напряжения для сквозной трещины. Вязкость разрушения для условий плоского напряжения обычно в два раза выше, чем для плоской деформации. Однако из-за быстрой скорости роста трещины ближе к концу ее срока службы изменения вязкости разрушения существенно не изменяют срок службы компонента.

Программы роста трещин обычно предоставляют на выбор:

Аналитическое решение

Коэффициент интенсивности напряжений определяется по формуле

${\displaystyle K=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}},}$

где ${\displaystyle \sigma }$ — приложенное равномерное растягивающее напряжение, действующее на образец в направлении, перпендикулярном плоскости трещины, ${\displaystyle a}$ длина трещины и ${\displaystyle \beta }$ — безразмерный параметр, зависящий от геометрии образца. Интенсивность знакопеременного напряжения становится

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K&={\begin{cases}\beta (\sigma _{\text{max}}-\sigma _{\text{min}}){\sqrt {\pi a}}=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}},\qquad R\geq 0\\\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a}},\qquad R<0\end{cases}},\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \Delta \sigma }$ — диапазон амплитуды циклического напряжения.

Предполагая, что начальный размер трещины равен < > , критический размер трещины < > перед образцом ошибки можно вычислить с помощью < > как

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{Ic}}&=\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a_{c}}},\\\Rightarrow a_{c}&={\frac {1}{\pi }}{\bigg (}{\frac {K_{\text{Ic}}}{\beta \sigma _{\text{max}}}}{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

Уравнение выше в ${\displaystyle a_{c}}$ является неявным по своей природе и может быть решено численно, если необходимо.

Случай I

Для ${\displaystyle R\geq 0.7,}$ закрытие трещины оказывает незначительное влияние на скорость роста трещины и уравнение Пэрис-Эрдогана можно использовать для расчета усталостной долговечности образца до того, как он достигнет критического размера трещины ${\displaystyle a_{c}}$ как

${\displaystyle {\begin{aligned}{da \over dN}&=C(\Delta K)^{m}=C{\bigg (}\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}{\bigg )}^{m},\\\Rightarrow N_{f}&={\frac {1}{({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{(C{\sqrt {a}}\beta )^{m}}}.\end{aligned}}}$

Модель роста трещины с постоянным значением 𝛽 и R = 0

Для модели роста трещины Гриффита-Ирвина или центральной трещины длиной ${\displaystyle 2a}$ в бесконечном листе, как показано на рисунке 2, у нас есть ${\displaystyle \beta =1}$ и не зависит от длины трещины. Кроме того, ${\displaystyle C}$ можно считать независимым от длины трещины. Предполагая ${\displaystyle \beta ={\text{constant}},}$, приведенный выше интеграл упрощается до

${\displaystyle N_{f}={\frac {1}{C({\sqrt {\pi }}\beta \Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{({\sqrt {a}})^{m}}},}$

путем интеграции приведенного выше выражения для <> и < span class="mwe-math-element">${\displaystyle m=2}$< img alt="{\displaystyle m=2}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert Skin-invert" src="https://.org/api/ rest_v1/media/math/render/svg/b32de1b0dc05f6e525ad6a3e8ddeeb4321fd79e5" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;"/> случаев, общее количество циклов загрузки ${\displaystyle N_{f}}$ задаются следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{f}&={\frac {2}{(m-2)C({\sqrt {\pi }}\beta \Delta \sigma )^{m}}}{\Bigg [}{\frac {1}{(a_{0})^{\frac {m-2}{2}}}}-{\frac {1}{(a_{c})^{\frac {m-2}{2}}}}{\Bigg ]},\qquad m\neq 2,\\N_{f}&={\frac {1}{\pi C(\beta \Delta \sigma )^{2}}}\ln {\frac {a_{c}}{a_{0}}},\qquad m=2.\end{aligned}}}$

Теперь для ${\displaystyle m>2}$< /span> и критический размер трещины очень большой по сравнению с начальным размером трещины ${\displaystyle {\big (}a_{c}>>a_{0}{\big )}}$ даст

${\displaystyle N_{f}={\frac {2}{(m-2)C({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma \beta )^{m}}}(a_{0})^{\frac {2-m}{2}}.}$

Приведенные выше аналитические выражения для общего количества циклов нагрузки до разрушения ${\displaystyle {\big (}N_{f}{\big )}}$ получены путем предположения ${\displaystyle Y={\text{constant}}}$. Для случаев, когда < > зависит от трещины таких как геометрия «Натяжение с одинарным краем» (SENT), «Натяжение по центру с трещиной» (CCT), численное интегрирование можно использовать для вычисления ${\displaystyle N_{f}}$.

Случай II

Для ${\displaystyle R<0.7,}$ явление закрытия трещины влияет на скорость роста трещины, и мы можем использовать уравнение Уокера для расчета усталостной долговечности образца до того, как он достигнет критического размера трещины ${\displaystyle a_{c}}$ как

${\displaystyle {\begin{aligned}{da \over dN}&=C{\bigg (}{\frac {\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma }}}{\bigg )}^{m}={\frac {C}{(1-R)^{m(1-\gamma )}}}{\bigg (}\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}{\bigg )}^{m},\\\Rightarrow N_{f}&={\frac {(1-R)^{m(1-\gamma )}}{({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{(C{\sqrt {a}}\beta )^{m}}}.\end{aligned}}}$

Численный расчет

Эта схема полезна, когда < > зависит от трещины size ${\displaystyle a}$. Первоначальный размер трещины считается < > . Коэффициент интенсивности напряжения при текущем размере трещины ${\displaystyle a}$ вычисляется используя максимальное приложенное напряжение как

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{max}}&=\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a}}.\end{aligned}}}$
If ${\displaystyle K_{\text{max}}}$ is less than the fracture toughness ${\displaystyle K_{\text{Ic}}}$, the crack has not reached its critical size ${\displaystyle a_{c}}$ and the simulation is continued with the current crack size to calculate the alternating stress intensity as

${\displaystyle \Delta K=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}.}$

Теперь, подставив коэффициент интенсивности напряжений в уравнение Пэрис-Эрдогана, приращение размера трещины ${\displaystyle \Delta a}$ вычисляется как

${\displaystyle \Delta a=C(\Delta K)^{m}\Delta N,}$

где ${\displaystyle \Delta N}$ — размер шага цикла. Новый размер трещины становится

${\displaystyle a_{i+1}=a_{i}+\Delta a,}$

где index ${\displaystyle i}$ относится к текущему шагу итерации. Новый размер трещины используется для расчета интенсивности напряжения при максимальном приложенном напряжении для следующей итерации. Этот итерационный процесс продолжается до тех пор, пока

${\displaystyle K_{\text{max}}\geq K_{\text{Ic}}.}$

Как только этот критерий отказа будет выполнен, моделирование останавливается.

Схематическое изображение процесса прогнозирования усталостной долговечности показано на рисунке 3.

Пример

Коэффициент интенсивности напряжений в образце SENT (см. рис. 4) при росте усталостной трещины определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{I}&=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}{\Bigg [}0.265{\bigg [}1-{\frac {a}{W}}{\bigg ]}^{4}+{\frac {0.857+0.265{\frac {a}{W}}}{{\big [}1-{\frac {a}{W}}{\big ]}^{\frac {3}{2}}}}{\Bigg ]},\\\Delta K_{I}&=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}.\end{aligned}}}$

Для расчета учитываются следующие параметры

${\displaystyle a_{0}=5}$ mm, ${\displaystyle W=100}$ mm, ${\displaystyle h=200}$ mm, ${\displaystyle K_{\text{Ic}}=30{\text{ MPa}}{\sqrt {\text{m}}}}$, ${\displaystyle R={\frac {K_{\text{min}}}{K_{\text{max}}}}=0.7}$,

${\displaystyle \Delta \sigma =20}$ МПа,${\displaystyle C=4.6774\times 10^{-11}{\frac {\text{m}}{\text{cycle}}}{\frac {1}{({\text{MPa}}{\sqrt {\text{m}}})^{m}}}}$, ${\displaystyle m=3.874}$.

Критическая длина трещины, < >, может быть вычислено, если ${\displaystyle K_{\text{max}}=K_{\text{Ic}}}$ как

${\displaystyle a_{c}={\frac {1}{\pi }}{\Bigg (}{\frac {0.45}{\beta }}{\Bigg )}^{2}.}$

Решая приведенное выше уравнение, критическая длина трещины получается как ${\displaystyle a_{c}=26.7{\text{mm}}}$.

Теперь обращение к уравнению Парижа-Эрдогана дает

${\displaystyle N_{f}={\frac {1}{C(\Delta \sigma )^{m}({\sqrt {\pi }})^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{a^{\frac {m}{2}}{\Bigg [}0.265{\bigg [}1-{\frac {a}{W}}{\bigg ]}^{4}+{\frac {0.857+0.265{\frac {a}{W}}}{{\big [}1-{\frac {a}{W}}{\big ]}^{\frac {3}{2}}}}{\Bigg ]}^{m}}}}$

Путем численного интегрирования приведенного выше выражения общее количество циклов нагрузки до отказа получается как ${\displaystyle N_{f}=1.2085\times 10^{6}{\text{ cycles}}}$.