Уравнение Гинзбурга – Ландау

Уравнение Гинзбурга–Ландау, названное в честь Виталия Гинзбурга и Льва Ландау, описывает нелинейную эволюцию малых возмущений вблизи конечной бифуркации длины волны от устойчивого состояния системы к неустойчивому. В начале бифуркации конечной длины волны система становится неустойчивой для критического волнового числа ${\displaystyle k_{c}}$, которое не равно нулю. В окрестности этой бифуркации эволюция возмущений характеризуется особой модой Фурье для ${\displaystyle k_{c}}$ с медленно меняющейся амплитудой << MATH2>> (точнее, действительная часть ${\displaystyle A}$). Уравнение Гинзбурга–Ландау является основным уравнением для ${\displaystyle A}$. Неустойчивые режимы могут быть либо неколебательными (стационарными), либо колебательными.

Для неколебательной бифуркации ${\displaystyle A}$ удовлетворяет реальному уравнению Гинзбурга – Ландау

который был впервые получен Аланом К. Ньюэллом, Джоном А. Уайтхедом и Ли Сигелом в 1969 году. Для колебательной бифуркации ${\displaystyle A}$ удовлетворяет комплексу Уравнение Гинзбурга–Ландау

который был впервые выведен Китом Стюартсоном и Джоном Тревором Стюартом в 1971 году. Здесь ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — действительные константы.

Когда задача однородна, т. е. когда ${\displaystyle A}$ не зависит от пространственных координат, уравнение Гинзбурга–Ландау сводится к уравнению Стюарта–Ландау. Уравнение Свифта – Хоэнберга приводит к уравнению Гинзбурга – Ландау.

Подставив ${\displaystyle A(\mathbf {x} ,t)=Re^{i\Theta }}$, где ${\displaystyle R=|A|}$ — это амплитуда, а ${\displaystyle \Theta =\mathrm {arg} (A)}$ — фаза, получаются следующие уравнения

Если мы подставим ${\displaystyle A=f(k)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$ в действительное уравнение без члена производной по времени, мы получим

Известно, что это решение становится неустойчивым из-за неустойчивости Экхауза для волновых чисел ${\displaystyle k^{2}>1/3.}$

Еще раз поищем устойчивые решения, но с поглощающим граничным условием ${\displaystyle A=0}$ в каком-то месте. В полубесконечной одномерной области ${\displaystyle 0\leq x<\infty }$ решение определяется выражением

где ${\displaystyle a}$ — произвольная действительная константа. Подобные решения можно построить численно в конечной области.

Решение для бегущей волны имеет вид

Групповая скорость волны определяется выражением ${\displaystyle d\omega /dk=2(\alpha -\beta )k.}$. Приведенное выше решение становится неустойчивым из-за неустойчивости Бенджамина-Фейра для волновых чисел <>

Импульс Хокинга – Стюартсона относится к квазистационарному одномерному решению комплексного уравнения Гинзбурга – Ландау, полученному Лесли М. Хокингом и Китом Стюартсоном в 1972 году. Решение имеет вид

где четыре действительные константы в приведенном выше решении удовлетворяют

Решения когерентной структуры получаются путем предположения ${\displaystyle A=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t}B({\boldsymbol {\xi }},t)}$, где ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}=\mathbf {x} +\mathbf {u} t}$. Это ведет к

где ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {u} +(1+i\alpha )\mathbf {k} }$ и ${\displaystyle \lambda =1+i\omega -(1+i\alpha )k^{2}.}$