Упругая нестабильность

Упругая неустойчивость — это форма нестабильности, возникающая в упругих системах, например, коробление балок и пластин под действием больших сжимающих нагрузок.

Существует множество способов изучения такого рода нестабильности. Один из них – использование метода нарастающих деформаций, основанного на наложении малого возмущения на равновесное решение.

В качестве простого примера рассмотрим жесткую балку длиной L, шарнирно закрепленную на одном конце и свободную на другом, и имеющую угловую пружину, прикрепленную к шарнирному концу. Балка нагружена на свободном конце силой F, действующей в сжимающем осевом направлении балки, см. рисунок справа.

Предполагая угловое отклонение по часовой стрелке ${\displaystyle \theta }$, момент по часовой стрелке, создаваемый силой, становится ${\displaystyle M_{F}=FL\sin \theta }$. Уравнение моментного равновесия имеет вид

${\displaystyle FL\sin \theta =k_{\theta }\theta }$

где ${\displaystyle k_{\theta }}$ — жесткость угловой пружины (Нм/радиан). Предполагая, что ${\displaystyle \theta }$ достаточно мал, реализация расширения Тейлора синусоидальной функции и сохранение двух первых членов дает

${\displaystyle FL{\Bigg (}\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}{\Bigg )}\approx k_{\theta }\theta }$

который имеет три решения: тривиальное ${\displaystyle \theta =0}$ и

${\displaystyle \theta \approx \pm {\sqrt {6{\Bigg (}1-{\frac {k_{\theta }}{FL}}{\Bigg )}}}}$

которое является мнимым (т. е. не физическим) для ${\displaystyle FL<k_{\theta }}$ и реальным в противном случае. Это означает, что для небольших сжимающих сил единственное состояние равновесия определяется ${\displaystyle \theta =0}$, а если сила превышает значение << MATH2>> внезапно стал возможен другой способ деформации.

Тот же результат можно получить, рассматривая энергетические соотношения. Энергия, запасенная в угловой пружине, равна

${\displaystyle E_{\mathrm {spring} }=\int k_{\theta }\theta \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}k_{\theta }\theta ^{2}}$

а работа, совершаемая силой, — это просто сила, умноженная на вертикальное смещение конца балки, которое равно ${\displaystyle L(1-\cos \theta )}$. Таким образом,

${\displaystyle E_{\mathrm {force} }=\int {F\mathrm {d} x=FL(1-\cos \theta )}}$

Условие энергетического равновесия ${\displaystyle E_{\mathrm {spring} }=E_{\mathrm {force} }}$ теперь дает ${\displaystyle F=k_{\theta }/L}$, как и раньше (кроме тривиальный ${\displaystyle \theta =0}$).

Любое решение ${\displaystyle \theta }$ устойчиво при небольшом изменении угла деформации ${\displaystyle \Delta \theta }$ приводит к моменту реакции, пытающемуся восстановить первоначальный угол деформации. Чистый момент по часовой стрелке, действующий на балку, равен

${\displaystyle M(\theta )=FL\sin \theta -k_{\theta }\theta }$

Бесконечно малое изменение угла деформации по часовой стрелке ${\displaystyle \theta }$ приводит к мгновенному результату.

${\displaystyle M(\theta +\Delta \theta )=M+\Delta M=FL(\sin \theta +\Delta \theta \cos \theta )-k_{\theta }(\theta +\Delta \theta )}$

который можно переписать как

${\displaystyle \Delta M=\Delta \theta (FL\cos \theta -k_{\theta })}$

поскольку ${\displaystyle FL\sin \theta =k_{\theta }\theta }$ из-за условия моментного равновесия. Теперь решение ${\displaystyle \theta }$ стабильно, если изменение по часовой стрелке ${\displaystyle \Delta \theta >0}$ приводит к отрицательное изменение момента ${\displaystyle \Delta M<0}$ и наоборот. Таким образом, условие устойчивости становится

${\displaystyle {\frac {\Delta M}{\Delta \theta }}={\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} \theta }}=FL\cos \theta -k_{\theta }<0}$

Решение ${\displaystyle \theta =0}$ стабильно только для ${\displaystyle FL<k_{\theta }}$, что и ожидалось. Расширяя косинус в уравнении, получаем приближенное условие устойчивости:

${\displaystyle |\theta |>{\sqrt {2{\Bigg (}1-{\frac {k_{\theta }}{FL}}{\Bigg )}}}}$

для ${\displaystyle FL>k_{\theta }}$, чему удовлетворяют два других решения. Следовательно, эти решения устойчивы.

Прикрепив к исходной системе еще одну жесткую балку с помощью угловой пружины, можно получить систему с двумя степенями свободы. Предположим для простоты, что длины балок и угловых пружин равны. Условия равновесия становятся

${\displaystyle FL(\sin \theta _{1}+\sin \theta _{2})=k_{\theta }\theta _{1}}$

${\displaystyle FL\sin \theta _{2}=k_{\theta }(\theta _{2}-\theta _{1})}$

где ${\displaystyle \theta _{1}}$ и ${\displaystyle \theta _{2}}$ — это углы двух балок. Линеаризация, предполагая, что эти углы малы, дает

${\displaystyle {\begin{pmatrix}FL-k_{\theta }&FL\\k_{\theta }&FL-k_{\theta }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

Нетривиальное решение системы получается путем нахождения корней определителя матрицы системы, т.е. для

${\displaystyle {\frac {FL}{k_{\theta }}}={\frac {3}{2}}\mp {\frac {\sqrt {5}}{2}}\approx \left\{{\begin{matrix}0.382\\2.618\end{matrix}}\right.}$

Таким образом, для системы с двумя степенями свободы существуют два критических значения приложенной силы F. Они соответствуют двум различным режимам деформации, которые можно вычислить из нулевого пространства системной матрицы. Разделив уравнения на ${\displaystyle \theta _{1}}$, получим

${\displaystyle {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}{\Big |}_{\theta _{1}\neq 0}={\frac {k_{\theta }}{FL}}-1\approx \left\{{\begin{matrix}1.618&{\text{for }}FL/k_{\theta }\approx 0.382\\-0.618&{\text{for }}FL/k_{\theta }\approx 2.618\end{matrix}}\right.}$

Для более низкой критической силы соотношение положительное, и два луча отклоняются в одном направлении, тогда как для более высокой силы они образуют форму «банана». Эти два состояния деформации представляют формы формы потери устойчивости системы.