Уменьшенная масса

В физике приведенная масса является мерой эффективной инертной массы системы с двумя или более частицами, когда частицы взаимодействуют друг с другом. Приведенная масса позволяет решить задачу двух тел так, как если бы это была задача одного тела. Однако следует отметить, что масса, определяющая силу тяготения, не приведена. В вычислениях одна масса может быть заменена приведенной массой, если это компенсируется заменой другой массы суммой обеих масс. Приведенная масса часто обозначается как ${\displaystyle \mu }$ (мю), хотя стандартный гравитационный параметр также обозначается как ${\displaystyle \mu }$ (как и ряд других физических величин). Он имеет размерность массы и единицу СИ кг.

Уменьшенная масса особенно полезна в классической механике.

Учитывая два тела, одно с массой m₁, а другое с массой m₂, эквивалентное одно тело Проблема с положением одного тела относительно другого как неизвестного — это проблема одного тела с массой

где сила, действующая на эту массу, определяется силой между двумя телами.

Приведенная масса всегда меньше или равна массе каждого тела:

и имеет свойство взаимной аддитивности:

что путем перестановки эквивалентно половине среднего гармонического.

В особом случае, когда ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$:

Если ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$, то ${\displaystyle \mu \approx m_{2}}$.

Уравнение можно вывести следующим образом.

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая телом (частицей 2) на другое тело (частицу 1), равна:

Сила, с которой частица 1 действует на частицу 2, равна:

Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой частица 2 действует на частицу 1, равна и противоположна силе, с которой частица 1 действует на частицу 2:

Поэтому:

Относительное ускорение a_rel между двумя телами определяется выражением:

Обратите внимание, что (поскольку производная является линейным оператором) относительное ускорение ${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}}$ равно ускорению разделения <> между двумя частицами.

Это упрощает описание системы до одной силы (поскольку ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$), одной координаты ${\displaystyle \mathbf {x} _{\rm {rel}}}$ и одна масса ${\displaystyle \mu }$. Таким образом, мы свели нашу задачу к одной степени свободы и можем заключить, что частица 1 движется относительно положения частицы 2 как отдельная частица с массой, равной уменьшенной массе, <>.

Альтернативно, лагранжианское описание задачи двух тел дает лагранжиан

где ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{i}}$ — вектор положения массы ${\displaystyle m_{i}}$ (частицы ${\displaystyle i}$). Потенциальная энергия V является функцией, поскольку она зависит только от абсолютного расстояния между частицами. Если мы определим

и пусть центр масс совпадает с нашим началом координат в этой системе отсчета, т.е.

затем

Тогда замена выше дает новый лагранжиан

где

это приведенная масса. Таким образом, мы свели задачу двух тел к задаче одного тела.

Приведенную массу можно использовать во множестве задач двух тел, где применима классическая механика.

В системе с двумя точечными массами ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ такими, что они коллинеарны, два расстояния ${\displaystyle r_{1}}$ и ${\displaystyle r_{2}}$ до оси вращения можно найти с

где ${\displaystyle R}$ — это сумма обоих расстояний ${\displaystyle R=r_{1}+r_{2}}$.

Это справедливо для вращения вокруг центра масс.
Тогда момент инерции вокруг этой оси можно упростить до
$${\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}=R^{2}{\frac {m_{1}m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}+R^{2}{\frac {m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}=\mu R^{2}.}$$

При столкновении с коэффициентом восстановления e изменение кинетической энергии можно записать как

где v_rel — относительная скорость тел перед столкновением.

Для типичных приложений в ядерной физике, где масса одной частицы намного больше другой, приведенную массу можно аппроксимировать как меньшую массу системы. Пределом формулы приведенной массы, когда одна масса стремится к бесконечности, является меньшая масса, поэтому это приближение используется для облегчения расчетов, особенно когда точная масса большей частицы неизвестна.

В случае гравитационной потенциальной энергии

мы находим, что положение первого тела относительно второго определяется тем же дифференциальным уравнением, что и положение тела с приведенной массой, вращающегося вокруг тела с массой, равной сумме двух масс, потому что

Рассмотрим электрон (масса m_e) и протон (масса m_p) в атоме водорода. Они вращаются вокруг друг друга вокруг общего центра масс — задача двух тел. Для анализа движения электрона, задачи одного тела, приведенная масса заменяет массу электрона.

и масса протона становится суммой двух масс

Эта идея используется для составления уравнения Шрёдингера для атома водорода.