Центростремительная сила

Центростремительная сила (от латинского centrum, «центр» и petere, «искать») — это сила, которая заставляет тело двигаться по искривленной траектории. путь. Направление центростремительной силы всегда ортогонально движению тела и к неподвижной точке мгновенного центра кривизны траектории. Исаак Ньютон описал это как «силу, с помощью которой тела притягиваются, толкаются или каким-либо образом стремятся к точке, как к центру». В механике Ньютона гравитация обеспечивает центростремительную силу, вызывающую астрономические орбиты.

Одним из распространенных примеров центростремительной силы является случай, когда тело движется с равномерной скоростью по круговой траектории. Центростремительная сила направлена ​​под прямым углом к ​​движению, а также по радиусу к центру круговой траектории. Математическое описание было получено в 1659 году голландским физиком Христианом Гюйгенсом.

Из кинематики криволинейного движения известно, что объект, движущийся с тангенциальной скоростью v по траектории с радиусом кривизны r, ускоряется к центру кривизны со скоростью
$${\displaystyle {\textbf {a}}_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\textbf {v}}}{\Delta t}},\quad a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}}$$
Здесь ${\displaystyle a_{c}}$ — это центростремительное ускорение, а ${\displaystyle \Delta {\textbf {v}}}$ — это разница между векторы скорости в точках ${\displaystyle t+\Delta {t}}$ и ${\displaystyle t}$.

Согласно второму закону Ньютона, причиной ускорения является результирующая сила, действующая на объект, которая пропорциональна его массе m и его ускорению. Сила, обычно называемая центростремительной силой, имеет величину
$${\displaystyle F_{c}=ma_{c}=m{\frac {v^{2}}{r}}}$$
и, как и центростремительное ускорение, направлено к центру кривизны траектории объекта.

Центростремительное ускорение можно вывести из диаграммы векторов скорости в двух случаях. В случае равномерного кругового движения скорости имеют постоянную величину. Поскольку каждый из них перпендикулярен соответствующему вектору положения, простое вычитание векторов подразумевает два подобных равнобедренных треугольника с равными углами — один из которых содержит основание ${\displaystyle \Delta {\textbf {v}}}$ и длину катета ${\displaystyle v}$, а другой — основание ${\displaystyle \Delta {\textbf {r}}}$ (разность векторов положения) и длину катета ${\displaystyle r}$:
$${\displaystyle {\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{v}}={\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{r}}}$$
$${\displaystyle |\Delta {\textbf {v}}|={\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|}$$
Поэтому ${\displaystyle |\Delta {\textbf {v}}|}$ можно заменить на ${\displaystyle {\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|}$:
$${\displaystyle a_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta t}}={\frac {v}{r}}\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=\omega \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}}$$
Направление силы — к центру окружности, по которой движется объект, или к соприкасающейся окружности (окружности, которая лучше всего соответствует локальному пути объекта, если путь не круговой).
Скорость в формуле квадратична, поэтому для удвоения скорости требуется вчетверо больше силы при заданном радиусе.

Эту силу также иногда записывают через угловую скорость ω объекта вокруг центра круга, связанную с тангенциальной скоростью по формуле
$${\displaystyle v=\omega r}$$
так что
$${\displaystyle F_{c}=mr\omega ^{2}\,.}$$

Выражается с использованием орбитального периода T за один оборот круга,
$${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}$$
уравнение становится
$${\displaystyle F_{c}=mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}.}$$

В ускорителях частиц скорость может быть очень высокой (близкой к скорости света в вакууме), поэтому та же самая масса покоя теперь оказывает большую инерцию (релятивистскую массу), тем самым требуя большей силы для того же центростремительного ускорения, поэтому уравнение становится следующим:
$${\displaystyle F_{c}={\frac {\gamma mv^{2}}{r}}}$$
где
$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$
— фактор Лоренца.

Таким образом, центростремительная сила определяется выражением:
$${\displaystyle F_{c}=\gamma mv\omega }$$
что представляет собой скорость изменения релятивистского импульса ${\displaystyle \gamma mv}$.

В случае объекта, который раскачивается на конце веревки в горизонтальной плоскости, центростремительная сила, действующая на объект, создается за счет натяжения веревки. Пример с веревкой — это пример силы «тяги». Центростремительная сила также может быть представлена ​​как «толкающая» сила, например, в случае, когда нормальная реакция стены создает центростремительную силу для стены смерти или наездника Ротора.

Идея Ньютона о центростремительной силе соответствует тому, что сегодня называют центральной силой. Когда спутник находится на орбите вокруг планеты, гравитация считается центростремительной силой, хотя в случае эксцентрических орбит гравитационная сила направлена ​​к фокусу, а не к мгновенному центру кривизны.

Другой пример центростремительной силы возникает в спирали, прослеживающейся при движении заряженной частицы в однородном магнитном поле в отсутствие других внешних сил. В этом случае магнитная сила — это центростремительная сила, действующая в направлении оси спирали.

Ниже приведены три примера возрастающей сложности с выводом формул, определяющих скорость и ускорение.

Равномерное круговое движение относится к случаю постоянной скорости вращения. Вот два подхода к описанию этого случая.

В двух измерениях вектор положения ${\displaystyle {\textbf {r}}}$, имеющий величину (длину) ${\displaystyle r}$ и направлен под углом ${\displaystyle \theta }$ над осью X, может быть выражен в декартовых координатах с использованием единичных векторов << MATH3>> и ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$:
$${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}.}$$

Предположение о равномерном круговом движении требует трех вещей:

Скорость ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ и ускорение ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ движения являются первым и вторым значениями. производные положения по времени:

$${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }},}$$
$${\displaystyle {\textbf {v}}={\dot {\textbf {r}}}=-r\omega \sin(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\omega \cos(\omega t){\hat {\mathbf {y} }},}$$
$${\displaystyle {\textbf {a}}={\ddot {\textbf {r}}}=-\omega ^{2}(r\cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }}).}$$

Термин в скобках — это исходное выражение ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ в декартовых координатах. Следовательно,
$${\displaystyle {\textbf {a}}=-\omega ^{2}{\textbf {r}}.}$$
отрицательное показывает, что ускорение направлено к центру окружности (противоположно радиусу), поэтому оно называется «центростремительным» (т. е. «стремящимся к центру»). В то время как объекты естественным образом следуют по прямолинейному пути (из-за инерции), это центростремительное ускорение описывает круговую траекторию движения, вызванную центростремительной силой.

Изображение справа показывает векторные соотношения для равномерного кругового движения. Само вращение представлено вектором угловой скорости Ω, который нормален к плоскости орбиты (с использованием правила правой руки) и имеет величину, определяемую выражением:

с θ угловым положением в момент времени t. В этом подразделе dθ/dt предполагается постоянным, не зависящим от времени. Расстояние, пройденное dℓ частицей за время dt по круговой траектории, равно

который, согласно свойствам векторного произведения, имеет величину rdθ и находится в направлении, касательно кругового пути.

Следовательно,

Другими словами,

Дифференцируя по времени,
$${\displaystyle \mathbf {a} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{d\mathrm {t} }}=\mathbf {\Omega } \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \left[\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\right]\ .}$$

Формула Лагранжа гласит:
$${\displaystyle \mathbf {a} \times \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)=\mathbf {b} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)-\mathbf {c} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\ .}$$

Применяя формулу Лагранжа с учетом того, что Ω • r(t) = 0 всегда,
$${\displaystyle \mathbf {a} =-{|\mathbf {\Omega |} }^{2}\mathbf {r} (t)\ .}$$

Другими словами, ускорение всегда направлено прямо противоположно радиальному смещению r и имеет величину:
$${\displaystyle |\mathbf {a} |=|\mathbf {r} (t)|\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=r{\omega }^{2}}$$
где вертикальные полосы |…| обозначают величину вектора, которая в случае r(t) представляет собой просто радиус r пути. Этот результат согласуется с предыдущим разделом, хотя обозначения немного другие.

Если при анализе неравномерного кругового движения скорость вращения сделать постоянной, этот анализ согласуется с этим.

Достоинство векторного подхода состоит в том, что он явно не зависит от какой-либо системы координат.

На верхней панели изображения справа показан мяч, движущийся по кругу по наклонной кривой. Кривая наклонена под углом θ к горизонтали, и поверхность дороги считается скользкой. Цель состоит в том, чтобы найти, какой угол должен иметь крен, чтобы мяч не соскользнул с дороги. Интуиция подсказывает нам, что на ровном повороте без крена мяч просто соскользнет с дороги; в то время как при очень крутом вираже мяч будет скользить к центру, если только он не пройдет по кривой быстро.

Помимо любого ускорения, которое может возникнуть в направлении траектории, нижняя панель изображения выше показывает силы, действующие на шар. Есть две силы; одна — это сила тяжести, действующая вертикально вниз через центр масс шара mg, где m — масса шара и < b>g — ускорение свободного падения; вторая — это направленная вверх нормальная сила, действующая дорогой под прямым углом к ​​поверхности дороги ma_n. Центростремительная сила, необходимая для криволинейного движения, также показана выше. Эта центростремительная сила не является третьей силой, приложенной к мячу, а скорее должна обеспечиваться чистой силой, действующей на шар, возникающей в результате векторного сложения нормальной силы и силы тяжести. Результирующая или чистая сила, действующая на шар, найденная векторным сложением нормальной силы, действующей на дорогу, и вертикальной силы, вызванной гравитацией, должна равняться центростремительной силе, обусловленной необходимостью двигаться по круговой траектории. Криволинейное движение сохраняется до тех пор, пока эта результирующая сила обеспечивает центростремительную силу, необходимую для движения.

Горизонтальная чистая сила, действующая на шар, представляет собой горизонтальную составляющую силы со стороны дороги, которая имеет величину |F_h| = m|a_n| грех θ. Вертикальная составляющая силы со стороны дороги должна противодействовать силе гравитации: |F_v| = m|a_n| cos θ = m|g|, что подразумевает |a _н| = |г| / потому что θ. Подстановка в приведенную выше формулу |F_h| дает горизонтальную силу, равную:
$${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {h} }|=m|\mathbf {g} |{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=m|\mathbf {g} |\tan \theta \,.}$$

С другой стороны, при скорости |v| на круговой траектории радиуса r кинематика гласит, что сила, необходимая для непрерывного поворота шара в поворот, представляет собой радиально направленную внутрь центростремительную силу F_c по величине:
$${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {c} }|=m|\mathbf {a} _{\mathrm {c} }|={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\,.}$$

Следовательно, мяч находится на устойчивой траектории, когда угол дороги задан так, чтобы удовлетворять условию:
$${\displaystyle m|\mathbf {g} |\tan \theta ={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\,,}$$
или,
$${\displaystyle \tan \theta ={\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{|\mathbf {g} |r}}\,.}$$

Когда угол крена θ приближается к 90°, функция тангенса приближается к бесконечности, что позволяет использовать большие значения для |v|²/r . Другими словами, это уравнение утверждает, что для более высоких скоростей (больших |v|) дорога должна иметь более крутой крен (большее значение для θ) и для более крутых поворотов ( меньше r) дорога также должна иметь более крутой уклон, что соответствует интуиции. Когда угол θ не удовлетворяет вышеуказанному условию, горизонтальная составляющая силы, действующей со стороны дороги, не обеспечивает правильную центростремительную силу, и дополнительная сила трения, касательная к поверхности дороги, призвана обеспечить разница. Если трение не может этого сделать (т. е. коэффициент трения превышен), шарик соскальзывает на другой радиус, где может быть реализован баланс.

Эти идеи применимы и к воздушным полетам. См. руководство пилота ФАУ.

В качестве обобщения случая равномерного кругового движения предположим, что угловая скорость вращения не является постоянной. Ускорение теперь имеет тангенциальную составляющую, как показано на изображении справа. Этот случай используется для демонстрации стратегии вывода, основанной на полярной системе координат.

Пусть r(t) — вектор, который описывает положение точечной массы как функцию времени. Поскольку мы предполагаем круговое движение, пусть r(t) = R·u _r, где R — константа (радиус круга) и u_{r< /sub> — единичный вектор, указывающий от начала координат к точечной массе. Направление ur описывается θ, углом между осью X и единичным вектором, измеряется против часовой стрелки от оси X. Другой единичный вектор полярных координат, uθ, перпендикулярен ur и указывает в направлении увеличения θ. Эти полярные единичные векторы могут быть выражены через декартовы единичные векторы в направлениях x и y, обозначенные ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}}$ и ${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}}$ соответственно:
$${\displaystyle \mathbf {u} _{r}=\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}}$$ и $${\displaystyle \mathbf {u} _{\theta }=-\sin \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}.}$$}

Чтобы найти скорость, можно дифференцировать:
$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=r{\frac {d\mathbf {u} _{r}}{dt}}\\&=r{\frac {d}{dt}}\left(\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}\left(-\sin \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u} _{\theta }\\&=\omega r\mathbf {u} _{\theta }\end{aligned}}}$$
где ω — угловая скорость dθ/dt.

Этот результат для скорости соответствует ожиданиям, что скорость должна быть направлена ​​по касательной к окружности и что величина скорости должна быть rω. Еще раз дифференцируя и отмечая, что
$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\theta }}{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u} _{r}=-\omega \mathbf {u} _{r}\ ,}$$
мы находим, что ускорение a равно:
$${\displaystyle \mathbf {a} =r\left({\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}\mathbf {u} _{r}\right)\ .}$$

Таким образом, радиальная и тангенциальная составляющие ускорения равны:
$${\displaystyle \mathbf {a} _{r}=-\omega ^{2}r\ \mathbf {u} _{r}=-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\ \mathbf {u} _{r}}$$ и $${\displaystyle \mathbf {a} _{\theta }=r\ {\frac {d\omega }{dt}}\ \mathbf {u} _{\theta }={\frac {d|\mathbf {v} |}{dt}}\ \mathbf {u} _{\theta }\ ,}$$
где |v| = r ω — величина скорости (скорость).

Эти уравнения математически выражают то, что в случае объекта, который движется по круговой траектории с изменяющейся скоростью, ускорение тела можно разложить на перпендикулярную составляющую, изменяющую направление движения (центростремительное ускорение), и параллельную составляющую. , или тангенциальная составляющая, изменяющая скорость.

Приведенные выше результаты, возможно, проще получить в полярных координатах и ​​в то же время распространить на общее движение внутри плоскости, как показано ниже. В полярных координатах на плоскости используются радиальный единичный вектор u_ρ и угловой единичный вектор u_θ, как показано. выше. Частица в позиции r описывается следующим образом:

$${\displaystyle \mathbf {r} =\rho \mathbf {u} _{\rho }\ ,}$$

где обозначение ρ используется для описания расстояния пути от начала координат вместо R, чтобы подчеркнуть, что это расстояние не фиксировано, а меняется со временем. Единичный вектор u_ρ движется вместе с частицей и всегда указывает в том же направлении, что и r(t). Единичный вектор u_θ также перемещается вместе с частицей и остается ортогональным u_ρ. Таким образом, u_ρ и u_θ образуют локальную декартову систему координат, прикрепленную к частице и привязанную к путь, пройденный частицей. Перемещая единичные векторы так, чтобы их хвосты совпадали, как показано в круге слева на изображении выше, видно, что u_ρ и u_θ образуют прямоугольную пару с кончиками на единичном круге, которые проходят вперед и назад по периметру этого круга под одинаковым углом θ(t ) как r(t).

Когда частица движется, ее скорость равна

Для оценки скорости необходима производная единичного вектора u_ρ. Поскольку u_ρ является единичным вектором, его величина фиксирована и может изменяться только по направлению, то есть его изменение du_ρ имеет компоненту, перпендикулярную только u_ρ. Когда траектория r(t) поворачивается на величину dθ, u_ρ, которая указывает в том же направлении, что и r(t), также поворачивается на dθ. Смотрите изображение выше. Следовательно, изменение u_ρ равно

или

Аналогичным образом определяется скорость изменения u_θ. Как и u_ρ, u_θ является единичным вектором и может только вращаться без изменения размера. Оставаться ортогональным к u_ρ, пока траектория r(t) поворачивается на величину dθ< /i>, u_θ, ортогональный r(t), также поворачивается на dθ. См. изображение выше. Следовательно, изменение du_θ ортогонально u_θ и пропорционально dθ (см. изображение выше):

В приведенном выше уравнении знак отрицательный: для сохранения ортогональности, если du_ρ положительно с dθ, то d u_θ должно уменьшиться.

Подставив производную u_ρ в выражение для скорости:

Для получения ускорения делается еще одно дифференцирование по времени:

Подставляя производные u_ρ и u_θ, ускорение частицы составит:

В качестве конкретного примера, если частица движется по кругу постоянного радиуса R, то dρ/dt = 0, v = v_θ и:

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {u} _{\rho }\left[-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]=\mathbf {u} _{\rho }\left[-{\frac {v^{2}}{r}}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right]\ }$$

где ${\displaystyle v=v_{\theta }.}$

Эти результаты согласуются с результатами, полученными выше для неравномерного кругового движения. См. также статью о неравномерном круговом движении. Если это ускорение умножить на массу частицы, главным членом будет центростремительная сила, а отрицательное значение второго члена, связанное с угловым ускорением, иногда называют силой Эйлера.

Например, для траекторий, отличных от кругового движения, более общей траектории, представленной на изображении выше, мгновенный центр вращения и радиус кривизны траектории связаны лишь косвенно с системой координат, определяемой u_ρ и u_θ и на длину |r(t)| = ρ. Следовательно, в общем случае выделить центростремительные и эйлеровы члены из приведенного выше общего уравнения ускорения непросто. Для непосредственного решения этой проблемы предпочтительнее использовать местные координаты, как обсуждается далее.

Локальные координаты означают набор координат, которые перемещаются вместе с частицей и имеют ориентацию, определяемую траекторией частицы. Единичные векторы формируются, как показано на изображении справа, как по касательной, так и по нормали к пути. Эту систему координат иногда называют внутренними или координатами пути или nt-координатами, что означает нормально-тангенциальные. ссылаясь на эти единичные векторы. Эти координаты представляют собой особый пример более общего понятия локальных координат из теории дифференциальных форм.

Расстояние на пути частицы — это длина дуги s, считающаяся известной функцией времени.

Центр кривизны определяется в каждой позиции s, расположенной на расстоянии ρ (радиус кривизны) от кривой на линии, проходящей вдоль нормали u_n (s). Требуемое расстояние ρ(s) при длине дуги s определяется через скорость вращения касательной к кривой, которая в поворот определяется самим путем. Если ориентация касательной относительно некоторой начальной позиции равна θ(s), то ρ(s) определяется производной dθ/ds:

Радиус кривизны обычно принимается положительным (то есть абсолютным значением), а кривизна κ является величиной со знаком.

Геометрический подход к нахождению центра кривизны и радиуса кривизны использует предельный процесс, ведущий к соприкасающемуся кругу. См. изображение выше.

Используя эти координаты, движение по траектории рассматривается как последовательность круговых траекторий с постоянно меняющимся центром, и в каждой позиции s представляет собой неравномерное круговое движение в этой позиции с радиусом ρ. . Тогда локальное значение угловой скорости вращения определяется выражением:

с локальной скоростью v, определяемой следующим образом:

Что касается других примеров выше, поскольку единичные векторы не могут изменить величину, скорость их изменения всегда перпендикулярна их направлению (см. левую вставку на изображении выше):

Следовательно, скорость и ускорение равны:

и используя цепное правило дифференцирования:

В этой локальной системе координат ускорение напоминает выражение для неравномерного кругового движения с локальным радиусом ρ(s), а центростремительное ускорение идентифицируется как второй член.

Распространение этого подхода на трехмерные пространственные кривые приводит к формулам Френе – Серре.

Глядя на изображение выше, можно задаться вопросом, была ли адекватно учтена разница в кривизне между ρ(s) и ρ(< i>s + ds) при вычислении длины дуги как ds = ρ(s)dθ. Уверенность в этом вопросе можно найти, используя более формальный подход, изложенный ниже. Этот подход также связан со статьей о кривизне.

Чтобы ввести единичные векторы локальной системы координат, один из подходов состоит в том, чтобы начать с декартовых координат и описать локальные координаты в терминах этих декартовых координат. С точки зрения длины дуги s, пусть путь будет описан как:
$${\displaystyle \mathbf {r} (s)=\left[x(s),\ y(s)\right].}$$

Тогда постепенное смещение по пути ds описывается формулой:
$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} (s)=\left[\mathrm {d} x(s),\ \mathrm {d} y(s)\right]=\left[x'(s),\ y'(s)\right]\mathrm {d} s\ ,}$$

где штрихи введены для обозначения производных по s. Величина этого смещения равна ds, что показывает, что:

Это смещение обязательно является касательной к кривой в точке s, показывая, что касательная к кривой единичный вектор равен:
$${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[x'(s),\ y'(s)\right],}$$
а внешний единичный вектор, нормаль к кривой, равен
$${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[y'(s),\ -x'(s)\right],}$$

Ортогональность можно проверить, показав, что скалярное произведение вектора равно нулю. Единичная величина этих векторов является следствием уравнения. 1. Используя касательный вектор, угол θ касательной к кривой определяется по формуле:
$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=y'(s)\ ;}$$ и ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=x'(s)\ .}$

Радиус кривизны вводится совершенно формально (без необходимости геометрической интерпретации) как:
$${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .}$$

Производную θ можно найти из производной для sinθ:
$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}=\cos \theta {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}\cos \theta \ ={\frac {1}{\rho }}x'(s)\ .}$$

Сейчас:
$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}={\frac {y»(s)x'(s)^{2}-y'(s)x'(s)x»(s)}{\left(x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,}$$
в котором знаменатель равен единице. Используя эту формулу для производной синуса, радиус кривизны становится:
$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}=y»(s)x'(s)-y'(s)x»(s)={\frac {y»(s)}{x'(s)}}=-{\frac {x»(s)}{y'(s)}}\ ,}$$
где эквивалентность форм вытекает из дифференцирования уравнения (1). 1:
$${\displaystyle x'(s)x»(s)+y'(s)y»(s)=0\ .}$$
По этим результатам можно найти ускорение:
$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (s)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {v} (s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\left(x'(s),\ y'(s)\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\left(x»(s),\ y»(s)\right)\\&=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}{\frac {1}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\end{aligned}}}$$
в чем можно убедиться, взяв скалярное произведение с единичными векторами u_t(s) и u_n(s). Этот результат для ускорения такой же, как и для кругового движения, основанного на радиусе ρ. Используя эту систему координат в инерциальной системе отсчета, легко определить силу, нормальную к траектории, как центростремительную силу, а силу, параллельную траектории, как тангенциальную силу. С качественной точки зрения путь можно аппроксимировать дугой окружности в течение ограниченного времени, а в течение ограниченного времени применяется определенный радиус кривизны, центробежные силы и силы Эйлера можно анализировать на основе кругового движения с этим радиусом. .

Этот результат для ускорения согласуется с полученным ранее. Однако в этом подходе вопрос изменения радиуса кривизны с помощью s решается совершенно формально, в соответствии с геометрической интерпретацией, но не полагаясь на нее, тем самым избегая любых вопросов, которые может возникнуть на изображении выше. о пренебрежении изменением ρ.

Чтобы проиллюстрировать приведенные выше формулы, пусть x, y заданы как:

Затем:

который можно распознать как круговой путь вокруг начала координат с радиусом α. Позиция s = 0 соответствует [α, 0] или 3 часам. Для использования приведенного выше формализма необходимы производные:

С помощью этих результатов можно убедиться, что:

Также можно найти единичные векторы:

которые служат для того, чтобы показать, что s = 0 находится в позиции [ρ, 0] и s = ρπ/2 в [0, ρ], что согласуется с исходными выражениями для x и y. Другими словами, s измеряется против часовой стрелки по окружности от 3 часов. Также можно найти производные этих векторов:

Чтобы получить скорость и ускорение, необходима зависимость от времени для s. Для движения против часовой стрелки с переменной скоростью v(t):

где v(t) — скорость, t — время, а s(t = 0) = 0. Тогда:

где уже установлено, что α = ρ. Это ускорение является стандартным результатом неравномерного кругового движения.