Теория винта — это алгебраический расчет пар векторов, таких как угловая и линейная скорость, или сил и моментов, которые возникают в кинематике и динамике твердых тел.
Теория винта дает математическую формулировку геометрии линий, которая является центральной в динамике твердого тела, где линии образуют оси пространственного движения винта и линии действия сил. Пара векторов, образующих координаты Плюкера линии, определяет единичный винт, а общие винты получаются путем умножения на пару действительных чисел и сложения векторов.
Важные теоремы теории винтов включают в себя: Принцип переноса доказывает, что геометрические вычисления для точек с использованием векторов имеют параллельные геометрические вычисления для линий, полученных путем замены векторов винтами.
Теорема Часла доказывает, что любое изменение между двумя положениями твердого объекта может быть выполнено с помощью одного винта. Теорема Пуансо доказывает, что вращение твердого объекта вокруг главной и малой, но не промежуточной, осей стабильно.
Теория винтов является важным инструментом в механике роботов, механическом проектировании, вычислительной геометрии и динамике многотельных тел.
Частично это связано с взаимосвязью между винтами и двойными кватернионами, которые использовались для интерполяции движений твердого тела. На основе винтовой теории также разработан эффективный подход к типовому синтезу параллельных механизмов (параллельных манипуляторов или параллельных роботов).
Пространственное смещение твердого тела можно определить путем вращения вокруг линии и перемещения вдоль той же линии, называемого винтовым движением< /span>. Это известно как теорема Часла. Шесть параметров, определяющих движение винта, представляют собой четыре независимых компонента вектора Плюккера, определяющего ось винта, вместе с углом поворота вокруг и линейным скольжением вдоль этой линии и образуют пару векторов, называемую винтом. Для сравнения: шесть параметров, определяющих пространственное смещение, также могут быть представлены тремя углами Эйлера, определяющими вращение, и тремя компонентами вектора перемещения.
Винт — это шестимерный вектор, построенный из пары трехмерных векторов, таких как силы и моменты, а также линейная и угловая скорость, которые возникают при исследовании пространственного движения твердого тела. Компоненты винта определяют координаты Плюкера линии в пространстве, а также величины вектора вдоль этой линии и момента вокруг этой линии.
Поворот — это винт, используемый для представления скорости твердого тела в виде угловой скорости вокруг оси и линейной скорости вдоль этой оси. Все точки тела имеют одинаковую составляющую скорости вдоль оси, однако чем больше расстояние от оси, тем больше скорость в плоскости, перпендикулярной этой оси. Таким образом, геликоидальное поле, образованное векторами скорости в движущемся твердом теле, выравнивается по мере удаления точек в радиальном направлении от оси закручивания.
Точки тела, испытывающие постоянное вращательное движение, следуют по спиралям в фиксированной системе отсчета. Если это винтовое движение имеет нулевой шаг, то траектории следуют по кругу, и движение представляет собой чистое вращение. Если движение винта имеет бесконечный шаг, то все траектории представляют собой прямые линии в одном направлении.
Векторы силы и крутящего момента, возникающие при применении законов Ньютона к твердому телу, можно собрать в винт, называемый гаечным ключом. Сила имеет точку приложения и линию действия, поэтому она определяет плюкеровские координаты линии в пространстве и имеет нулевой шаг. С другой стороны, крутящий момент — это чистый момент, который не привязан к линии в пространстве и представляет собой винт с бесконечным шагом. Отношение этих двух величин определяет шаг винта.
Пусть винт — упорядоченная пара.
где S и V — трехмерные действительные векторы. Сумма и разность этих упорядоченных пар вычисляются покомпонентно. Винты часто называют двойными векторами.
Теперь представим упорядоченную пару действительных чисел â = (a, b), называемую дуальным скаляром. Пусть сложение и вычитание этих чисел будут покомпонентными, и определим умножение как
Умножение винта S = (S, V) на дуальный скаляр â = (a, b) вычисляется покомпонентно, чтобы быть,
Наконец, представим скалярное и векторное произведения винтов по формулам:
который является двойным скаляром, и
что такое винт. Скалярные и векторные произведения винтов удовлетворяют тождествам векторной алгебры и позволяют выполнять вычисления, которые напрямую параллельны вычислениям в алгебре векторов.
Пусть дуальный скаляр ẑ = (φ, d) определяет дуальный угол, тогда определения бесконечного ряда синуса и косинуса дают соотношения
которые также являются дуальными скалярами. В общем случае функция дуальной переменной определяется как f(ẑ) = (f(φ), df′(φ)), где df′(φ) — производная f(φ).
Эти определения позволяют получить следующие результаты:
Типичным примером винта является гаечный ключ, связанный с силой, действующей на твердое тело. Пусть P — точка приложения силы F и пусть P — вектор, располагающий эту точку в фиксированной системе отсчета. Ключ W = (F, P×F) — это винт. Результирующая сила и момент, полученные из всех сил Fi, i = 1,…,< i>n, воздействие на твердое тело представляет собой просто сумму отдельных усилий Wi, то есть
Обратите внимание, что случай двух равных, но противоположных сил F и −F, действующих в точках A и B соответственно, дает результат
Это показывает, что винты вида
можно интерпретировать как чистые моменты.
Чтобы определить поворот твердого тела, мы должны рассмотреть его движение, определяемое параметризованным набором пространственных смещений, D(t)=([A(t)],d< /b>(t)), где [A] — матрица вращения, а d — вектор перемещения. Это заставляет точку p, которая зафиксирована в координатах движущегося тела, отслеживать кривую P(t) в фиксированной системе отсчета, заданной формулой:
Скорость P равна
где v — скорость начала движущейся системы отсчета, то есть dd/dt. Теперь подставьте p = [AT](P − d) в это уравнение для получения,
где [Ω] = [dA/dt][AT] — матрица угловой скорости и ω – вектор угловой скорости.
Винт
— закручивание движущегося тела. Вектор V = v + d × ω — это скорость точки тела, которая соответствует началу неподвижной системы отсчета.
Есть два важных особых случая: (i) когда d является постоянным, то есть v = 0, тогда поворот представляет собой чистое вращение вокруг линии, тогда поворот
и (ii) когда [Ω] = 0, то есть тело не вращается, а только скользит в направлении v, тогда поворот представляет собой чистое скольжение, определяемое формулой
Для вращательного соединения пусть ось вращения проходит через точку q и направлена вдоль вектора ω, тогда поворот для соединения определяется выражением
Для призматического соединения пусть вектор v определяет направление скольжения, тогда поворот соединения определяется выражением:
Преобразования координат винтов легко понять, если начать с преобразований координат вектора Плюккера линии, которые, в свою очередь, получаются из преобразований координат точек на линии.
Пусть смещение тела определяется соотношением D = ([A], d), где [A ] — матрица вращения, а d — вектор перемещения. Рассмотрим линию в теле, определенную двумя точками p и q, которая имеет координаты Плюкера:
тогда в фиксированном кадре мы имеем преобразованные координаты точки P = [A]p + d и Q = [A]q + d, что дает выход.
Таким образом, пространственное смещение определяет преобразование координат Плюккера линий, заданных формулой
Матрица [D] — это кососимметричная матрица, выполняющая операцию векторного произведения, то есть [D]y = d × y.
Матрица 6×6, полученная в результате пространственного смещения D = ([A], d), может быть собрана в двойную матрицу
который работает с винтом s = (s.v) для получения,
Двойственная матрица [Â] = ([A], [DA]) имеет определитель 1 и называется двойственной ортогональной матрицей .
Рассмотрим движение твердого тела, определяемое параметризованным однородным преобразованием 4×4:
Это обозначение не различает P = (X, Y, Z, 1) и P = (X, Y, Z), что, надеюсь, понятно из контекста.
Скорость этого движения определяется путем вычисления скорости траекторий точек тела:
Точка обозначает производную по времени, а поскольку p постоянна, ее производная равна нулю.
Подставьте обратное преобразование для p в уравнение скорости, чтобы получить скорость P, действуя на его траектории P(t), то есть
где
Напомним, что [Ω] — матрица угловой скорости. Матрица [S] является элементом алгебры Ли se(3) группы Ли SE(3) однородных преобразований. Компоненты [S] являются компонентами поворотного винта, и по этой причине [S] также часто называют поворотным винтом.
Из определения матрицы [S] мы можем сформулировать обыкновенное дифференциальное уравнение:
и запросите движение [T(t)], которое имеет постоянную матрицу поворота [S]. Решением является матричная экспонента
Эту формулировку можно обобщить так, что при наличии начальной конфигурации g(0) в SE(n) и повороте ξ в se(< i>n), однородное преобразование в новое местоположение и ориентацию можно вычислить по формуле:
где θ представляет параметры преобразования.
В геометрии преобразований элементарным понятием преобразования является отражение (математика). При плоских преобразованиях сдвиг достигается отражением в параллельных прямых, а вращение — отражением в паре пересекающихся прямых. Чтобы произвести винтовое преобразование на основе подобных концепций, необходимо использовать плоскости в пространстве: параллельные плоскости должны быть перпендикулярны оси винта, которая является линией пересечения пересекающихся плоскостей, генерирующих вращение винта. Таким образом, четыре отражения в плоскостях приводят к винтовому преобразованию. Традиция инверсной геометрии заимствует некоторые идеи проективной геометрии и дает язык преобразований, не зависящий от аналитической геометрии.
Сочетание перемещения с вращением, вызванным винтовым смещением, можно проиллюстрировать экспоненциальным отображением.
Поскольку ε2 = 0 для двойственных чисел, exp(aε) = 1 + aε, все остальные члены экспоненциальный ряд исчезает.
Пусть F = {1 + εr : r ∈ H}, ε< суп>2 = 0.
Обратите внимание, что F стабилен при вращении q → p −1 qp и под переводом
(1 + εr)(1 + εs) = 1 + ε (r + s< /i>) для любых векторных кватернионов r и s.
F — это 3-плоскость в восьмимерном пространстве двойственных кватернионов. Эта 3-плоская F представляет пространство, а построенная гомография, ограниченная F, представляет собой винтовое смещение пространства.
Пусть a — половина угла желаемого поворота вокруг оси r, а br — половина смещения на оси винта. Тогда сформулируйте z = exp((a + bε)r ) и z* = exp((a − bε)r). Теперь гомография
Обратное значение для z* равно
итак, гомография отправляет q в
Теперь для любого вектора кватерниона p, p* = −p, пусть q = 1 + pε ∈ F, где выполняются требуемые поворот и перенос.
Очевидно, группа единиц кольца двойственных кватернионов является группой Ли. Подгруппа имеет алгебру Ли, порожденную параметрами a r и b s, где a, b ∈ R и r, s ∈ H. Эти шесть параметров образуют подгруппу единиц — сферу единиц. Конечно, сюда входят F и 3-сфера версоров.
Рассмотрим набор сил F1, F2 … F< sub>n действуем на точки X1, X2 … Xn в твердом теле. Траектории Xi, i = 1,…,n определяются движением твердого тела с вращением [A(t)] и перемещением d(t >) контрольной точки в теле, заданной формулой
где xi — координаты движущегося тела.
Скорость каждой точки Xi равна
где ω — вектор угловой скорости, а v — производная d(t).
Работа сил над перемещением δri=viδt каждой точки определяется выражением
Определим скорости каждой точки через закручивание движущегося тела, чтобы получить
Разверните это уравнение и соберите коэффициенты при ω и v, чтобы получить
Введем поворот движущегося тела и действующий на него рывок, заданный формулой
тогда работа принимает форму
Матрица 6×6 [Π] используется для упрощения расчета работы с помощью винтов, так что
где
и [I] — единичная матрица 3×3.
Если виртуальная работа ключа при скручивании равна нулю, то силы и крутящий момент ключа являются силами ограничения относительно скручивания. Говорят, что поворот и поворот взаимны, то есть, если
тогда винты W и T являются взаимными.
При исследовании робототехнических систем компоненты скручивания часто переставляются, чтобы исключить необходимость использования матрицы 6×6 [Π] при расчете работы. В этом случае поворот определяется как
поэтому расчет работы принимает вид
В этом случае, если
тогда ключ W является обратным повороту T.
Математическая основа была разработана сэром Робертом Стэуэллом Боллом в 1876 году для применения в кинематике и статике механизмов (механике твердого тела).
Феликс Кляйн рассматривал теорию винтов как применение эллиптической геометрии и своей программы Эрлангена. Он также разработал эллиптическую геометрию и новый взгляд на евклидову геометрию с помощью метрики Кэли-Клейна. Использование симметричной матрицы для коники и метрики фон Штаудта, примененной к винтам, было описано Харви Липкиным. Среди других выдающихся авторов — Юлиус Плюкер, У. К. Клиффорд, Ф. М. Диментберг, Кеннет Х. Хант, Дж. Р. Филлипс.
Идея гомографии в геометрии преобразований была выдвинута Софусом Ли более века назад. Еще раньше Уильям Роуэн Гамильтон представил версорную форму единичных кватернионов как exp(a r)= cos a + r sin a< /я>. Идея также содержится в формуле Эйлера, параметризующей единичную окружность в комплексной плоскости.
Уильям Кингдон Клиффорд инициировал использование двойных кватернионов в кинематике, за ним последовали Александр Котельников, Эдуард Стью (Geometrie der Dynamen) и Вильгельм Блашке. Однако точка зрения Софуса Ли повторилась.
В 1940 году Джулиан Кулидж описал использование двойных кватернионов для винтовых смещений на странице 261 книги История геометрических методов. Он отмечает вклад Артура Бухгейма в 1885 году. Кулидж основывал свое описание просто на инструментах, которые Гамильтон использовал для реальных кватернионов.
