Теория сэндвича

Теория сэндвича описывает поведение балки, пластины или оболочки, состоящей из трех слоев — двух лицевых листов и одного сердечника. Наиболее часто используемая сэндвич-теория является линейной и является расширением теории пучков первого порядка. Теория линейного сэндвича важна для проектирования и анализа сэндвич-панелей, которые используются в строительстве зданий, автомобилестроении, самолетостроении и холодильной технике.

Некоторые преимущества сэндвич-конструкции:

Поведение балки многослойного сечения под нагрузкой отличается от балки постоянного упругого сечения. Если радиус кривизны при изгибе велик по сравнению с толщиной сэндвич-балки, а деформации в материалах деталей малы, деформацию сэндвич-композитной балки можно разделить на две части.

Теории сэндвич-балок, пластин и оболочек обычно предполагают, что эталонное напряженное состояние представляет собой состояние с нулевым напряжением. Однако во время отверждения разница температур между лицевыми листами сохраняется из-за термического разделения материала сердцевины. Эти разницы температур в сочетании с разной линейной протяженностью лицевых листов могут привести к изгибу многослойной балки в направлении более теплой лицевой панели. Если изгиб ограничен в процессе производства, в компонентах сэндвич-композита могут возникнуть остаточные напряжения. Суперпозиция эталонного напряженного состояния на решения, предоставляемые теорией сэндвича, возможна, когда задача линейна. Однако, когда ожидаются большие упругие деформации и вращения, начальное напряженное состояние должно быть включено непосредственно в сэндвич-теорию.

В инженерной теории сэндвич-балок предполагается, что осевая деформация изменяется линейно по поперечному сечению балки, как и в теории Эйлера-Бернулли, т.е.

Следовательно, осевое напряжение в многослойной балке определяется выражением

где ${\displaystyle E(z)}$ — модуль Юнга, который является функцией местоположения по толщине балки. Тогда изгибающий момент в балке определяется выражением

Величина ${\displaystyle D}$ называется жесткостью при изгибе многослойной балки. Сила сдвига ${\displaystyle Q_{x}}$ определяется как

Используя эти соотношения, мы можем показать, что напряжения в многослойной балке с сердцевиной толщиной ${\displaystyle 2h}$ и модулем упругости < > и два лицевых листа толщиной ${\displaystyle f}$ и модулем упругости ${\displaystyle E^{f}}$, даны

Для многослойной балки с идентичными лицевыми панелями и единичной шириной значение ${\displaystyle D}$ равно

Если ${\displaystyle E^{f}\gg E^{c}}$, то ${\displaystyle D}$ можно аппроксимировать как

а напряжения в многослойной балке можно аппроксимировать как

Если, кроме того, ${\displaystyle f\ll 2h}$, то

а приблизительные напряжения в балке равны

Если мы предположим, что лицевые листы достаточно тонкие, чтобы напряжения можно было считать постоянными по толщине, мы получим приближение

Следовательно, проблему можно разделить на две части: одна связана только с сдвигом сердечника, а другая связана только с изгибающими напряжениями в лицевых панелях.

Основными предположениями линейных сэндвич-теорий балок с тонкими гранями являются:

Однако напряжения сдвига xz в ядре не игнорируются.

Определяющие соотношения для двумерных ортотропных линейно-упругих материалов имеют вид

Предположения теории сэндвича приводят к упрощенным соотношениям

и

Уравнения равновесия в двух измерениях:

Из предположений для многослойной балки и уравнения равновесия следует, что

Поэтому для однородных граней и сердцевины деформации также имеют вид

Пусть многослойная балка подвергается воздействию изгибающего момента ${\displaystyle M}$ и поперечной силы ${\displaystyle Q}$. Пусть общий прогиб балки из-за этих нагрузок составит ${\displaystyle w}$. На соседнем рисунке показано, что при небольших смещениях общий прогиб средней поверхности балки может быть выражен как сумма двух прогибов, чистый изгиб ${\displaystyle w_{b}}$ и чистое сдвиговое отклонение ${\displaystyle w_{s}}$, т.е.

Из геометрии деформации мы видим, что инженерная деформация сдвига (${\displaystyle \gamma }$) в ядре связана с эффективной деформацией сдвига в композите соотношением

Обратите внимание, что деформация сдвига в сердцевине больше, чем эффективная деформация сдвига в композите, и что при выводе приведенного выше соотношения предполагаются небольшие деформации (${\displaystyle \tan \gamma =\gamma }$). Эффективная сдвиговая деформация в балке связана со сдвиговым смещением соотношением

Предполагается, что лицевые панели деформируются в соответствии с предположениями теории балок Эйлера-Бернулли. Предполагается, что общий прогиб лицевых панелей представляет собой суперпозицию прогибов, вызванных изгибом и сдвигом сердечника. Смещения лицевых панелей в направлении ${\displaystyle x}$ из-за изгиба определяются выражением

Смещение верхней грани из-за сдвига в сердцевине равно

и нижняя лицевая панель

Нормальные деформации в двух лицевых панелях определяются по формуле

Поэтому,

Касательное напряжение в сердечнике определяется выражением

или,

Нормальные напряжения в лицевых панелях определяются выражением

Следовательно,

Результирующая нормальная сила в лицевой пластине определяется как

и результирующие моменты определяются как

где

Использование выражений для нормального напряжения на двух лицевых страницах дает

В ядре результирующий момент равен

Полный изгибающий момент в балке равен

или,

Поперечная сила ${\displaystyle Q_{x}}$ в сердечнике определяется как

где ${\displaystyle \kappa }$ — коэффициент поправки на сдвиг. Силу сдвига в лицевых панелях можно рассчитать по изгибающим моментам, используя соотношение

или,

Для тонких лицевых листов усилие сдвига в них обычно не учитывается.

Изгибная жесткость многослойной балки определяется выражением

Из выражения для полного изгибающего момента в балке имеем

Для малых сдвиговых деформаций приведенное выше выражение можно записать как

Таким образом, изгибная жесткость многослойной балки (с ${\displaystyle f\ll 2h}$) определяется выражением

и лицевые листы

Жесткость балки на сдвиг определяется по формуле

Следовательно, сдвиговая жесткость балки, равная сдвиговой жесткости сердечника, равна

Связь между изгибом и сдвигом можно получить, используя непрерывность тяг между сердечником и лицевыми листами. Если приравнять тяги напрямую, получим

На обоих интерфейсах facesheet-core ${\displaystyle n_{x}=1}$, но в верхней части ядра ${\displaystyle n_{z}=1}$ и внизу ядра ${\displaystyle n_{z}=-1}$. Следовательно, непрерывность тяги на уровне ${\displaystyle z=\pm h}$ приводит к

Приведенное выше соотношение используется редко из-за наличия вторых производных сдвигового прогиба. Вместо этого предполагается, что

что подразумевает, что

Используя приведенные выше определения, основные уравнения баланса для изгибающего момента и поперечной силы имеют вид

Альтернативно мы можем выразить вышеизложенное в виде двух уравнений, которые можно решить для ${\displaystyle w}$ и ${\displaystyle w_{s}}$< /span> как

Используя приближения

где ${\displaystyle q}$ — интенсивность приложенной нагрузки на балку, имеем

Для решения этой системы двух связанных обыкновенных дифференциальных уравнений можно использовать несколько методов с учетом приложенной нагрузки, приложенного изгибающего момента и граничных условий смещения.

Предполагая, что каждое частичное поперечное сечение соответствует гипотезе Бернулли, баланс сил и моментов на деформированном элементе многослойной балки можно использовать для вывода уравнения изгиба многослойной балки.

Результирующие напряжения и соответствующие деформации балки и поперечного сечения можно увидеть на рисунке 1. С помощью теории линейной упругости можно вывести следующие соотношения:

где

Суперпозиция уравнений для лицевых панелей и сердечника приводит к следующим уравнениям для общей поперечной силы ${\displaystyle Q}$ и общего изгибающего момента ${\displaystyle M}$:

Альтернативно мы можем выразить вышеизложенное в виде двух уравнений, которые можно решить для ${\displaystyle w}$ и ${\displaystyle \gamma }$< /span>, т. е.

Поведение при изгибе и напряжения в непрерывной многослойной балке можно рассчитать путем решения двух основных дифференциальных уравнений.

Для простых геометрических форм, таких как двухпролетные балки при равномерно распределенных нагрузках, основные уравнения можно решить, используя соответствующие граничные условия и принцип суперпозиции. Такие результаты приведены в стандарте DIN EN 14509:2006 (таблица E10.1). Энергетические методы также могут использоваться для непосредственного расчета решений.

Дифференциальное уравнение сэндвич-неразрезных балок можно решить с помощью численных методов, таких как конечные разности и конечные элементы. Для конечных разностей Бернер рекомендует двухэтапный подход. После решения дифференциального уравнения для нормальных сил в оплетках для однопролетной балки при заданной нагрузке энергетический метод может быть использован для расширения подхода к расчету многопролетных балок. При использовании этого метода также можно укладывать неразрезную сэндвич-балку с гибкими покрывающими листами. Однако поперечное сечение балки должно быть постоянным по всем пролетам.

Более специализированный подход, рекомендованный Шварце, предполагает точное решение однородной части основного уравнения и приближенное решение конкретной части. Напомним, что основное уравнение для многослойной балки имеет вид

Если мы определим

мы получаем

Шварце использует общее решение для однородной части приведенного выше уравнения и полиномиальную аппроксимацию для частного решения для сечений многослойной балки. Интерфейсы между секциями связаны между собой соответствием граничных условий. Этот подход был использован в открытом исходном коде swe2.

Результаты, предсказанные линейной теорией сэндвича, хорошо коррелируют с экспериментально определенными результатами. Теория используется в качестве основы для структурного отчета, который необходим при строительстве крупных промышленных и коммерческих зданий, облицованных сэндвич-панелями. Его использование прямо требуется для получения разрешений и в соответствующих технических стандартах.

Мохаммед Рахиф Хакми и другие провели исследования численного, экспериментального поведения материалов, а также поведения композитных материалов при пожаре и взрыве. Он опубликовал несколько научных статей:

Хакми разработал метод проектирования, который был рекомендован Рабочей комиссией CIB по сэндвич-панелям W056, Объединенным комитетом ECCS/CIB и использовался в европейских рекомендациях по проектированию сэндвич-панелей (CIB, 2000).