Теория Мора – Кулона

Теория Мора-Кулона — это математическая модель (см. поверхность текучести), описывающая реакцию хрупких материалов, таких как бетон или груды щебня, на напряжение сдвига, а также на нормальное напряжение. Большинство классических конструкционных материалов следуют этому правилу, по крайней мере, в части предела разрушения при сдвиге. Обычно теория применима к материалам, у которых прочность на сжатие намного превышает прочность на растяжение.

В геотехнической инженерии его используют для определения прочности грунтов и горных пород на сдвиг при различных эффективных напряжениях.

В строительном проектировании он используется для определения разрушающей нагрузки, а также угла разрушения при сдвиге в бетоне и подобных материалах. Гипотеза трения Кулона используется для определения комбинации сдвига и нормального напряжения, которое приведет к разрушению материала. Круг Мора используется для определения того, какие главные напряжения вызовут эту комбинацию сдвигового и нормального напряжений, а также угла плоскости, в которой это произойдет. Согласно принципу нормальности напряжение, возникающее при разрушении, будет перпендикулярно линии, описывающей состояние разрушения.

Можно показать, что материал, разрушающийся в соответствии с гипотезой трения Кулона, будет демонстрировать смещение, возникающее при разрушении, образующее угол к линии разрушения, равный углу трения. Это позволяет определить прочность материала путем сравнения внешней механической работы, вносимой перемещением и внешней нагрузкой, с внутренней механической работой, вносимой деформацией и напряжением на линии разрушения. В целях сохранения энергии их сумма должна быть равна нулю, что позволит рассчитать разрушающую нагрузку конструкции.

Обычным улучшением этой модели является объединение гипотезы трения Кулона с гипотезой главного напряжения Ренкина для описания отрывного разрушения. Альтернативная точка зрения выводит критерий Мора-Кулона как отказ расширения.

История развития

Теория Мора-Кулона названа в честь Шарля-Огюстена де Кулона и Кристиана Отто Мора. Вкладом Кулона стало эссе 1776 года под названием «Essai sur une application des regles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l’architecture»
.
Мор разработал обобщенную форму теории примерно в конце XIX века.
Поскольку обобщенная форма повлияла на интерпретацию критерия, но не на его суть, в некоторых текстах критерий продолжает называться просто «критерием Кулона».

Критерий разрушения Мора – Кулона

Критерий разрушения Мора-Кулона представляет собой линейную огибающую, полученную на основе графика зависимости прочности материала на сдвиг от приложенного нормального напряжения. Это отношение выражается как

${\displaystyle \tau =\sigma ~\tan(\phi )+c}$

где ${\displaystyle \tau }$ — прочность на сдвиг, ${\displaystyle \sigma }$ — нормальное напряжение, ${\displaystyle c}$ — это перехват конверта ошибки с ${\displaystyle \tau }$ ось и ${\displaystyle \tan(\phi )}$ — наклон границы отказа. Величина ${\displaystyle c}$ часто называют связностью, а углом ${\displaystyle \phi }$ называется уголом внутреннего трения. В следующем обсуждении предполагается, что сжатие положительное. Если предполагается, что сжатие отрицательное, то ${\displaystyle \sigma }$ следует заменить на ${\displaystyle -\sigma }$.

Если ${\displaystyle \phi =0}$ критерий Мора–Кулона уменьшает критерию Трески. С другой стороны, если <>< /span> модель Мора – Кулона эквивалентна модели Ренкина. Более высокие значения ${\displaystyle \phi }$< /span> не допускаются.

Из круга Мора имеем
$${\displaystyle \sigma =\sigma _{m}-\tau _{m}\sin \phi ~;~~\tau =\tau _{m}\cos \phi }$$
где
$${\displaystyle \tau _{m}={\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}~;~~\sigma _{m}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}}$$
и ${\displaystyle \sigma _{1}}$ — максимальное главное напряжение, а ${\displaystyle \sigma _{3}}$ — минимальное главное напряжение.

Следовательно, критерий Мора – Кулона можно также выразить как
$${\displaystyle \tau _{m}=\sigma _{m}\sin \phi +c\cos \phi ~.}$$

Эта форма критерия Мора–Кулона применима к разрушению в плоскости, параллельной ${\displaystyle \sigma _{2}}$ направление.

Критерий разрушения Мора – Кулона в трех измерениях

Критерий Мора – Кулона в трех измерениях часто выражается как

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\pm {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{2}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{2}+\sigma _{3}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{3}-\sigma _{1}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{3}+\sigma _{1}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi ).\end{aligned}}\right.}$

Поверхность разрушения Мора–Кулона представляет собой конус шестиугольного сечения в девиаторном пространстве напряжений.

Выражения для ${\displaystyle \tau }$< /span> и ${\displaystyle \sigma }$ можно обобщить на три измерения, разработав выражения для нормального напряжения и решенного касательное напряжение на плоскости произвольной ориентации относительно осей координат (базисных векторов). Если единица измерения, нормальная к интересующей плоскости, равна

${\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}}$

где ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3}$ — это три ортонормированных единичных базисных вектора, и если главные напряжения ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ выравниваются по базисным векторам ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$, затем выражения для стиля ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ являются

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}.\end{aligned}}}$

Критерий разрушения Мора-Кулона затем можно оценить с помощью обычного выражения
$${\displaystyle \tau =\sigma ~\tan(\phi )+c}$$
для шести плоскостей максимального напряжения сдвига.

Derivation of normal and shear stress on a plane

Let the unit normal to the plane of interest be ${\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}}$ where ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3}$ are three orthonormal unit basis vectors. Then the traction vector on the plane is given by ${\displaystyle \mathbf {t} =n_{i}~\sigma _{ij}~\mathbf {e} _{j}~~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}}$ The magnitude of the traction vector is given by ${\displaystyle |\mathbf {t} |={\sqrt {(n_{j}~\sigma _{1j})^{2}+(n_{k}~\sigma _{2k})^{2}+(n_{l}~\sigma _{3l})^{2}}}~~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}}$ Then the magnitude of the stress normal to the plane is given by ${\displaystyle \sigma =\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} =n_{i}~\sigma _{ij}~n_{j}~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}}$ The magnitude of the resolved shear stress on the plane is given by $${\displaystyle \tau ={\sqrt {|\mathbf {t} |^{2}-\sigma ^{2}}}}$$ In terms of components, we have ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{11}+n_{2}^{2}\sigma _{22}+n_{3}^{2}\sigma _{33}+2(n_{1}n_{2}\sigma _{12}+n_{2}n_{3}\sigma _{23}+n_{3}n_{1}\sigma _{31})\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{11}+n_{2}\sigma _{12}+n_{3}\sigma _{31})^{2}+(n_{1}\sigma _{12}+n_{2}\sigma _{22}+n_{3}\sigma _{23})^{2}+(n_{1}\sigma _{31}+n_{2}\sigma _{23}+n_{3}\sigma _{33})^{2}-\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}$ If the principal stresses ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ are aligned with the basis vectors ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$, then the expressions for ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ are ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}}$

где ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3}$ — три ортонормированных единичных базисных вектора. Тогда вектор тяги на плоскости определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {t} =n_{i}~\sigma _{ij}~\mathbf {e} _{j}~~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}}$

Величина вектора тяги определяется выражением

${\displaystyle |\mathbf {t} |={\sqrt {(n_{j}~\sigma _{1j})^{2}+(n_{k}~\sigma _{2k})^{2}+(n_{l}~\sigma _{3l})^{2}}}~~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}}$

Тогда величина напряжения, нормального к плоскости, определяется выражением

${\displaystyle \sigma =\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} =n_{i}~\sigma _{ij}~n_{j}~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}}$

Величина разрешенного напряжения сдвига на плоскости определяется выражением
$${\displaystyle \tau ={\sqrt {|\mathbf {t} |^{2}-\sigma ^{2}}}}$$
По компонентам у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{11}+n_{2}^{2}\sigma _{22}+n_{3}^{2}\sigma _{33}+2(n_{1}n_{2}\sigma _{12}+n_{2}n_{3}\sigma _{23}+n_{3}n_{1}\sigma _{31})\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{11}+n_{2}\sigma _{12}+n_{3}\sigma _{31})^{2}+(n_{1}\sigma _{12}+n_{2}\sigma _{22}+n_{3}\sigma _{23})^{2}+(n_{1}\sigma _{31}+n_{2}\sigma _{23}+n_{3}\sigma _{33})^{2}-\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}$

Если директор подчеркивает ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ выравниваются по базисным векторам ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$, затем выражения для ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ являются

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}\end{aligned}}}$

Поверхность разрушения Мора – Кулона в пространстве Хейга – Вестергора

Поверхность разрушения (текучести) Мора – Кулона часто выражается в координатах Хейга – Вестергаада. Например, функция
$${\displaystyle {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi }$$
может быть выражено как

${\displaystyle \left[{\sqrt {3}}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-\sin \phi \cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi .}$

Альтернативно, с точки зрения инвариантов << MATH0>> мы можем написать

${\displaystyle \left[{\cfrac {1}{{\sqrt {3}}~\cos \phi }}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-{\cfrac {1}{3}}\tan \phi ~\cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]q-p~\tan \phi =c}$

где $${\displaystyle \theta ={\cfrac {1}{3}}\arccos \left[\left({\cfrac {r}{q}}\right)^{3}\right]~.}$$

Derivation of alternative forms of Mohr–Coulomb yield function

We can express the yield function $${\displaystyle {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi }$$ as ${\displaystyle \sigma _{1}~{\cfrac {(1-\sin \phi )}{2~c~\cos \phi }}-\sigma _{3}~{\cfrac {(1+\sin \phi )}{2~c~\cos \phi }}=1~.}$ The Haigh–Westergaard invariants are related to the principal stresses by ${\displaystyle \sigma _{1}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\xi +{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~\rho ~\cos \theta ~;~~\sigma _{3}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\xi +{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~\rho ~\cos \left(\theta +{\cfrac {2\pi }{3}}\right)~.}$ Plugging into the expression for the Mohr–Coulomb yield function gives us ${\displaystyle -{\sqrt {2}}~\xi ~\sin \phi +\rho [\cos \theta -\cos(\theta +2\pi /3)]-\rho \sin \phi [\cos \theta +\cos(\theta +2\pi /3)]={\sqrt {6}}~c~\cos \phi }$ Using trigonometric identities for the sum and difference of cosines and rearrangement gives us the expression of the Mohr–Coulomb yield function in terms of ${\displaystyle \xi ,\rho ,\theta }$. We can express the yield function in terms of ${\displaystyle p,q}$ by using the relations $${\displaystyle \xi ={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~q}$$ and straightforward substitution.

$${\displaystyle {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi }$$
как

${\displaystyle \sigma _{1}~{\cfrac {(1-\sin \phi )}{2~c~\cos \phi }}-\sigma _{3}~{\cfrac {(1+\sin \phi )}{2~c~\cos \phi }}=1~.}$

Инварианты Хейга – Вестергора связаны с главными напряжениями соотношением

${\displaystyle \sigma _{1}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\xi +{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~\rho ~\cos \theta ~;~~\sigma _{3}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\xi +{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~\rho ~\cos \left(\theta +{\cfrac {2\pi }{3}}\right)~.}$

Подстановка выражения для функции выхода Мора – Кулона дает нам

${\displaystyle -{\sqrt {2}}~\xi ~\sin \phi +\rho [\cos \theta -\cos(\theta +2\pi /3)]-\rho \sin \phi [\cos \theta +\cos(\theta +2\pi /3)]={\sqrt {6}}~c~\cos \phi }$

Использование тригонометрических тождеств для суммы и разности косинусов и перестановки дает нам выражение выходной функции Мора – Кулона в терминах ${\displaystyle \xi ,\rho ,\theta }$.

Мы можем выразить функцию доходности в терминах ${\displaystyle p,q}$ с помощью отношения
$${\displaystyle \xi ={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~q}$$
и простая замена.

Выход Мора – Кулона и пластичность

Поверхность текучести Мора – Кулона часто используется для моделирования пластического течения геоматериалов (и других когезионно-фрикционных материалов). Многие такие материалы демонстрируют дилатационное поведение в трехосных состояниях напряжения, которые не учитываются моделью Мора – Кулона. Кроме того, поскольку поверхность текучести имеет углы, может быть неудобно использовать исходную модель Мора – Кулона для определения направления пластического течения (в теории пластичности течения).

Распространенный подход заключается в использовании гладкого несвязанного потенциала пластического течения. Примером такого потенциала является функция
$${\displaystyle g:={\sqrt {(\alpha c_{\mathrm {y} }\tan \psi )^{2}+G^{2}(\phi ,\theta )~q^{2}}}-p\tan \phi }$$

где ${\displaystyle \alpha }$ — это параметр, ${\displaystyle c_{\mathrm {y} }}$ — это значение ${\displaystyle c}$, когда пластическая деформация равна нулю (также называемая начальным пределом текучести сцепления), ${\displaystyle \psi }$ — это угол, образуемый поверхностью текучести в рендуликовой плоскости при высоких значениях ${\displaystyle p}$ (этот угол также называется уголом расширения) и ${\displaystyle G(\phi ,\theta )}$ — подходящая функция, которая также является гладкой в ​​плоскости девиаторных напряжений.

Типичные значения сцепления и угла внутреннего трения

Значения силы сцепления (также называемой когезионной прочностью) и угла трения для камней и некоторых распространенных грунтов указаны в таблицах ниже.