Теория бесконечно малых деформаций

В механике сплошной среды теория бесконечно малых деформаций представляет собой математический подход к описанию деформации твердого тела, в котором смещения частиц материала предполагаются намного меньшими (в действительности, бесконечно меньшими), чем любой соответствующий размер тела; так что его геометрия и основные свойства материала (такие как плотность и жесткость) в каждой точке пространства можно считать неизменными при деформации.

При таком предположении уравнения механики сплошной среды значительно упрощаются. Этот подход можно также назвать теорией малых деформаций, теорией малых смещений или теорией градиента малых смещений. Он противопоставляется теории конечных деформаций, где делается противоположное предположение.

Теория бесконечно малых деформаций обычно применяется в гражданском и машиностроительном строительстве для анализа напряжений конструкций, построенных из относительно жестких упругих материалов, таких как бетон и сталь, поскольку общей целью при проектировании таких конструкций является минимизация их деформации при типичных нагрузках. Однако это приближение требует осторожности в случае тонких гибких тел, таких как стержни, пластины и оболочки, которые подвержены значительным вращениям, что делает результаты ненадежными.

Тензор бесконечно малой деформации

Для бесконечно малых деформаций сплошного тела, при которых тензор градиента смещения (тензор 2-го порядка) мал по сравнению с единицей, т. е. ${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$,
можно выполнить геометрическую линеаризацию любого из тензоров конечных деформаций, используемых в теории конечных деформаций, например Лагранжев тензор конечной деформации ${\displaystyle \mathbf {E} }$, и Эйлеров тензор конечной деформации ${\displaystyle \mathbf {e} }$. При такой линеаризации нелинейные или вторые члены тензора конечной деформации игнорируются. Таким образом, имеем

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\right)}$$
или
$${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}\right)}$$ и $${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} (\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)}$$
или
$${\displaystyle e_{rs}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{s}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}\right)}$$

Эта линеаризация подразумевает, что лагранжево описание и эйлерово описание примерно одинаковы, поскольку существует небольшая разница в материальных и пространственных координатах данной материальной точки в континууме. Следовательно, компоненты тензора градиента смещения материала и компоненты тензора градиента пространственного смещения примерно равны. Таким образом, мы имеем
$${\displaystyle \mathbf {E} \approx \mathbf {e} \approx {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left((\nabla \mathbf {u} )^{T}+\nabla \mathbf {u} \right)}$$
или
$${\displaystyle E_{KL}\approx e_{rs}\approx \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)}$$
где ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ являются компонентами тензор бесконечно малой деформации ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$, также называемый тензором деформации Коши, тензором линейной деформации или тензором малых деформаций.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ij}&={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)&{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$
или используя другую нотацию:
$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}\right)&{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\end{bmatrix}}}$$

Более того, поскольку градиент деформации может быть выражен как ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +{\boldsymbol {I}}}$ где ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$ — это тождественный тензор второго порядка, у нас есть
$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {F}}^{T}+{\boldsymbol {F}}\right)-{\boldsymbol {I}}}$$

Также из общего выражения для тензоров конечной деформации Лагранжа и Эйлера имеем
$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\frac {1}{2m}}[\{{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}+{\boldsymbol {I}}\}^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\\\mathbf {e} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {V} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\end{aligned}}}$$

Геометрическое выведение

Рассмотрим двумерную деформацию бесконечно малого прямоугольного материального элемента с размерами ${\displaystyle dx}$ от ${\displaystyle dy}$ (рисунок 1), который после деформации принимает форму ромба. Из геометрии рисунка 1 имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {ab}}&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

Для очень малых градиентов смещения, т. е. ${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$, у нас есть
$${\displaystyle {\overline {ab}}\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

Нормальная деформация в ${\displaystyle x}$-направлении прямоугольного элемента определяется
$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {{\overline {ab}}-{\overline {AB}}}{\overline {AB}}}}$$
и зная, что ${\displaystyle {\overline {AB}}=dx}$, у нас есть
$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$

Аналогично, нормальная деформация в ${\displaystyle y}$-направлении, и ${\displaystyle z}$-direction, становится
$${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

Инженерная деформация сдвига или изменение угла между двумя изначально ортогональными материальными линиями, в данном случае линией ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ и ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, определяется как
$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

Из геометрии рисунка 1 имеем
$${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\quad ,\qquad \tan \beta ={\frac {{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}}$$

Для небольших поворотов, т. е. ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ являются ${\displaystyle \ll 1}$ у нас есть
$${\displaystyle \tan \alpha \approx \alpha \quad ,\qquad \tan \beta \approx \beta }$$
и, опять же, для малых градиентов смещения, мы имеем
$${\displaystyle \alpha ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\quad ,\qquad \beta ={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$
таким образом
$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$
Поменяв местами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle u_{x}}$ и ${\displaystyle u_{y}}$, можно показать, что ${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{yx}}$.

Аналогично, для ${\displaystyle y}$—${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle x}$—${\displaystyle z}$ плоскости, у нас есть
$${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

Видно, что тензорные компоненты деформации сдвига тензора бесконечно малой деформации затем могут быть выражены с использованием определения инженерной деформации, ${\displaystyle \gamma }$, как
$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\gamma _{xy}/2&\gamma _{xz}/2\\\gamma _{yx}/2&\varepsilon _{yy}&\gamma _{yz}/2\\\gamma _{zx}/2&\gamma _{zy}/2&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

Физическая интерпретация

Из теории конечных деформаций имеем
$${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

Для бесконечно малых деформаций имеем
$${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2\varepsilon _{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

Разделив на ${\displaystyle (dX)^{2}}$, получаем
$${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}{\frac {dx+dX}{dX}}=2\varepsilon _{ij}{\frac {dX_{i}}{dX}}{\frac {dX_{j}}{dX}}}$$

Для малых деформаций мы предполагаем, что ${\displaystyle dx\approx dX}$, таким образом, второй член левой части становится: ${\displaystyle {\frac {dx+dX}{dX}}\approx 2}$.

Тогда у нас есть
$${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}=\varepsilon _{ij}N_{i}N_{j}=\mathbf {N} \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {N} }$$
где ${\displaystyle N_{i}={\frac {dX_{i}}{dX}}}$, является единичным вектором в направлении ${\displaystyle d\mathbf {X} }$, а выражение слева — это нормальная деформация ${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}}$ в направлении ${\displaystyle \mathbf {N} }$. Для частного случая ${\displaystyle \mathbf {N} }$ в ${\displaystyle X_{1}}$ направление, т. е. ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{1}}$, у нас есть
$${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}=\mathbf {I} _{1}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {I} _{1}=\varepsilon _{11}.}$$

Аналогично, для ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{3}}$ мы можем найти нормальные деформации ${\displaystyle \varepsilon _{22}}$ и ${\displaystyle \varepsilon _{33}}$, соответственно. Следовательно, диагональные элементы тензора бесконечно малых деформаций представляют собой нормальные деформации в координатных направлениях.

Правила трансформации штаммов

Если мы выберем ортонормальную систему координат (${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$) мы можем записать тензор в терминах компонентов относительно этих базовых векторов как
$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$$
В матричной форме,
$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}$$
Мы можем легко выбрать использование другой ортонормальной системы координат (${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$) вместо этого. В этом случае компоненты тензора различны, скажем
$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\hat {\varepsilon }}_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\otimes {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\quad \implies \quad {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{13}&{\hat {\varepsilon }}_{23}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}}$$
Компоненты деформации в двух системах координат связаны соотношением
$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{ij}=\ell _{ip}~\ell _{jq}~\varepsilon _{pq}}$$
где использовано соглашение Эйнштейна о суммировании для повторяющихся индексов и ${\displaystyle \ell _{ij}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\mathbf {e} }_{j}}$. В матричной форме
$${\displaystyle {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\underline {\underline {\mathbf {L} }}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}~{\underline {\underline {\mathbf {L} }}}^{T}}$$
или
$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{21}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{31}&{\hat {\varepsilon }}_{32}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}^{T}}$$

Инварианты деформации

Некоторые операции над тензором деформации дают одинаковый результат независимо от того, какая ортонормальная система координат используется для представления компонентов деформации. Результаты этих операций называются инвариантами деформации. Наиболее часто используемые инварианты деформации:
$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\I_{2}&={\tfrac {1}{2}}\{[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}-\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2})\}\\I_{3}&=\det({\boldsymbol {\varepsilon }})\end{aligned}}}$$
С точки зрения компонентов
$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\\I_{2}&=\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}+\varepsilon _{33}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{12}^{2}-\varepsilon _{23}^{2}-\varepsilon _{31}^{2}\\I_{3}&=\varepsilon _{11}(\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}^{2})-\varepsilon _{12}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}\varepsilon _{31})+\varepsilon _{13}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{32}-\varepsilon _{22}\varepsilon _{31})\end{aligned}}}$$

Основные штаммы

Можно показать, что возможно найти систему координат (${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$), в котором компоненты тензора деформации равны
$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{bmatrix}}\quad \implies \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}=\varepsilon _{1}\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\varepsilon _{2}\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\varepsilon _{3}\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}}$$
Компоненты тензора деформации в (${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$) система координат называется главными деформациями и направлениями ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$ называются направлениями главной деформации. Поскольку в этой системе координат отсутствуют компоненты деформации сдвига, главные деформации представляют собой максимальное и минимальное растяжение элементарного объема.

Если нам даны компоненты тензора деформации в произвольной ортонормальной системе координат, мы можем найти главные деформации, используя разложение собственных значений, определяемое путем решения системы уравнений
$${\displaystyle ({\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}-\varepsilon _{i}~{\underline {\underline {\mathbf {I} }}})~\mathbf {n} _{i}={\underline {\mathbf {0} }}}$$
Эта система уравнений эквивалентна нахождению вектора ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$ вдоль которого тензор деформации становится чистым растяжением без сдвиговой составляющей.

Объемная деформация

Объемная деформация, также называемая объемная деформация, представляет собой относительное изменение объема, возникающее в результате дилатации или сжатия; это первый инвариант деформации или след тензора:
$${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}$$
Фактически, если рассматривать куб с длиной ребра a, то после деформации (изменение углов не меняет объём) это квазикуб с размерами ${\displaystyle a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})}$ и V₀ = a3, таким образом
$${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}}$$
поскольку мы рассматриваем малые деформации,
$${\displaystyle 1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}}$$
поэтому формула.

В случае чистого сдвига мы видим, что объем не изменяется.

Тензор девиатора деформации

Тензор бесконечно малой деформации ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$, аналогично тензору напряжений Коши, можно выразить как сумму двух других тензоров:

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon ‘_{ij}+\varepsilon _{M}\delta _{ij}}$$
где ${\displaystyle \varepsilon _{M}}$ — это средняя деформация, заданная
$${\displaystyle \varepsilon _{M}={\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}={\frac {\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}{3}}={\tfrac {1}{3}}I_{1}^{e}}$$

Тензор девиаторной деформации можно получить, вычитая тензор средней деформации из тензора бесконечно малой деформации:
$${\displaystyle {\begin{aligned}\ \varepsilon ‘_{ij}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}\delta _{ij}\\{\begin{bmatrix}\varepsilon ‘_{11}&\varepsilon ‘_{12}&\varepsilon ‘_{13}\\\varepsilon ‘_{21}&\varepsilon ‘_{22}&\varepsilon ‘_{23}\\\varepsilon ‘_{31}&\varepsilon ‘_{32}&\varepsilon ‘_{33}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\varepsilon _{M}&0&0\\0&\varepsilon _{M}&0\\0&0&\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}-\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Октаэдрические штаммы

Пусть (${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$) — направления трех главных напряжений. Октаэдрическая плоскость — это плоскость, нормаль которой образует равные углы с тремя главными направлениями. Инженерная деформация сдвига на октаэдрической плоскости называется октаэдрической деформацией сдвига и определяется как
$${\displaystyle \gamma _{\mathrm {oct} }={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2})^{2}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3})^{2}+(\varepsilon _{3}-\varepsilon _{1})^{2}}}}$$
где ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}$ являются основными штаммами.

Нормальная деформация на октаэдрической плоскости определяется как
$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {oct} }={\tfrac {1}{3}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}$$

Эквивалентная деформация

Скалярная величина, называемая эквивалентной деформацией или эквивалентной деформацией фон Мизеса, часто используется для описания состояния деформации в твердых телах. Несколько определений эквивалентной деформации можно найти в литературе. Определение, которое обычно используется в литературе по пластичности, это
$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }}}~;~~{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }={\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {I}}}$$
Эта величина является работой, сопряженной эквивалентному напряжению, определяемому как
$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {3}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }}}}$$

Уравнения совместимости

Для компонентов заданной деформации ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ напряжение тензорное уравнение ${\displaystyle u_{i,j}+u_{j,i}=2\varepsilon _{ij}}$ представляет собой систему шести дифференциальных уравнений для определения трех компонентов смещения ${\displaystyle u_{i}}$, что дает переопределенную систему. Таким образом, решение для произвольного выбора компонентов деформации обычно не существует. Поэтому существуют некоторые ограничения, называемые уравнениями совместимости накладываются на компоненты деформации. С добавлением трех уравнений совместимости количество независимых уравнений сокращается до трех, что соответствует количеству неизвестных компонентов смещения. Эти ограничения на тензор деформации были обнаружены Сен-Венаном и равны. называемые «уравнениями совместимости Сен-Венана».

Функции совместимости служат для обеспечения однозначной непрерывной функции смещения ${\displaystyle u_{i}}$. Если представить упругую среду в виде набора бесконечно малых кубов в недеформированном состоянии, то после деформации среды произвольный тензор деформации может не дать ситуации, в которой искаженные кубы по-прежнему будут соответствовать друг другу, не перекрываясь.

В индексной нотации уравнения совместимости выражаются как
$${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0}$$

В инженерных обозначениях

Особые случаи

Плоская деформация

В реальных технических компонентах напряжение (и деформация) являются трехмерными тензорами, но в призматических конструкциях, таких как длинная металлическая заготовка, длина конструкции намного больше двух других измерений. Деформации, связанные с длиной, т. е. нормальная деформация ${\displaystyle \varepsilon _{33}}$ и сдвиг штаммы ${\displaystyle \varepsilon _{13}}$ и ${\displaystyle \varepsilon _{23}}$ (если длина — это 3-направление) ограничены близлежащим материалом и малы по сравнению с поперечными деформациями. Тогда плоская деформация является приемлемым приближением. Тензор деформации для плоской деформации записывается как:
$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$
в котором двойное подчеркивание указывает на тензор второго порядка. Это состояние деформации называется плоской деформацией. Соответствующий тензор напряжения:
$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$
в котором ненулевой ${\displaystyle \sigma _{33}}$ необходимо для поддержания ограничения ${\displaystyle \epsilon _{33}=0}$. Этот член напряжения можно временно удалить из анализа, оставив только члены в плоскости, эффективно сводя трехмерную задачу к гораздо более простой двумерной задаче.

Антиплоскостная деформация

Антиплоскостная деформация — еще одно особое состояние деформации, которое может возникнуть в теле, например, в области, близкой к винтовой дислокации. Тензор деформации для антиплоской деформации задается как
$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}0&0&\varepsilon _{13}\\0&0&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}$$

Связь с тензором бесконечно малого вращения

Тензор бесконечно малой деформации определяется как
$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$
Поэтому градиент смещения можно выразить как
$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$$
где
$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}:={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$
Количество ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}}$ — это тензор бесконечно малого вращения или тензор бесконечно малого углового смещения (связанный с матрицей бесконечно малого вращения). Этот тензор кососимметричен. Для бесконечно малых деформаций скалярные компоненты ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}}$ удовлетворяют условию ${\displaystyle |W_{ij}|\ll 1}$. Обратите внимание, что градиент смещения мал только в том случае, если оба тензора деформации и тензора вращения являются бесконечно малыми.

Аксиальный вектор

Кососимметричный тензор второго порядка имеет три независимых скалярных компонента. Эти три компонента используются для определения аксиального вектора, ${\displaystyle \mathbf {w} }$, как следует
$${\displaystyle W_{ij}=-\epsilon _{ijk}~w_{k}~;~~w_{i}=-{\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~W_{jk}}$$
где ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ — символ перестановки. В матричной форме
$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {W}}}}={\begin{bmatrix}0&-w_{3}&w_{2}\\w_{3}&0&-w_{1}\\-w_{2}&w_{1}&0\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\mathbf {w} }}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{bmatrix}}}$$
Аксиальный вектор также называется вектором бесконечно малого вращения. Вектор вращения связан с градиентом смещения соотношением
$${\displaystyle \mathbf {w} ={\tfrac {1}{2}}~{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} }$$
В индексной нотации
$${\displaystyle w_{i}={\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~u_{k,j}}$$
Если ${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {W}}\rVert \ll 1}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {0}}}$ затем материал претерпевает приблизительное вращение твердого тела величиной ${\displaystyle |\mathbf {w} |}$ вокруг вектора ${\displaystyle \mathbf {w} }$.

Связь между тензором деформации и вектором вращения

Дано непрерывное однозначное поле смещения ${\displaystyle \mathbf {u} }$ и соответствующий тензор бесконечно малой деформации ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$, имеем (см. Тензорная производная (механика сплошной среды))
$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}~\varepsilon _{lj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~[u_{l,ji}+u_{j,li}]~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}$$
Поскольку изменение порядка дифференцирования не меняет результат, ${\displaystyle u_{l,ji}=u_{l,ij}}$. Поэтому
$${\displaystyle e_{ijk}u_{l,ji}=(e_{12k}+e_{21k})u_{l,12}+(e_{13k}+e_{31k})u_{l,13}+(e_{23k}+e_{32k})u_{l,32}=0}$$
Также
$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,li}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,i}\right)_{,l}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{kij}~u_{j,i}\right)_{,l}=w_{k,l}}$$
Следовательно
$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=w_{k,l}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }$$

Связь между тензором вращения и вектором вращения

Из важного тождества относительно ротора тензора мы знаем, что для непрерывного однозначного поля смещения ${\displaystyle \mathbf {u} }$,
$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )={\boldsymbol {0}}.}$$
Поскольку ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$ у нас есть
$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {W}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=-{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} .}$$

Тензор деформации в недекартовых координатах

Тензор деформации в цилиндрических координатах

В цилиндрических полярных координатах (${\displaystyle r,\theta ,z}$) вектор смещения можно записать как
$${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{z}~\mathbf {e} _{z}}$$
Компоненты тензора деформации в цилиндрической системе координат задаются следующим образом:
$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{zz}&={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta z}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)\\\varepsilon _{zr}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$

Тензор деформации в сферических координатах

В сферических координатах (${\displaystyle r,\theta ,\phi }$) вектор смещения можно записать как
$${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{\phi }~\mathbf {e} _{\phi }}$$
Компоненты тензора деформации в сферической системе координат задаются как
$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\cfrac {1}{r\sin \theta }}\left({\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\cfrac {1}{2r}}\left({\cfrac {1}{\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\\\varepsilon _{\phi r}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\phi }}{r}}\right)\end{aligned}}}$$