Теория бесконечно малых деформаций

В механике сплошных сред теория бесконечно малых деформаций представляет собой математический подход к описанию деформации твердого тела, при котором смещения материальных частиц предполагаются намного меньшими (действительно, бесконечно меньшими), чем любые соответствующие размеры тела; так что можно предположить, что его геометрия и конститутивные свойства материала (такие как плотность и жесткость) в каждой точке пространства не изменяются в результате деформации.

При таком предположении уравнения механики сплошной среды значительно упрощаются. Этот подход также можно назвать теорией малых деформаций, теорией малых смещений или теорией малых градиентов смещений. Это контрастирует с теорией конечных деформаций, в которой делается противоположное предположение.

Теория бесконечно малых деформаций обычно применяется в гражданском и машиностроительном строительстве для анализа напряжений конструкций, построенных из относительно жестких упругих материалов, таких как бетон и сталь, поскольку общей целью проектирования таких конструкций является минимизация их деформации при типичных нагрузках. Однако такое приближение требует осторожности в случае тонких гибких тел, таких как стержни, пластины и оболочки, которые подвержены значительным вращениям, что делает результаты ненадежными.

Для бесконечно малых деформаций сплошного тела, в которых тензор градиента смещения (тензор 2-го порядка) мал по сравнению с единицей, т.е. ${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$,
можно выполнить геометрическую линеаризацию любого из тензоров конечных деформаций, используемых в теории конечных деформаций, например Лагранжев тензор конечной деформации ${\displaystyle \mathbf {E} }$ и Эйлеров тензор конечной деформации ${\displaystyle \mathbf {e} }$. При такой линеаризации пренебрегают нелинейными членами или членами второго порядка тензора конечной деформации. Таким образом, мы имеем

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\right)}$$
или
$${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}\right)}$$
и
$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} (\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)}$$
или
$${\displaystyle e_{rs}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{s}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}\right)}$$

Эта линеаризация подразумевает, что лагранжево описание и эйлерово описание примерно одинаковы, поскольку существует небольшая разница в материальных и пространственных координатах данной материальной точки в континууме. Следовательно, компоненты тензора градиента смещения материала и компоненты тензора градиента пространственного смещения примерно равны. Таким образом, мы имеем
$${\displaystyle \mathbf {E} \approx \mathbf {e} \approx {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left((\nabla \mathbf {u} )^{T}+\nabla \mathbf {u} \right)}$$
или
$${\displaystyle E_{KL}\approx e_{rs}\approx \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)}$$
где ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ — компоненты тензора бесконечно малых деформаций ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ , также называемый тензором деформации Коши, тензором линейной деформации или тензором малых деформаций.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ij}&={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)&{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$
или используя другие обозначения:
$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}\right)&{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\end{bmatrix}}}$$

Более того, поскольку градиент деформации можно выразить как ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +{\boldsymbol {I}}}$, где ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$ — тензор тождественности второго порядка, то имеем
$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {F}}^{T}+{\boldsymbol {F}}\right)-{\boldsymbol {I}}}$$

Кроме того, из общего выражения для лагранжевых и эйлеровых тензоров конечной деформации имеем
$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\frac {1}{2m}}[\{{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}+{\boldsymbol {I}}\}^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\\\mathbf {e} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {V} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\end{aligned}}}$$

Рассмотрим двумерную деформацию бесконечно малого прямоугольного материального элемента с размерами ${\displaystyle dx}$ на ${\displaystyle dy}$< /span> (рис. 1), который после деформации принимает форму ромба. Из геометрии рисунка 1 имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {ab}}&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

Для очень малых градиентов смещения, т. е. ${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$, мы имеем
$${\displaystyle {\overline {ab}}\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

Нормальная деформация в направлении ${\displaystyle x}$ прямоугольного элемента определяется выражением
$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {{\overline {ab}}-{\overline {AB}}}{\overline {AB}}}}$$
и зная, что ${\displaystyle {\overline {AB}}=dx}$, мы имеем
$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$

Аналогичным образом, нормальная деформация в ${\displaystyle y}$-направлении и < >-направление, становится
$${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

Инженерная деформация сдвига или изменение угла между двумя изначально ортогональными линиями материала, в данном случае линиями ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ и <>, определяется как
$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

Из геометрии рисунка 1 имеем
$${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\quad ,\qquad \tan \beta ={\frac {{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}}$$

Для небольших вращений, например, ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ являются < span>${\displaystyle \ll 1}$ у нас есть
$${\displaystyle \tan \alpha \approx \alpha \quad ,\qquad \tan \beta \approx \beta }$$
и снова для малых градиентов смещения имеем
$${\displaystyle \alpha ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\quad ,\qquad \beta ={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$
таким образом
$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$
Поменяв местами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ и << MATH8>> и ${\displaystyle u_{y}}$, можно показать, что ${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{yx}}$.

Аналогично, для ${\displaystyle y}$—${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle x}$—${\displaystyle z}$ плоскости, у нас есть
$${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

Можно видеть, что компоненты тензорной деформации сдвига тензора бесконечно малых деформаций могут быть выражены с использованием определения инженерной деформации, ${\displaystyle \gamma }$, как
$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\gamma _{xy}/2&\gamma _{xz}/2\\\gamma _{yx}/2&\varepsilon _{yy}&\gamma _{yz}/2\\\gamma _{zx}/2&\gamma _{zy}/2&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

Из теории конечных деформаций мы имеем
$${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

Для бесконечно малых деформаций имеем
$${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2\varepsilon _{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

Разделив на ${\displaystyle (dX)^{2}}$, получим
$${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}{\frac {dx+dX}{dX}}=2\varepsilon _{ij}{\frac {dX_{i}}{dX}}{\frac {dX_{j}}{dX}}}$$

Для небольших деформаций мы предполагаем, что ${\displaystyle dx\approx dX}$, поэтому второй член левой части становится: ${\displaystyle {\frac {dx+dX}{dX}}\approx 2}$.

Тогда у нас есть
$${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}=\varepsilon _{ij}N_{i}N_{j}=\mathbf {N} \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {N} }$$
где ${\displaystyle N_{i}={\frac {dX_{i}}{dX}}}$ — единичный вектор в направлении ${\displaystyle d\mathbf {X} }$, и выражение слева — это нормальная деформация ${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}}$ в направлении ${\displaystyle \mathbf {N} }$< /пролет>. В частном случае ${\displaystyle \mathbf {N} }$ в направлении ${\displaystyle X_{1}}$, т. е. < span>${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{1}}$, у нас есть
$${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}=\mathbf {I} _{1}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {I} _{1}=\varepsilon _{11}.}$$

Аналогично, для ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{3}}$ мы можем найти нормальные штаммы ${\displaystyle \varepsilon _{22}}$ и ${\displaystyle \varepsilon _{33}}$ соответственно. Следовательно, диагональные элементы тензора бесконечно малых деформаций представляют собой нормальные деформации в координатных направлениях.

Если мы выберем ортонормированную систему координат (${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$), мы можем записать тензор в терминах компонентов относительно этих базовых векторов как
$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$$
В матричной форме
$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}$$
Вместо этого мы можем легко выбрать другую ортонормированную систему координат (${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$). В этом случае компоненты тензора различны, скажем
$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\hat {\varepsilon }}_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\otimes {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\quad \implies \quad {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{13}&{\hat {\varepsilon }}_{23}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}}$$
Компоненты деформации в двух системах координат связаны соотношением
$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{ij}=\ell _{ip}~\ell _{jq}~\varepsilon _{pq}}$$
где использовалось соглашение Эйнштейна о суммировании для повторяющихся индексов и ${\displaystyle \ell _{ij}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\mathbf {e} }_{j}}$. В матричной форме
$${\displaystyle {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\underline {\underline {\mathbf {L} }}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}~{\underline {\underline {\mathbf {L} }}}^{T}}$$
или
$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{21}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{31}&{\hat {\varepsilon }}_{32}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}^{T}}$$

Некоторые операции с тензором деформации дают один и тот же результат независимо от того, какая ортонормированная система координат используется для представления компонентов деформации. Результаты этих операций называются инвариантами деформации. Наиболее часто используемые инварианты деформации:
$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\I_{2}&={\tfrac {1}{2}}\{[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}-\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2})\}\\I_{3}&=\det({\boldsymbol {\varepsilon }})\end{aligned}}}$$
По компонентам
$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\\I_{2}&=\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}+\varepsilon _{33}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{12}^{2}-\varepsilon _{23}^{2}-\varepsilon _{31}^{2}\\I_{3}&=\varepsilon _{11}(\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}^{2})-\varepsilon _{12}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}\varepsilon _{31})+\varepsilon _{13}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{32}-\varepsilon _{22}\varepsilon _{31})\end{aligned}}}$$

Можно показать, что можно найти систему координат (${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$), в которой компоненты тензора деформаций равны
$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{bmatrix}}\quad \implies \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}=\varepsilon _{1}\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\varepsilon _{2}\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\varepsilon _{3}\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}}$$
Компоненты тензора деформаций в системе координат (${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$) называются главными деформациями и направлениями < span>${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$ называются направлениями главной деформации. Поскольку в этой системе координат нет компонентов сдвиговой деформации, основные деформации представляют собой максимальное и минимальное растяжения элементарного объема.

Если нам даны компоненты тензора деформаций в произвольной ортонормированной системе координат, мы можем найти главные деформации, используя разложение по собственным значениям, определяемое решением системы уравнений
$${\displaystyle ({\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}-\varepsilon _{i}~{\underline {\underline {\mathbf {I} }}})~\mathbf {n} _{i}={\underline {\mathbf {0} }}}$$
Эта система уравнений эквивалентна нахождению вектора ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$, вдоль которого тензор деформации становится чистым растяжением без компонента сдвига.

Объемная деформация, также называемая объемная деформация, представляет собой относительное изменение объема, возникающее в результате дилатации или сжатия; это первый инвариант деформации или след тензора:
$${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}$$
Фактически, если рассматривать куб с длиной ребра a, то после деформации (изменение углов не меняет объём) это квазикуб с размерами ${\displaystyle a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})}$ и V₀ = a³, таким образом
$${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}}$$
поскольку мы рассматриваем малые деформации,
$${\displaystyle 1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}}$$
поэтому формула.

В случае чистого сдвига мы видим, что изменения объема нет.

Тензор бесконечно малых деформаций ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$, как и тензор напряжений Коши, можно выразить как сумму двух других тензоров:

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon ‘_{ij}+\varepsilon _{M}\delta _{ij}}$$
где ${\displaystyle \varepsilon _{M}}$ — средняя деформация, определяемая выражением
$${\displaystyle \varepsilon _{M}={\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}={\frac {\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}{3}}={\tfrac {1}{3}}I_{1}^{e}}$$

Тензор девиаторной деформации можно получить путем вычитания тензора средней деформации из тензора бесконечно малых деформаций:
$${\displaystyle {\begin{aligned}\ \varepsilon ‘_{ij}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}\delta _{ij}\\{\begin{bmatrix}\varepsilon ‘_{11}&\varepsilon ‘_{12}&\varepsilon ‘_{13}\\\varepsilon ‘_{21}&\varepsilon ‘_{22}&\varepsilon ‘_{23}\\\varepsilon ‘_{31}&\varepsilon ‘_{32}&\varepsilon ‘_{33}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\varepsilon _{M}&0&0\\0&\varepsilon _{M}&0\\0&0&\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}-\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Пусть (${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$) — направления трех основных деформаций. Октаэдрическая плоскость — это плоскость, нормаль которой составляет равные углы с тремя главными направлениями. Инженерная деформация сдвига в октаэдрической плоскости называется октаэдрической деформацией сдвига и определяется выражением
$${\displaystyle \gamma _{\mathrm {oct} }={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2})^{2}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3})^{2}+(\varepsilon _{3}-\varepsilon _{1})^{2}}}}$$
где ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}$ — основные штаммы.

Нормальная деформация в октаэдрической плоскости определяется выражением
$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {oct} }={\tfrac {1}{3}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}$$

Скалярная величина, называемая эквивалентной деформацией или эквивалентной деформацией фон Мизеса, часто используется для описания состояния деформации в твердых телах. В литературе можно найти несколько определений эквивалентной деформации. Определение, которое обычно используется в литературе по пластичности, это
$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }}}~;~~{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }={\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {I}}}$$
Эта величина является сопряженной работой эквивалентному напряжению, определяемому как
$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {3}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }}}}$$

Для заданных компонентов деформации ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ уравнение тензора деформации ${\displaystyle u_{i,j}+u_{j,i}=2\varepsilon _{ij}}$ представляет собой систему шесть дифференциальных уравнений для определения трех компонентов смещения ${\displaystyle u_{i}}$, дающих переопределенную систему. Таким образом, решения для произвольного выбора компонентов деформации, вообще говоря, не существует. Поэтому на компоненты деформации накладываются некоторые ограничения, называемые уравнениями совместимости. С добавлением трех уравнений совместимости количество независимых уравнений сокращается до трех, что соответствует количеству неизвестных компонентов смещения. Эти ограничения на тензор деформации были обнаружены Сен-Венаном и называются «уравнениями совместимости Сен-Венана».

Функции совместимости служат для обеспечения однозначности функции непрерывного смещения ${\displaystyle u_{i}}$. Если представить упругую среду как набор бесконечно малых кубов в недеформированном состоянии, то после деформирования среды произвольный тензор деформаций не может привести к ситуации, когда искаженные кубы все еще подходят друг к другу, не перекрываясь.

В индексной нотации уравнения совместимости выражаются как
$${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0}$$

В инженерных обозначениях

В реальных инженерных компонентах напряжение (и деформация) представляют собой трехмерные тензоры, но в призматических конструкциях, таких как длинная металлическая заготовка, длина конструкции намного больше, чем два других измерения. Деформации, связанные с длиной, т. е. нормальная деформация ${\displaystyle \varepsilon _{33}}$ и сдвиговые деформации ${\displaystyle \varepsilon _{13}}$< /span> и ${\displaystyle \varepsilon _{23}}$ (если длина равна 3-м направлениям) ограничены близлежащим материалом и малы по сравнению с поперечным сечением. штаммы. Тогда плоская деформация является приемлемым приближением. Тензор деформации для плоской деформации записывается как:
$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$
в котором двойное подчеркивание указывает на тензор второго порядка. Это состояние деформации называется плоской деформацией. Соответствующий тензор напряжений:
$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$
в котором ненулевой ${\displaystyle \sigma _{33}}$ необходим для поддержания ограничения ${\displaystyle \epsilon _{33}=0}$ . Этот член напряжения можно временно удалить из анализа, чтобы оставить только члены в плоскости, эффективно сводя трехмерную задачу к гораздо более простой двумерной задаче.

Антиплоская деформация — еще одно особое состояние деформации, которое может возникнуть в теле, например, в области, близкой к винтовой дислокации. Тензор деформации для антиплоской деформации определяется выражением
$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}0&0&\varepsilon _{13}\\0&0&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}$$

Тензор бесконечно малых деформаций определяется как
$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$
Поэтому градиент смещения можно выразить как
$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$$
где
$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}:={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$
Величина ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}}$ представляет собой тензор бесконечно малого вращения или тензор бесконечно малого углового смещения (связанный с < i>бесконечно малая матрица вращения). Этот тензор кососимметричен. Для бесконечно малых деформаций скалярные компоненты ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}}$ удовлетворяют условию ${\displaystyle |W_{ij}|\ll 1}$. Обратите внимание, что градиент смещения мал только в том случае, если оба тензора деформации и тензора вращения бесконечно малы.

Кососимметричный тензор второго порядка имеет три независимые скалярные компоненты. Эти три компонента используются для определения осевого вектора, ${\displaystyle \mathbf {w} }$, как показано ниже.
$${\displaystyle W_{ij}=-\epsilon _{ijk}~w_{k}~;~~w_{i}=-{\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~W_{jk}}$$
где ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ — символ перестановки. В матричной форме
$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {W}}}}={\begin{bmatrix}0&-w_{3}&w_{2}\\w_{3}&0&-w_{1}\\-w_{2}&w_{1}&0\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\mathbf {w} }}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{bmatrix}}}$$
Осевой вектор также называется бесконечно малым вектором вращения. Вектор вращения связан с градиентом смещения соотношением
$${\displaystyle \mathbf {w} ={\tfrac {1}{2}}~{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} }$$
В индексном обозначении
$${\displaystyle w_{i}={\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~u_{k,j}}$$
Если ${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {W}}\rVert \ll 1}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {0}}}$, то материал подвергается приблизительному вращению твердого тела на величина ${\displaystyle |\mathbf {w} |}$ вокруг вектора ${\displaystyle \mathbf {w} }$.

Учитывая непрерывное однозначное поле перемещений ${\displaystyle \mathbf {u} }$ и соответствующий тензор бесконечно малых деформаций ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$< /span>, имеем (см. Тензорная производная (механика сплошных сред))
$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}~\varepsilon _{lj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~[u_{l,ji}+u_{j,li}]~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}$$
Поскольку изменение порядка дифференцирования не меняет результат, ${\displaystyle u_{l,ji}=u_{l,ij}}$. Поэтому
$${\displaystyle e_{ijk}u_{l,ji}=(e_{12k}+e_{21k})u_{l,12}+(e_{13k}+e_{31k})u_{l,13}+(e_{23k}+e_{32k})u_{l,32}=0}$$
Также
$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,li}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,i}\right)_{,l}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{kij}~u_{j,i}\right)_{,l}=w_{k,l}}$$
Следовательно
$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=w_{k,l}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }$$

Из важного тождества, касающегося ротора тензора, мы знаем, что для непрерывного однозначного поля смещения ${\displaystyle \mathbf {u} }$,
$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )={\boldsymbol {0}}.}$$
Поскольку ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$ мы имеем
$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {W}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=-{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} .}$$

В цилиндрических полярных координатах (${\displaystyle r,\theta ,z}$) вектор смещения можно записать как
$${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{z}~\mathbf {e} _{z}}$$
Компоненты тензора деформаций в цилиндрической системе координат имеют вид:
$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{zz}&={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta z}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)\\\varepsilon _{zr}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$

В сферических координатах (${\displaystyle r,\theta ,\phi }$) вектор смещения можно записать как
$${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{\phi }~\mathbf {e} _{\phi }}$$
Компоненты тензора деформаций в сферической системе координат имеют вид
$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\cfrac {1}{r\sin \theta }}\left({\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\cfrac {1}{2r}}\left({\cfrac {1}{\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\\\varepsilon _{\phi r}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\phi }}{r}}\right)\end{aligned}}}$$