Теорема Стокса

Теорема Стокса, также известная как теорема Кельвина–Стокса в честь лорда Кельвина и Джорджа Стокса, фундаментальная теорема для кудрей или просто теорема о скручивании — это теорема векторного исчисления на языке ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Для векторного поля теорема связывает интеграл ротора векторного поля по некоторой поверхности с линейным интегралом векторного поля вокруг границы поверхности. Классическую теорему Стокса можно сформулировать в одном предложении: линейный интеграл векторного поля по петле равен поверхностному интегралу его витка по замкнутой поверхности. Это показано на рисунке, где указано направление положительной циркуляции ограничивающего контура ∂Σ и направление n положительного потока через поверхность Σ связаны правилом правой руки. На правой руке пальцы движутся по ∂Σ, а большой палец направлен по n.

Теорема Стокса является частным случаем обобщенной теоремы Стокса. В частности, векторное поле в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можно рассматривать как 1-форму, и в этом случае его ротор является его внешней производной, 2-формой.

Пусть ${\displaystyle \Sigma }$ — гладкая ориентированная поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с границей ${\displaystyle \partial \Sigma \equiv \Gamma }$. Если векторное поле ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))}$ определено и имеет непрерывные частные производные первого порядка в области, содержащей ${\displaystyle \Sigma }$, тогда

$${\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } .}$$
Более явно равенство говорит, что
$${\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

Основная проблема точной формулировки теоремы Стокса заключается в определении понятия границы. Хорошо известно, что такие поверхности, как, например, снежинка Коха, не имеют границы, интегрируемой по Риману, а понятие поверхностной меры в теории Лебега не может быть определено для нелипшицевой поверхности. Один (продвинутый) метод состоит в том, чтобы перейти к слабой формулировке и затем применить аппарат геометрической теории меры; для этого подхода см. формулу коплощади. Вместо этого в этой статье мы используем более элементарное определение, основанное на том факте, что границу можно различить для полномерных подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Более подробное заявление будет дано для последующих обсуждений.
Пусть ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ — кусочно гладкая плоская жорданова кривая. Теорема Жордана о кривой подразумевает, что ${\displaystyle \gamma }$ делит ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ на два компонента: компактное одно и другое, некомпактное. Пусть ${\displaystyle D}$ обозначает компактную часть; тогда ${\displaystyle D}$ ограничен ${\displaystyle \gamma }$. Теперь достаточно перенести это понятие границы вдоль непрерывной карты на нашу поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Но такая карта у нас уже есть: параметризация ${\displaystyle \Sigma }$.

Предположим, что ${\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}$ является кусочно гладким в окрестности ${\displaystyle D}$, с ${\displaystyle \Sigma =\psi (D)}$. Если ${\displaystyle \Gamma }$ — это пространственная кривая, определенная ${\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$, то мы вызываем ${\displaystyle \Gamma }$ граница ${\displaystyle \Sigma }$, записанная <>.

С учетом приведенных выше обозначений, если ${\displaystyle \mathbf {F} }$ — любое гладкое векторное поле на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, то$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } .}$$

Здесь «${\displaystyle \cdot }$» представляет скалярное произведение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Доказательство теоремы состоит из 4 шагов. Мы предполагаем теорему Грина, поэтому нас интересует, как свести трехмерную сложную задачу (теорему Стокса) к двумерной элементарной задаче (теорема Грина). Доказывая эту теорему, математики обычно выводят ее как частный случай более общего результата, который формулируется в терминах дифференциальных форм и доказывается с использованием более сложной техники. Несмотря на свою мощь, эти методы требуют существенного опыта, поэтому приведенное ниже доказательство их избегает и не предполагает каких-либо знаний, кроме знакомства с основами векторного исчисления и линейной алгебры. В конце этого раздела дается короткое альтернативное доказательство теоремы Стокса как следствие обобщенной теоремы Стокса.

Как и в § Теоремы, мы уменьшаем размерность, используя естественную параметризацию поверхности. Пусть ψ и γ такие же, как в этом разделе, и обратите внимание, что при замене переменных
$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } ))\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } )}=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\,\mathrm {d} \gamma }}$$
где J_yψ обозначает матрицу Якоби ψ в точке y = γ(t).

Теперь пусть {e_u, e_{v< /sub>} — ортонормированный базис в координатных направлениях R².

Признавая, что столбцы J_yψ являются в точности частными производными ψ в точке y, мы можем разложить предыдущее уравнение по координатам следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }&=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{u}(\mathbf {e} _{u}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )+\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{v}(\mathbf {e} _{v}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )}\\&=\oint _{\gamma }{\left(\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{v}\right)\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} }\end{aligned}}}$$

Предыдущий шаг предполагает, что мы определим функцию

$${\displaystyle \mathbf {P} (u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{v}}$$

Теперь, если функции скалярного значения ${\displaystyle P_{u}}$ и ${\displaystyle P_{v}}$ определены следующим образом ,
$${\displaystyle {P_{u}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)}$$
$${\displaystyle {P_{v}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)}$$
затем,
$${\displaystyle \mathbf {P} (u,v)={P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v}.}$$

Это откат F вдоль ψ, и, согласно вышеизложенному, это удовлетворяет

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {P} (\mathbf {y} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }}$$

Мы успешно свели одну часть теоремы Стокса к двумерной формуле; теперь мы обратимся к другой стороне.

Сначала вычислите частные производные, фигурирующие в теореме Грина, с помощью правила произведения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial v\,\partial u}}\\[5pt]{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial u\,\partial v}}\end{aligned}}}$$

Удобно, что второй член в разнице исчезает из-за равенства смешанных частиц. Так,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}-{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}&&{\text{(chain rule)}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot \left(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\end{aligned}}}$$

Но теперь рассмотрим матрицу в этой квадратичной форме, то есть ${\displaystyle J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}}$. Мы утверждаем, что эта матрица фактически описывает векторное произведение.
Здесь верхний индекс «${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$» представляет собой транспонирование матриц.

Точнее, пусть ${\displaystyle A=(A_{ij})_{ij}}$ — произвольная матрица 3 × 3 и пусть

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}}}$$

Обратите внимание, что x ↦ a × x является линейным, поэтому оно определяется его действием на базисные элементы. Но по прямому расчету
$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{1}&={\begin{bmatrix}0\\a_{3}\\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\\0\\a_{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{2}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$$
Здесь {e₁, e_{2< /sub>, e3} представляет ортонормированный базис в координатных направлениях <>.

Таким образом, (A − A^T)x = a × < b>x для любого x.

Заменив ${\displaystyle {(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}}$ на A, получим

$${\displaystyle \left({(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}-{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$$

Теперь мы можем распознать разницу частичных чисел как (скалярное) тройное произведение:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\end{aligned}}}$$

С другой стороны, в определение поверхностного интеграла входит и тройное произведение — то самое!

$${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,d\mathbf {\Sigma } &=\iint _{D}{(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}\end{aligned}}}$$

Итак, мы получаем

$${\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$$

Объединение второго и третьего шагов с последующим применением теоремы Грина завершает доказательство.
Теорема Грина утверждает следующее: для любой области D, ограниченной замкнутой кривой Жордана γ и двумя скалярными гладкими функциями, ${\displaystyle P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)}$, определенными на D;

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$$

Мы можем подставить вывод ШАГА 2 в левую часть приведенной выше теоремы Грина, а вывод ШАГА 3 — в правую часть.
К.Э.Д.

Функции ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ можно идентифицировать с дифференциальными 1-формами на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ через карту

$${\displaystyle F_{x}\mathbf {e} _{1}+F_{y}\mathbf {e} _{2}+F_{z}\mathbf {e} _{3}\mapsto F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z.}$$

Запишите дифференциальную 1-форму, связанную с функцией F, как ω_F. Тогда можно это вычислить

$${\displaystyle \star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }=\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}$$

где ★ — звезда Ходжа, а ${\displaystyle \mathrm {d} }$ — внешняя производная. Таким образом, по обобщенной теореме Стокса

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\gamma } }=\oint _{\partial \Sigma }{\omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }}=\iint _{\Sigma }{\nabla \times \mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }}$$

В этом разделе мы обсудим безвихревое поле (пластинчатое векторное поле), основанное на теореме Стокса.

Определение 2-1 (безвихревое поле). Гладкое векторное поле F на открытом ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$< /span> является безвихревым (ламеллярное векторное поле), если ∇ × F = 0.

Это понятие очень фундаментально в механике; как мы докажем позже, если F является безвихревым и областью действия F просто связно, то F — консервативное векторное поле.

В этом разделе мы представим теорему, выведенную из теоремы Стокса и характеризующую безвихревые векторные поля. В классической механике и гидродинамике это называется теоремой Гельмгольца.

Теорема 2-1 (теорема Гельмгольца в гидродинамике).^: 142 Пусть ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ — открытое подмножество с пластинчатым векторным полем F и пусть < i>c₀, c₁: [0, 1] → U быть кусочно-гладкими петлями. Если существует функция H: [0, 1] × [0, 1] → U такая, что

Затем,
$${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{1}}$$

Некоторые учебники, такие как Lawrence, называют связь между c₀ и c₁, указанную в теореме 2-1, «гомотопной», а функцию H: [0, 1] × [0, 1] → U — «гомотопией между c₀ и c₁». Однако «гомотопный» или «гомотопия» в вышеупомянутом смысле отличаются (сильнее) типичных определений «гомотопного» или «гомотопии»; последние опускают условие [TLH3]. Поэтому с этого момента мы будем называть гомотопию (гомотоп) в смысле теоремы 2-1 трубчатой ​​гомотопией (соответственно трубчато-гомотопной).

Далее мы злоупотребляем обозначениями и используем «${\displaystyle \oplus }$» для объединения путей в фундаментальном группоиде и «<». » для изменения ориентации пути.

Пусть D = [0, 1] × [0, 1] и разделите ∂D на четыре строки сегменты γ_j.
$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)=(t,0)\\\gamma _{2}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s)\\\gamma _{3}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1)\\\gamma _{4}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{4}(s)=(0,1-s)\end{aligned}}}$$
так что $${\displaystyle \partial D=\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4}}$$

По нашему предположению, что c₀ и c₁ являются кусочно гладкими гомотопными, существует кусочно гладкая гомотопия H: D → M
$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t)&=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)\end{aligned}}}$$

Пусть S будет изображением D под H. Что

$${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

следует непосредственно из теоремы Стокса. F является пластинчатым, поэтому левая сторона исчезает, т.е.

$${\displaystyle 0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

Поскольку H является трубчатым (соответствует [TLH3]), ${\displaystyle \Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}}$ и ${\displaystyle \Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}}$< /span>. Таким образом, линейные интегралы вдоль Γ₂(s) и Γ₄(s< /i>) отменить, выйти

$${\displaystyle 0=\oint _{\Gamma _{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

С другой стороны, c₁ = Γ₁, ${\displaystyle c_{3}=\ominus \Gamma _{3}}$ , так что желаемое равенство достигается почти сразу.

Вышеприведенная теорема Гельмгольца дает объяснение, почему работа, совершаемая консервативной силой по изменению положения объекта, не зависит от пути. Сначала мы введем лемму 2–2, которая является следствием и частным случаем теоремы Гельмгольца.

Лемма 2-2. Пусть ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ — открытое подмножество с ламеллярным векторным полем F< /b> и кусочно-гладкий цикл c₀: [0, 1] → U . Зафиксируем точку p ∈ U, если существует гомотопия H: [0, 1] × [0, 1] → U такой, что

Затем,
$${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0}$$

Вышеприведенная лемма 2-2 следует из теоремы 2–1. В лемме 2-2 существование H, удовлетворяющего [SC0] в [SC3], имеет решающее значение; вопрос в том, можно ли взять такую ​​гомотопию для произвольных петель. Если U односвязно, то такое H существует. Определение односвязного пространства следует:

Определение 2-2 (односвязное пространство). Пусть ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ непусто и связно по путям. M называется односвязным тогда и только тогда, когда для любого непрерывного цикла c: [0, 1] → M существует непрерывная трубчатая гомотопия H: [0, 1] × [0, 1] → M из c до фиксированной точки p ∈ c; то есть,

Утверждение о том, что «для консервативной силы работа, совершаемая по изменению положения объекта, не зависит от пути», может показаться очевидным, если М просто связно.　Однако помните, что простая связность гарантирует только существование непрерывной гомотопии, удовлетворяющей [SC1-3]; вместо этого мы ищем кусочно-гладкую гомотопию, удовлетворяющую этим условиям.

К счастью, разрыв в регулярности устраняется аппроксимационной теоремой Уитни.^{: 136, 421} В иными словами, возможность найти непрерывную гомотопию, но не иметь возможности интегрировать по ней, фактически устраняется в пользу высшей математики.　Таким образом, мы получаем следующую теорему.

Теорема 2-2. Пусть ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ открыт и просто связан с безвихревым векторным полем F< /b>. Для всех кусочно-гладких циклов c: [0, 1] → U
$${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0}$$

В физике электромагнетизма теорема Стокса дает обоснование эквивалентности дифференциальной формы уравнений Максвелла-Фарадея и уравнения Максвелла-Ампера и интегральной формы этих уравнений. Для закона Фарадея к электрическому полю применяется теорема Стокса, ${\displaystyle \mathbf {E} }$:

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

Для закона Ампера теорема Стокса применяется к магнитному полю, ${\displaystyle \mathbf {B} }$:

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$