Теорема о параллельной оси

Теорему о параллельной оси можно применять вместе с правилом растяжения и теоремой о перпендикулярной оси, чтобы найти моменты инерции для различных форм.

Мы можем предположить, не ограничивая общности, что в декартовой системе координат расстояние по перпендикуляру между осями лежит вдоль оси x и что центр масс находится в начале координат. Тогда момент инерции относительно оси z равен

Момент инерции относительно оси z′, находящейся на расстоянии D от центра масс вдоль оси x

Раскрыв скобки, получим

Первый член равен I_cm, а второй член становится MD². Интеграл в последнем члене кратен x-координате центра масс, которая равна нулю, поскольку центр масс находится в начале координат. Таким образом, уравнение становится следующим:

Теорему о параллельной оси можно обобщить на вычисления с использованием тензора инерции. Пусть I_ij обозначает тензор инерции тела, рассчитанный в центре масс. Тогда тензор инерции J_ij, рассчитанный относительно новой точки, равен

где ${\displaystyle \mathbf {R} =R_{1}\mathbf {\hat {x}} +R_{2}\mathbf {\hat {y}} +R_{3}\mathbf {\hat {z}} \!}$ — вектор смещения от центра масс к новой точке, а δ_ij — дельта Кронекера.

Для диагональных элементов (когда i = j) смещения, перпендикулярные оси вращения, приводят к приведенной выше упрощенной версии теоремы о параллельной оси.

Обобщенная версия теоремы о параллельной оси может быть выражена в форме бескоординатной записи как

где E₃ — единичная матрица 3 × 3, а ${\displaystyle \otimes }$ это внешний продукт.

Дальнейшее обобщение теоремы о параллельной оси дает тензор инерции относительно любого набора ортогональных осей, параллельных эталонному набору осей x, y и z, связанному с эталонным тензором инерции, независимо от того, проходят ли они через центр масс или нет.

Правило параллельных осей также применяется ко второму моменту площади (моменту инерции площади) для плоской области D:

где I_z — момент инерции площади D относительно параллельной оси, I_x — момент инерции площади тела D относительно его центроида, A< /span> — это площадь плоской области D, а r — это расстояние от новой оси z< /i> к центру тяжести плоской области D. Центр тяжести D совпадает с центром тяжести физической пластины той же формы, но с одинаковой плотностью.

Чтобы получить момент инерции I_S через момент инерции I_{< i>R}, введем вектор d от S до центра масс R,

Первый член — это момент инерции I_R, второй член равен нулю по определению центра масс, а последний член — общая масса тела, умноженная на квадратную величину вектора d. Таким образом,

которая известна как теорема о параллельности осей.

Матрица инерции жесткой системы частиц зависит от выбора точки отсчета. Существует полезная связь между матрицей инерции относительно центра масс R и матрицей инерции относительно другой точки S. Это соотношение называется теоремой о параллельности осей.

Рассмотрим матрицу инерции [I_S], полученную для жесткой системы частиц, измеренную относительно опорной точки S, определяемую выражением

где r_i определяет положение частицы P_{i, i = 1, …, n. Напомним, что [ri − S] — это кососимметричная матрица, выполняющая векторное произведение,}

для произвольного вектора y.

Пусть R — центр масс жесткой системы, тогда

где d — вектор от опорной точки S до центра масс R. Используйте это уравнение для вычисления матрицы инерции:

Разверните это уравнение, чтобы получить

Первый член — это матрица инерции [I_R] относительно центра масс. Второй и третий члены равны нулю по определению центра масс R,

И последнее слагаемое — это полная масса системы, умноженная на квадрат кососимметричной матрицы [d], построенной из d.

Результатом является теорема о параллельной оси:

где d — вектор от точки отсчета S до центра масс R.

Для сравнения формулировок теоремы о параллельной оси с использованием кососимметричных матриц и тензорной формулировки полезны следующие тождества.