В дискретной геометрии и механике структурная жесткость — это комбинаторная теория, предназначенная для прогнозирования гибкости ансамблей, образованных твердыми телами, соединенными гибкими связями или шарнирами.
Жесткость — это свойство конструкции, которое заключается в том, что она не сгибается и не прогибается под действием приложенной силы. Противоположностью жесткости является гибкость. В теории структурной жесткости конструкции образуются наборами объектов, которые сами по себе являются жесткими телами, часто предполагаемыми как принимающие простые геометрические формы, такие как прямые стержни (отрезки линий), с парами объектов, соединенных гибкими шарнирами. Конструкция является жесткой, если она не может сгибаться; то есть если нет непрерывного движения конструкции, которое сохраняет форму ее жестких компонентов и схему их соединений в шарнирах.
Есть два принципиально разных вида жесткости. Конечная или макроскопическая жесткость означает, что конструкция не будет изгибаться, складываться или изгибаться на положительную величину. Бесконечно малая жесткость означает, что конструкция не прогнется даже на величину, слишком малую, чтобы ее можно было обнаружить даже теоретически. (Технически это означает, что некоторые дифференциальные уравнения не имеют ненулевых решений.) Важность конечной жесткости очевидна, но бесконечно малая жесткость также имеет решающее значение, поскольку бесконечно малая гибкость в теории соответствует незначительному изгибу в реальном мире и, как следствие, разрушению конструкции.
Жесткий граф — это вложение графа в структурно жесткое евклидово пространство. То есть граф является жестким, если структура, образованная заменой ребер жесткими стержнями, а вершин гибкими шарнирами, является жесткой. Граф, который не является жестким, называется гибким. Более формально, встраивание графа является гибким, если вершины можно перемещать непрерывно, сохраняя расстояния между соседними вершинами, в результате чего расстояния между некоторыми несмежными вершинами изменяются. Последнее условие исключает евклидовы сравнения, такие как простой перевод и вращение.
Также можно рассматривать проблемы жесткости для графов, в которых некоторые ребра представляют собой элементы сжатия (способные растягиваться до большей длины, но не сжиматься до меньшей длины), в то время как другие ребра представляют растяжение. элементы (способны сжиматься, но не растягиваться). Жесткий граф с ребрами этих типов образует математическую модель структуры тенсегрити.
Фундаментальная проблема заключается в том, как с помощью теоретического анализа предсказать жесткость конструкции без необходимости ее строительства. Ключевые результаты в этой области включают в себя следующее:
Однако во многих других простых ситуациях еще не всегда известно, как математически проанализировать жесткость конструкции, несмотря на существование значительной математической теории.
Одним из основоположников математической теории жесткости конструкций был физик Джеймс Клерк Максвелл. В конце двадцатого века произошел расцвет математической теории жесткости, который продолжается и в двадцать первом веке.
«[А] теория равновесия и прогибов каркасов, подвергающихся действию сил, действует на твёрдые качества… в тех случаях, когда каркас… усиливается дополнительными соединительными деталями… в случаях трёх размеров, с помощью обычного метода уравнений сил каждая точка будет иметь три уравнения для определения ее равновесия, чтобы дать 3s уравнений между e неизвестными величинами, если < i>s — количество точек, а e — количество связей [sic]. Однако существует шесть уравнений равновесия системы, которые обязательно должны выполняться силами: ввиду равенства действия и противодействия в каждой части. Следовательно, если e = 3s − 6, действие любой вечной силы будет определенным в создании напряжений или давлений. в разных частях; но если e > 3s − 6, то эти силы будут неопределенными…»