Стандартная линейная твердотельная модель

Стандартное линейное твердое тело (SLS), также известное как модель Зинера в честь Кларенса Зинера, представляет собой метод моделирования поведения вязкоупругого материала с использованием линейной комбинации пружин и амортизаторов для представления упругих и вязких компонентов соответственно. Часто используются более простые модель Максвелла и модель Кельвина–Фойгта. Однако эти модели часто оказываются недостаточными; модель Максвелла не описывает ползучесть или восстановление, а модель Кельвина–Фойгта не описывает релаксацию напряжений. SLS — это простейшая модель, которая предсказывает оба явления.

Определение

Материалы, подвергающиеся деформации, часто моделируются с помощью механических компонентов, таких как пружины (компонент восстановительной силы) и амортизаторы (компонент демпфирования).

Последовательное соединение пружины и демпфера дает модель материала Максвелла, а параллельное соединение пружины и демпфера дает модель материала Кельвина–Фойгта. В отличие от моделей Максвелла и Кельвина–Фойгта, SLS немного сложнее, включающая элементы как последовательно, так и параллельно. Пружины, которые представляют собой упругий компонент вязкоупругого материала, подчиняются закону Гука:

${\displaystyle \sigma _{s}=E\varepsilon }$

где σ — приложенное напряжение, E — модуль Юнга материала, а ε — деформация. Пружина представляет собой упругую составляющую реакции модели.

Dashpots представляют вязкую составляющую вязкоупругого материала. В этих элементах приложенное напряжение изменяется в зависимости от скорости изменения деформации:

${\displaystyle \sigma _{D}=\eta {\frac {d\varepsilon }{dt}}}$

где η — вязкость компонента амортизатора.

Решение модели

Для моделирования этой системы необходимо реализовать следующие физические соотношения:

Для параллельных компонентов: ${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{1}+\sigma _{2}}$ и ${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}}$.

Для серийных компонентов: ${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{1}=\sigma _{2}}$, и ${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}$.

Представление Максвелла

Эта модель состоит из двух параллельно работающих систем. Первый, называемый рукой Максвелла, содержит пружину (${\displaystyle E=E_{2}}$) и тачпад (вязкость ${\displaystyle \eta }$) последовательно. Другая система содержит только пружину (${\displaystyle E=E_{1}}$).

Эти отношения помогают связать различные напряжения и напряжения в системе в целом и в руке Максвелла:

${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{m}+\sigma _{S_{1}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{m}=\varepsilon _{S_{1}}}$

${\displaystyle \sigma _{m}=\sigma _{D}=\sigma _{S_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{m}=\varepsilon _{D}+\varepsilon _{S_{2}}}$

где нижние индексы ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ относятся к Maxwell, демпферу, пружине один и пружине два соответственно.

Используя эти соотношения, их производные по времени и приведенные выше соотношения напряжение-деформация для элементов пружины и амортизатора, систему можно смоделировать следующим образом:

${\displaystyle {\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}={\frac {{\frac {E_{2}}{\eta }}\left({\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}+\sigma (t)-E_{1}\varepsilon (t)\right)}{E_{1}+E_{2}}}}$

Уравнение можно также выразить как:

${\displaystyle \sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}=E_{1}\varepsilon (t)+{\frac {\eta (E_{1}+E_{2})}{E_{2}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}}$

или, в точечной нотации:

${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E_{2}}}{\dot {\sigma }}=E_{1}\varepsilon +{\frac {\eta (E_{1}+E_{2})}{E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}}$

Время релаксации, ${\displaystyle \tau }$, различно для каждого материала и равно

${\displaystyle \tau ={\frac {\eta }{E_{2}}}}$

Представление Кельвина-Фойгта

Данная модель состоит из двух последовательно соединенных систем. Первый, называемый рукой Кельвина, содержит пружину (${\displaystyle E=E_{2}}$) и тачпад (вязкость ${\displaystyle \eta }$) параллельно. Другая система содержит только пружину (${\displaystyle E=E_{1}}$).

Эти отношения помогают связать различные напряжения и напряжения в системе в целом и в руке Кельвина:

${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{k}=\sigma _{S_{1}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{S_{1}}}$

${\displaystyle \sigma _{k}=\sigma _{D}+\sigma _{S_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{k}=\varepsilon _{D}=\varepsilon _{S_{2}}}$

где нижние индексы ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle S_{1}}$, и ${\displaystyle S_{2}}$ относятся к Кельвину, демпферу, пружине один и пружине два соответственно.

Используя эти соотношения, их производные по времени и приведенные выше соотношения напряжение-деформация для элементов пружины и амортизатора, систему можно смоделировать следующим образом:

${\displaystyle \sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon (t)+{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}}$

или, в точечной нотации:

${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\sigma }}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon +{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}}$

Время замедления, ${\displaystyle {\bar {\tau }}}$, различно для каждого материала и равно

${\displaystyle {\bar {\tau }}={\frac {\eta }{E_{2}}}}$

Характеристики модели

Стандартная линейная модель твердого тела объединяет аспекты моделей Максвелла и Кельвина–Фойгта для точного описания общего поведения системы при заданном наборе условий нагрузки. Поведение материала, приложенного к мгновенному напряжению, показано как имеющее мгновенный компонент реакции. Мгновенное снятие напряжения также приводит к прерывистому уменьшению деформации, как и ожидалось. Форма кривой зависимости деформации от времени соответствует типу уравнения, которое характеризует поведение модели с течением времени, в зависимости от того, как модель нагружена.

Хотя эту модель можно использовать для точного прогнозирования общей формы кривой деформации, а также поведения при длительных и мгновенных нагрузках, она не позволяет точно моделировать материальные системы численно.

Модель жидкости, эквивалентная стандартной линейной твердотельной модели, включает в себя амортизатор, включенный последовательно с моделью Кельвина-Фойгта, и называется моделью Джеффриса.