Спинодальный распад

Что такое спинодальный распад?

Спинодальный распад — это механизм, при котором одна термодинамическая фаза самопроизвольно разделяется на две фазы без зародышеобразования. Это происходит, когда система становится термодинамически неустойчивой, и нет барьера для разделения фаз. В отличие от обычного фазового перехода, который требует образования зародышей новой фазы, спинодальный распад происходит мгновенно и равномерно по всему объёму системы.

Проще говоря, представьте, что у вас есть стакан с однородной жидкостью. При изменении условий (например, охлаждении) эта жидкость может начать разделяться на две разные жидкости, которые смешиваются друг с другом, но при этом остаются отдельными. Это и есть спинодальный распад.

Как работает спинодальный распад?

Спинодальный распад основан на принципах термодинамики и физики материалов. Он происходит, когда система достигает максимума свободной энергии и становится термодинамически неустойчивой. В этот момент система начинает самопроизвольно разделяться на фазы, чтобы снизить свою энергию и достичь более стабильного состояния.

Например, представьте, что вы нагреваете металлический сплав. При определённой температуре он может начать разделяться на две разные фазы, каждая из которых имеет свои уникальные свойства. Это может быть полезно для создания материалов с улучшенными характеристиками, такими как повышенная прочность или устойчивость к коррозии

Спинодальный распад принципиально отличается от нуклеации и роста. Когда существует барьер нуклеации для образования второй фазы, системе требуется время, чтобы преодолеть этот барьер. Поскольку барьера для спинодального распада (по определению) нет, некоторые флуктуации (параметра порядка, характеризующего фазу) начинают мгновенно расти. Более того, при спинодальном распаде две отдельные фазы начинают расти в любом месте равномерно по всему объему, тогда как зародышевое изменение фазы начинается в дискретном количестве точек.

Спинодальный распад происходит, когда гомогенная фаза становится термодинамически нестабильной. Нестабильная фаза находится на максимуме свободной энергии. Напротив, зародышеобразование и рост происходят, когда гомогенная фаза становится метастабильной. То есть, другая двухфазная система становится менее свободной энергией, но гомогенная фаза остается на локальном минимуме свободной энергии и, таким образом, устойчива к небольшим колебаниям. Дж. Уиллард Гиббс описал два критерия метастабильной фазы: она должна оставаться стабильной по отношению к небольшому изменению на большой площади.

История

В начале 1940-х годов Брэдли сообщил о наблюдении боковых полос вокруг пиков Брэгга на рентгеновской дифракционной картине сплава Cu-Ni-Fe, который был закален, а затем отожжен внутри щели смешиваемости. Дальнейшие наблюдения над тем же сплавом были сделаны Дэниелом и Липсоном, которые продемонстрировали, что боковые полосы можно объяснить периодической модуляцией состава в направлениях <100>. По расстоянию между боковыми полосами они смогли определить длину волны модуляции, которая была порядка 100 ангстрем (10 нм).

Рост модуляции состава в изначально однородном сплаве подразумевает диффузию вверх или отрицательный коэффициент диффузии. Беккер и Делингер уже предсказали отрицательную диффузию внутри спинодальной области бинарной системы, но их трактовки не могли объяснить рост модуляции определенной длины волны, как это наблюдалось в сплаве Cu-Ni-Fe. Фактически, любая модель, основанная на законе Фика, дает физически неприемлемое решение, когда коэффициент диффузии отрицателен.

Первое объяснение периодичности дал Матс Хиллерт в своей докторской диссертации 1955 года в Массачусетском технологическом институте. Начав с модели регулярного раствора, он вывел уравнение потока для одномерной диффузии на дискретной решетке. Это уравнение отличалось от обычного включением члена, который учитывал влияние интерфейсной энергии на движущую силу соседних межатомных плоскостей, различающихся по составу. Хиллерт численно решил уравнение потока и обнаружил, что внутри спинодали оно давало периодическое изменение состава с расстоянием. Более того, длина волны модуляции была того же порядка, что и наблюдаемая в сплавах Cu-Ni-Fe.

Основываясь на работе Хиллерта, Джон У. Кан и Джон Хиллиард впоследствии разработали более гибкую модель континуума, включив в нее эффекты когерентных деформаций, а также термин градиентной энергии. Деформации важны, поскольку они определяют конечную морфологию разложения в анизотропных материалах.

Перед тем как перейти к научным описаниям моделей и механизмов спинодального распада, дайте рассмотрим практическое применение которое будет понятно для обычного обывателя

Пример применения в материаловедении

В материаловедении спинодальный распад используется для создания композитных материалов, которые сочетают в себе лучшие свойства разных фаз. Например, сплавы, полученные с помощью спинодального распада, могут быть одновременно прочными и лёгкими, что делает их идеальными для использования в авиации и автомобилестроении.

Применение спинодального распада в промышленности

Спинодальный распад — это не просто абстрактное физическое явление. Он активно используется в различных отраслях промышленности, от металлургии до химической промышленности. Давайте рассмотрим несколько примеров.

1. Металлургия

В металлургии спинодальный распад используется для создания сплавов с уникальными свойствами. Например, сплавы на основе никеля и титана, полученные с помощью спинодального распада, обладают высокой прочностью и устойчивостью к коррозии. Это делает их идеальными для использования в аэрокосмической промышленности и медицине.

2. Химическая промышленность

В химической промышленности спинодальный распад применяется для создания полимерных материалов с улучшенными свойствами. Например, полимеры, полученные с помощью спинодального распада, могут быть более устойчивыми к высоким температурам и химическим воздействиям. Это важно для производства пластиков, покрытий и других материалов.

3. Энергетика

В энергетике спинодальный распад используется для создания материалов, которые могут выдерживать экстремальные условия, такие как высокие температуры и давление. Например, сплавы, полученные с помощью спинодального распада, используются в турбинах электростанций, чтобы повысить их эффективность и долговечность.

Спинодальный распад в науке

Спинодальный распад также играет важную роль в научных исследованиях. Он используется в физике, химии, биологии и других науках для анализа сложных систем и создания новых материалов.

1. Физика

В физике спинодальный распад используется для изучения фазовых переходов и поведения материалов при экстремальных условиях. Это помогает учёным лучше понять, как работают материалы и как их можно улучшить.

2. Химия

В химии спинодальный распад применяется для анализа поведения смесей и создания новых материалов с заданными свойствами. Например, он используется для разработки новых типов полимеров и композитов.

3. Биология

В биологии спинодальный распад используется для изучения структуры биологических мембран и их поведения. Это помогает учёным лучше понять, как работают клетки и как можно лечить различные заболевания.

Спинодальный распад в компьютерном моделировании

Компьютерное моделирование — это ещё одна область, где спинодальный распад находит широкое применение. Он используется для создания реалистичных моделей сложных систем, таких как климатические модели или модели движения жидкостей

1. Климатические модели

В климатических моделях спинодальный распад помогает учитывать такие факторы, как распределение температуры и давления. Это позволяет учёным прогнозировать изменения климата и разрабатывать стратегии для борьбы с глобальным потеплением.

2. Гидродинамика

В гидродинамике спинодальный распад используется для моделирования движения жидкостей в трубах, каналах или открытых водоёмах. Это важно для проектирования систем водоснабжения, канализации и ирригации.

Практические примеры использования спинодального распада

Чтобы лучше понять, как спинодальный распад применяется в реальной жизни, рассмотрим несколько практических примеров.

1. Проектирование автомобилей

В автомобилестроении спинодальный распад используется для создания материалов, которые сочетают в себе лёгкость и прочность. Например, сплавы, полученные с помощью спинодального распада, используются для изготовления кузовов автомобилей, что помогает снизить их вес и повысить топливную эффективность.

2. Энергетика

В энергетике спинодальный распад применяется для создания материалов, которые могут выдерживать экстремальные условия, такие как высокие температуры и давление. Например, сплавы, полученные с помощью спинодального распада, используются в турбинах электростанций, чтобы повысить их эффективность и долговечность.

3. Медицина

В медицине спинодальный распад используется для создания биосовместимых материалов, которые могут быть использованы для изготовления имплантатов и медицинских устройств. Например, сплавы, полученные с помощью спинодального распада, используются для создания стентов, которые помогают лечить сердечно-сосудистые заболевания.

Как спинодальный распад помогает в производстве?

В производстве спинодальный распад используется для создания материалов с улучшенными свойствами. Например, на заводах, где производятся сложные детали, спинодальный распад помогает создавать сплавы, которые обладают высокой прочностью и устойчивостью к коррозии. Это снижает затраты на производство и повышает качество продукции.

Теперь перейдем к научному описанию моделей

Модель Кана–Хилларда для спинодального распада

Свободную энергию при наличии малых амплитудных флуктуаций, например, в концентрации, можно оценить с помощью приближения, введенного Гинзбургом и Ландау для описания градиентов магнитного поля в сверхпроводниках.

Тогда свободная энергия Кана-Хилларда равна

F=∫v[fb+κ(∇c)2] dV{\displaystyle F=\int _{v}[f_{b}+\kappa (\nabla c)^{2}]~dV}

F=\int _{v}[f_{b}+\kappa (\nabla c)^{2}]~dV

Динамика спинодального распада при движении молекул посредством диффузии

Спинодальный распад можно смоделировать с помощью обобщенного уравнения диффузии:

∂c∂t=M∇2μ{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=M\nabla ^{2}\mu }

{\frac {\partial c}{\partial t}}=M\nabla ^{2}\mu

Фазовая диаграмма

Этот тип фазового превращения известен как спинодальный распад и может быть проиллюстрирован на фазовой диаграмме, демонстрирующей щель смешиваемости. Таким образом, разделение фаз происходит всякий раз, когда материал переходит в нестабильную область фазовой диаграммы. Граница нестабильной области, иногда называемая бинодалью или кривой сосуществования, находится путем выполнения общего построения касательной диаграммы свободной энергии. Внутри бинодали находится область, называемая спинодалью, которая находится путем определения того, где кривизна кривой свободной энергии отрицательна. Бинодаль и спинодаль встречаются в критической точке. Спинодальный распад может произойти, когда материал перемещается в спинодальную область фазовой диаграммы.

Кривая свободной энергии строится как функция состава для температуры ниже температуры свертки, T. Равновесные фазовые составы соответствуют минимумам свободной энергии. Области отрицательной кривизны (∂2f/∂c2 < 0 ) лежат внутри точек перегиба кривой (∂2f/∂c2 = 0 ), которые называются спинодами. Их геометрическое место как функция температуры определяет спинодаль. Для составов внутри спинодали однородный раствор нестабилен по отношению к бесконечно малым колебаниям плотности или состава, и нет термодинамического барьера для роста новой фазы. Таким образом, спинодаль представляет собой предел физической и химической стабильности.

Чтобы достичь спинодальной области фазовой диаграммы, переход должен провести материал через бинодальную область или критическую точку. Часто разделение фаз происходит посредством зародышеобразования во время этого перехода, и спинодальный распад не наблюдается. Чтобы наблюдать спинодальный распад, требуется очень быстрый переход, часто называемый quench, для перехода из стабильной в спинодальную нестабильную область фазовой диаграммы.

В некоторых системах упорядочение материала приводит к композиционной нестабильности, и это известно как условная спинодаль, например, в полевых шпатах.

Когерентность штаммов

Для большинства кристаллических твердых растворов существует изменение параметров решетки в зависимости от состава. Если решетка такого раствора должна оставаться когерентной при наличии модуляции состава, необходимо выполнить механическую работу по деформации жесткой структуры решетки. Таким образом, поддержание когерентности влияет на движущую силу диффузии.

Рассмотрим кристаллическое тело, содержащее одномерную модуляцию состава вдоль направления x. Мы вычисляем энергию упругой деформации для кубического кристалла, оценивая работу, необходимую для деформации среза материала так, чтобы его можно было когерентно добавить к существующей пластине с площадью поперечного сечения. Мы предположим, что модуляция состава происходит вдоль направления x’, и, как указано, штрих будет использоваться для различения опорных осей от стандартных осей кубической системы (то есть вдоль <100>).

Пусть шаг решетки в плоскости пластины будет a_o, а шаг решетки недеформированного среза — a. Если после добавления пластины пластина должна быть когерентной, она должна быть подвергнута деформации ε в направлениях z’ и y’ , которая определяется как:

ϵ=a−a0a0{\displaystyle \epsilon ={\frac {a-a_{0}}{a_{0}}}}

\epsilon ={\frac {a-a_{0}}{a_{0}}}

На первом этапе срез деформируется гидростатически, чтобы создать требуемые деформации в направлениях z’ и y’ . Мы используем линейную сжимаемость кубической системы 1 / ( c₁₁ + 2 c₁₂ ), где c являются упругими константами. Напряжения, необходимые для создания гидростатической деформации δ, таким образом, определяются как:

σx′=σy′=σz′{\displaystyle \sigma _{x’}=\sigma _{y’}=\sigma _{z’}}

\sigma _{x'}=\sigma _{y'}=\sigma _{z'}

Упругая работа на единицу объема определяется по формуле:

WE=12∑iσiϵi{\displaystyle W_{E}={\frac {1}{2}}\displaystyle \sum _{i}\sigma _{i}\epsilon _{i}}

W_{E}={\frac {1}{2}}\displaystyle \sum _{i}\sigma _{i}\epsilon _{i}

где ε — это деформации. Работа, выполненная на единицу объема среза на первом этапе, таким образом, определяется как:

WE(1)=32(c11+2c12)ϵ2{\displaystyle W_{E}(1)={\frac {3}{2}}(c_{11}+2c_{12})\epsilon ^{2}}

W_{E}(1)={\frac {3}{2}}(c_{11}+2c_{12})\epsilon ^{2}

На втором этапе стороны среза, параллельные направлению x’, зажимаются, и напряжение в этом направлении обратимо ослабляется. Таким образом, ε_z’ = ε_y’ = 0. Результат таков:

WE(2)=ϵ2(c11+2c22)2c11{\displaystyle W_{E}(2)={\frac {\epsilon ^{2}(c_{11}+2c_{22})}{2c_{11}}}}

W_{E}(2)={\frac {\epsilon ^{2}(c_{11}+2c_{22})}{2c_{11}}}

Чистая работа, выполняемая над срезом для достижения когерентности, определяется по формуле:

WE=WE(1)−WE(2){\displaystyle W_{E}=W_{E}(1)-W_{E}(2)}

W_{E}=W_{E}(1)-W_{E}(2)

или

WE=ϵ22(c11+2c12)(3−[c11−2c12c1′1′]){\displaystyle W_{E}={\frac {\epsilon ^{2}}{2}}(c_{11}+2c_{12})\left(3-\left[{\frac {c_{11}-2c_{12}}{c_{1’1′}}}\right]\right)}

W_{E}={\frac {\epsilon ^{2}}{2}}(c_{11}+2c_{12})\left(3-\left[{\frac {c_{11}-2c_{12}}{c_{1'1'}}}\right]\right)

Последний шаг — выразить c_1’1′ через константы, относящиеся к стандартным осям. Из вращения осей получаем следующее:

c1′1′=c11+2(2c44−c11+c12)(l2m2+m2n2+l2n2){\displaystyle c_{1’1′}=c_{11}+2(2c_{44}-c_{11}+c_{12})(l^{2}m^{2}+m^{2}n^{2}+l^{2}n^{2})}

c_{1'1'}=c_{11}+2(2c_{44}-c_{11}+c_{12})(l^{2}m^{2}+m^{2}n^{2}+l^{2}n^{2})

где l, m, n — направляющие косинусы оси x’ и, следовательно, направляющие косинусы композиционной модуляции. Объединяя их, получаем следующее:

WE=Yϵ2{\displaystyle W_{E}=Y\epsilon ^{2}}

W_{E}=Y\epsilon ^{2}

Y=12(c11+2c12)[3−c11+2c12c11+2(2c44−c11+c12)(l2m2+m2n2+l2n2)]{\displaystyle Y={\frac {1}{2}}(c_{11}+2c_{12})\left[3-{\frac {c_{11}+2c_{12}}{c_{11}+2(2c_{44}-c_{11}+c_{12})(l^{2}m^{2}+m^{2}n^{2}+l^{2}n^{2})}}\right]}

Y={\frac {1}{2}}(c_{11}+2c_{12})\left[3-{\frac {c_{11}+2c_{12}}{c_{11}+2(2c_{44}-c_{11}+c_{12})(l^{2}m^{2}+m^{2}n^{2}+l^{2}n^{2})}}\right]

Существование какой-либо сдвиговой деформации не было учтено. Кан рассмотрел эту проблему и пришел к выводу, что сдвиг будет отсутствовать для модуляций вдоль <100>, <110>, <111> и что для других направлений эффект сдвиговых деформаций будет небольшим. Из этого следует, что общая энергия упругой деформации плиты с площадью поперечного сечения A определяется по формуле:

WE=4∫Yϵ2 dx{\displaystyle W_{E}=4\int Y\epsilon ^{2}~dx}

W_{E}=4\int Y\epsilon ^{2}~dx

Далее нам нужно связать деформацию δ с изменением состава. Пусть a_o будет параметром решетки недеформированного твердого тела среднего состава c_o. Использование разложения в ряд Тейлора относительно c_o дает следующее:

a=a0[1+η[c−c0]+⋯]{\displaystyle a=a_{0}[1+\eta [c-c_{0}]+\cdots ]}

a=a_{0}[1+\eta [c-c_{0}]+\cdots ]

в котором

η=1a0dadc+dln⁡adc{\displaystyle \eta ={\frac {1}{a_{0}}}{\frac {da}{dc}}+{\frac {d\ln a}{dc}}}

\eta ={\frac {1}{a_{0}}}{\frac {da}{dc}}+{\frac {d\ln a}{dc}}

где производные оцениваются при c_o. Таким образом, пренебрегая членами более высокого порядка, имеем:

ϵ=a−a0a0=η(c−c0){\displaystyle \epsilon ={\frac {a-a_{0}}{a_{0}}}=\eta (c-c_{0})}

\epsilon ={\frac {a-a_{0}}{a_{0}}}=\eta (c-c_{0})

Подставляя, получаем:

WE=A∫η2Y(c−c0)2 dx{\displaystyle W_{E}=A\int \eta ^{2}Y(c-c_{0})^{2}~dx}

W_{E}=A\int \eta ^{2}Y(c-c_{0})^{2}~dx

Этот простой результат показывает, что энергия деформации композиционной модуляции зависит только от амплитуды и не зависит от длины волны. Для заданной амплитуды энергия деформации W_E пропорциональна Y. Рассмотрим несколько особых случаев.

Для изотропного материала:

2c44−c11+c12=0{\displaystyle 2c_{44}-c_{11}+c_{12}=0}

2c_{44}-c_{11}+c_{12}=0

так что:

Y[iso]=c11+c12−2c122c11{\displaystyle Y[\mathrm {iso} ]=c_{11}+c_{12}-2{\frac {c_{12}^{2}}{c_{11}}}}

Y[\mathrm {iso} ]=c_{11}+c_{12}-2{\frac {c_{12}^{2}}{c_{11}}}

Это уравнение также можно записать через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона υ, используя стандартные соотношения:

c11=E(1−ν)(1−2ν)(1+ν){\displaystyle c_{11}={\frac {E(1-\nu )}{(1-2\nu )(1+\nu )}}}

c_{11}={\frac {E(1-\nu )}{(1-2\nu )(1+\nu )}}

c12=Eν(1−2ν)(1+ν){\displaystyle c_{12}={\frac {E\nu }{(1-2\nu )(1+\nu )}}}

c_{12}={\frac {E\nu }{(1-2\nu )(1+\nu )}}

Подставляя, получаем следующее:

Y[iso]=E1−ν{\displaystyle Y[\mathrm {iso} ]={\frac {E}{1-\nu }}}

Y[\mathrm {iso} ]={\frac {E}{1-\nu }}

Для большинства металлов левая часть этого уравнения

2c44−c11+c12{\displaystyle 2c_{44}-c_{11}+c_{12}}

2c_{44}-c_{11}+c_{12}

положительна, так что упругая энергия будет минимальной для тех направлений, которые минимизируют член: l2m2 + m2n2 + l2n2. При осмотре видно, что они равны <100>. Для этого случая:

Y[100]=c11+c12−2c122c11{\displaystyle Y[\mathrm {100} ]=c_{11}+c_{12}-2{\frac {c_{12}^{2}}{c_{11}}}}

Y[\mathrm {100} ]=c_{11}+c_{12}-2{\frac {c_{12}^{2}}{c_{11}}}

то же самое, что и для изотропного материала. По крайней мере один металл (молибден) имеет анизотропию противоположного знака. В этом случае направления для минимума W_E будут теми, которые максимизируют функцию направляющего косинуса. Эти направления <111>, и

Y[111]=6c44(c11+2c12)c11+2c12+4c44{\displaystyle Y[\mathrm {111} ]={\frac {6c_{44}(c_{11}+2c_{12})}{c_{11}+2c_{12}+4c_{44}}}}

Y[\mathrm {111} ]={\frac {6c_{44}(c_{11}+2c_{12})}{c_{11}+2c_{12}+4c_{44}}}

Как мы увидим, скорость роста модуляций будет максимальной в направлениях, минимизирующих Y. Эти направления, следовательно, определяют морфологию и структурные характеристики распада в кубических твердых растворах.

Переписывая уравнение диффузии и включая член, полученный для упругой энергии, получаем следующее:

Ft=A∫f(c)+ηY(c−c0)2+K(dcdx)2 dx{\displaystyle F_{t}=A\int f(c)+\eta Y(c-c_{0})^{2}+K\left({\frac {dc}{dx}}\right)^{2}~dx}

F_{t}=A\int f(c)+\eta Y(c-c_{0})^{2}+K\left({\frac {dc}{dx}}\right)^{2}~dx

или

∂c∂t=MNν([f″+2ηY]d2cdx2−2Kd4cdx4){\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}={\frac {M}{N_{\nu }}}\left([f»+2\eta Y]{\frac {d^{2}c}{dx^{2}}}-2K{\frac {d^{4}c}{dx^{4}}}\right)}

{\frac {\partial c}{\partial t}}={\frac {M}{N_{\nu }}}\left([f''+2\eta Y]{\frac {d^{2}c}{dx^{2}}}-2K{\frac {d^{4}c}{dx^{4}}}\right)

что можно альтернативно записать через коэффициент диффузии D как:

∂c∂t=[1+2ηYf″]d2cdx2−2KFf″d4cdx4{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\left[1+{\frac {2\eta Y}{f»}}\right]{\frac {d^{2}c}{dx^{2}}}-{\frac {2KF}{f»}}{\frac {d^{4}c}{dx^{4}}}}

{\frac {\partial c}{\partial t}}=\left[1+{\frac {2\eta Y}{f''}}\right]{\frac {d^{2}c}{dx^{2}}}-{\frac {2KF}{f''}}{\frac {d^{4}c}{dx^{4}}}

Самый простой способ решения этого уравнения — использование метода преобразований Фурье.

Преобразование Фурье

Мотивацией для преобразования Фурье послужило изучение ряда Фурье. При изучении ряда Фурье сложные периодические функции записываются как сумма простых волн, математически представленных синусами и косинусами. Благодаря свойствам синуса и косинуса можно восстановить количество каждой волны в сумме интегралом. Во многих случаях желательно использовать формулу Эйлера, которая гласит, что e2πiθ = cos 2πθ + i sin 2πθ< /i>, чтобы записать ряды Фурье в терминах основных волн e2πiθ, с явным преимуществом упрощения многих громоздких формул.

Переход от синусов и косинусов к комплексным экспонентам требует, чтобы коэффициенты Фурье были комплексными. Обычная интерпретация этого комплексного числа заключается в том, что оно дает как амплитуду (или размер) волны, присутствующей в функции, так и фазу (или начальный угол) волны. Этот переход также вводит необходимость в отрицательных «частотах». (Например, если бы θ измерялось в секундах, то волны e2πiθ и e−2πiθ обе завершали бы один цикл в секунду — но они представляют разные частоты в преобразовании Фурье. Следовательно, частота больше не измеряет количество циклов в единицу времени, но тесно связана с ними.)

Если A(β) — амплитуда компонента Фурье с длиной волны λ и волновым числом β = 2π/λ, то пространственное изменение состава можно выразить интегралом Фурье:

c−c0=∫A(β)exp⁡(iβx) dβ{\displaystyle c-c_{0}=\int A(\beta )\exp(i\beta x)~d\beta }

c-c_{0}=\int A(\beta )\exp(i\beta x)~d\beta

в котором коэффициенты определяются обратной зависимостью:

A(β)=12π∫(c−c0)exp⁡(−iβx) dx{\displaystyle A(\beta )={\frac {1}{2\pi }}\int (c-c_{0})\exp(-i\beta x)~dx}

A(\beta )={\frac {1}{2\pi }}\int (c-c_{0})\exp(-i\beta x)~dx

Подставляя, получаем при приравнивании коэффициентов:

dA(β)dt=−MNν[f″+2η2Y+2Yβ2]β2A(β){\displaystyle {\frac {dA(\beta )}{dt}}=-{\frac {M}{N_{\nu }}}[f»+2\eta ^{2}Y+2Y\beta ^{2}]\beta ^{2}A(\beta )}

{\frac {dA(\beta )}{dt}}=-{\frac {M}{N_{\nu }}}[f''+2\eta ^{2}Y+2Y\beta ^{2}]\beta ^{2}A(\beta )

Это обыкновенное дифференциальное уравнение, имеющее решение:

A(β,t)=A(β,0)exp⁡[R(β)t]{\displaystyle A(\beta ,t)=A(\beta ,0)\exp[R(\beta )t]}

A(\beta ,t)=A(\beta ,0)\exp[R(\beta )t]

где A(β) — начальная амплитуда компонента Фурье волны с волновым числом β, а R(β) определяется как:

R(β)=−MNν(f″+2ηY+2kβ2)β2{\displaystyle R(\beta )=-{\frac {M}{N_{\nu }}}(f»+2\eta Y+2k\beta ^{2})\beta ^{2}}

R(\beta )=-{\frac {M}{N_{\nu }}}(f''+2\eta Y+2k\beta ^{2})\beta ^{2}

или, выраженный через коэффициент диффузии D:

R(β)=−D~(1+2η2Yf″+2Kf″β2)β2{\displaystyle R(\beta )=-{\tilde {D}}\left(1+{\frac {2\eta ^{2}Y}{f»}}+{\frac {2K}{f»}}\beta ^{2}\right)\beta ^{2}}

R(\beta )=-{\tilde {D}}\left(1+{\frac {2\eta ^{2}Y}{f''}}+{\frac {2K}{f''}}\beta ^{2}\right)\beta ^{2}

Аналогичным образом новое уравнение диффузии:

∂c∂t=M∂2f∂c2∇2c−2MK∇4c){\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=M{\frac {\partial ^{2}f}{\partial c^{2}}}\nabla ^{2}c-2MK\nabla ^{4}c)}

{\frac {\partial c}{\partial t}}=M{\frac {\partial ^{2}f}{\partial c^{2}}}\nabla ^{2}c-2MK\nabla ^{4}c)

имеет простое синусоидальное решение, заданное формулой:

c−c0=exp[Rβ¯t]cosβ⋅r{\displaystyle c-c_{0}=exp[R{\bar {\beta }}t]cos\beta \cdot r}

c-c_{0}=exp[R{\bar {\beta }}t]cos\beta \cdot r

Для анизотропных твердых тел упругий член зависит от направления таким образом, который можно предсказать с помощью упругих констант и того, как параметры решетки изменяются в зависимости от состава. Для кубического случая Y является минимумом для направлений (100) или (111), в зависимости только от знака упругой анизотропии.

Таким образом, описывая любую флуктуацию состава в терминах ее компонентов Фурье, Кан показал, что решение будет неустойчивым относительно синусоидальных флуктуаций критической длины волны. Связывая энергию упругой деформации с амплитудами таких флуктуаций, он формализовал зависимость роста таких флуктуаций от длины волны или частоты и, таким образом, ввел принцип селективного усиления компонентов Фурье определенных длин волн. Обработка дает ожидаемый средний размер частиц или длину волны наиболее быстро растущей флуктуации.

Ограничения этой теории, по-видимому, возникают из этого предположения и отсутствия выражения, сформулированного для учета необратимых процессов во время разделения фаз, которые могут быть связаны с внутренним трением и производством энтропии. На практике фрикционное затухание обычно присутствует, и часть энергии преобразуется в тепловую энергию. Таким образом, амплитуда и интенсивность одномерной волны уменьшаются с расстоянием от источника, а для трехмерной волны уменьшение будет больше.

Динамика в k-пространстве

В спинодальной области фазовой диаграммы свободную энергию можно понизить, позволив компонентам разделиться, тем самым увеличив относительную концентрацию компонента материала в определенной области материала. Концентрация будет продолжать увеличиваться до тех пор, пока материал не достигнет стабильной части фазовой диаграммы. Очень большие области материала будут медленно менять свою концентрацию из-за количества материала, которое необходимо переместить. Очень маленькие области будут сжиматься из-за энергетических затрат на поддержание интерфейса между двумя разнородными компонентными материалами.

Для инициирования однородного гашения резко и глобально изменяется управляющий параметр, такой как температура.

Длину спинодали и время спинодали можно использовать для обезразмеривания уравнения движения, что приводит к универсальному масштабированию для спинодального распада.

Спинодальные архитектурные материалы

Спинодальное фазовое разложение использовалось для создания спроектированных материалов путем интерпретации одной фазы как твердого тела, а другой фазы как пустоты. Эти материалы спинодальной конструкции обладают интересными механическими свойствами, такими как высокое поглощение энергии, нечувствительность к дефектам, превосходная механическая устойчивость и высокое соотношение жесткости к весу. Кроме того, управляя фазовым разделением, т. е. контролируя пропорцию материалов, и/или устанавливая предпочтительные направления разложения, можно контролировать плотность, а предпочтительные направления эффективно настраивают прочность, вес и анизотропию получаемого архитектурного материала. Еще одним интересным свойством спинодальных материалов является способность плавно переходить между различными классами, ориентациями и плотностями, что позволяет эффективно изготавливать структуры из нескольких материалов.