
Случайная последовательная адсорбция (RSA): как это работает и где применяется
Случайная последовательная адсорбция (RSA) — это процесс, при котором частицы случайным образом добавляются в систему, и если они не перекрывают уже существующие частицы, то остаются на своих местах до конца процесса. Этот метод используется в компьютерном моделировании, математическом анализе и экспериментах. Впервые RSA был изучен в одномерных моделях, таких как присоединение боковых групп в полимерной цепи Полом Флори и задача о парковке автомобиля Альфредом Реньи. Позже Бенджамин Видом внес значительный вклад в развитие этой области. В двух и более измерениях RSA применялся для изучения различных систем, включая диски, квадраты, прямоугольники и другие формы.
Одним из ключевых результатов RSA является определение максимального покрытия поверхности, которое называется насыщенным покрытием или фракцией упаковки. Этот показатель показывает, насколько плотно можно заполнить поверхность частицами без их перекрытия.
Как работает RSA?
Процесс RSA можно описать на примере осаждения сферических частиц. Представьте, что на поверхность случайным образом добавляются круглые диски. Если диск не перекрывает уже размещенные диски, он остается на месте. Если же перекрытие происходит, попытка осаждения отклоняется. В начале процесса поверхность заполняется быстро, но по мере приближения к насыщению скорость заполнения замедляется. Для круглых дисков насыщение достигается при покрытии около 54,7%.
Интересно, что если использовать частицы разного размера, можно достичь более высокого покрытия. Например, мелкие частицы могут заполнять промежутки между крупными. Однако если использовать стержнеобразные частицы, покрытие может быть значительно меньше, так как несколько таких частиц могут блокировать большую часть поверхности.
Одномерные модели и задача о парковке
В одномерной задаче о парковке автомобиля Реньи показал, что максимальное покрытие составляет 0,7475979202534. Это значение известно как постоянная парковки Реньи.
Позже Илон Паласти выдвинул гипотезу, что покрытие для d-мерных выровненных квадратов, кубов и гиперкубов равно произведению постоянной Реньи на d. Эта гипотеза вызвала множество споров и исследований. Компьютерное моделирование в двух и трех измерениях показало, что это приближение достаточно точное, но не идеальное. Точность гипотезы в более высоких измерениях до сих пор неизвестна.
Покрытие для k-меров на одномерной решетке
Для k-меров на одномерной решетке доля покрытых вершин выражается сложной формулой, которая включает экспоненциальные функции и интегралы. При увеличении k результат стремится к постоянной Реньи. Для k = 2 получается результат Флори, который равен 1 — e^(-2).
Асимптотическое поведение
Асимптотическое поведение покрытия для k-меров на одномерной решетке описывается формулой θ_k ~ θ_∞ + 0,2162/k + … Это означает, что с увеличением k покрытие приближается к постоянной Реньи.
Применение RSA в промышленности и науке
RSA активно используется в различных областях, включая материалов