Скорость энерговыделения (механика разрушения)

В механике разрушения скорость выделения энергии, ${\displaystyle G}$ — это скорость, с которой энергия преобразуется при разрушении материала. Математически скорость выделения энергии выражается как уменьшение общей потенциальной энергии при увеличении площади поверхности трещины и, таким образом, выражается в единицах энергии на единицу площади. Могут быть построены различные энергетические балансы, связывающие энергию, выделяющуюся при разрушении, с энергией образующейся новой поверхности, а также с другими диссипативными процессами, такими как пластичность и тепловыделение. Скорость выделения энергии занимает центральное место в области механики разрушения при решении задач и оценке свойств материала, связанных с разрушением и усталостью.

Скорость выделения энергии ${\displaystyle G}$ определяется как мгновенная потеря полной потенциальной энергии ${\displaystyle \Pi }$ на единицу площади роста трещины ${\displaystyle s}$,

где полная потенциальная энергия выражается через общую энергию деформации ${\displaystyle \Omega }$, поверхностное сцепление ${\displaystyle \mathbf {t} }$, смещение ${\displaystyle \mathbf {u} }$ и объемная сила ${\displaystyle \mathbf {b} }$ на

Первый интеграл находится по поверхности ${\displaystyle S_{t}}$ материала, а второй – по его объему ${\displaystyle V}$.

На рисунке справа показан график зависимости внешней силы ${\displaystyle P}$ от смещения точки нагрузки ${\displaystyle q}$< /span>, где площадь под кривой представляет собой энергию деформации. Белая область между кривой и осью ${\displaystyle P}$ называется дополнительной энергией. В случае линейно-упругого материала ${\displaystyle P(q)}$ представляет собой прямую линию, а энергия деформации равна дополнительной энергии.

В случае заданного смещения энергия деформации может быть выражена через заданное перемещение и поверхность трещины ${\displaystyle \Omega (q,s)}$, а также изменение этой энергии деформации влияет только изменение площади поверхности излома: ${\displaystyle \delta \Omega =(\partial \Omega /\partial s)\delta s}$. Соответственно, скорость энерговыделения в этом случае выражается как

Здесь можно точно назвать ${\displaystyle G}$ скоростью выделения энергии деформации.

Если вместо смещения задана нагрузка, энергию деформации необходимо изменить как ${\displaystyle \Omega (q(P,s),s)}$. Затем скорость выделения энергии рассчитывается как

Если материал линейно-упругий, то ${\displaystyle \Omega =Pq/2}$ и вместо этого можно написать

В случае двумерных задач изменение площади роста трещины представляет собой просто изменение длины трещины, умноженной на толщину образца. А именно, ${\displaystyle \partial s=B\partial a}$. Следовательно, уравнение для вычисления ${\displaystyle G}$ можно изменить для двумерного случая:

Для получения дополнительной информации можно обратиться к примерам вычислений, приведенным в следующем разделе. Иногда энергия деформации записывается с использованием ${\displaystyle U=\Omega /B}$, энергии на единицу толщины. Это дает

Скорость выделения энергии напрямую связана с коэффициентом интенсивности напряжений, связанным с данным двумерным режимом нагружения (режим I, режим II или режим III), когда трещина растет прямо вперед. Это применимо к трещинам под действием плоского напряжения, плоской деформации и антиплоского сдвига.

Для режима I скорость выделения энергии ${\displaystyle G}$ связана с коэффициентом интенсивности стресса режима I ${\displaystyle K_{I}}$ для линейно-упругого материала по

где ${\displaystyle E’}$ связан с модулем Юнга ${\displaystyle E}$ и коэффициентом Пуассона ${\displaystyle \nu }$ в зависимости от того, находится ли материал под плоским напряжением или плоской деформацией:

Для режима II скорость выделения энергии аналогично записывается как

Для режима III (антиплоский сдвиг) скорость выделения энергии теперь является функцией модуля сдвига ${\displaystyle \mu }$,

Для произвольной комбинации всех режимов нагружения эти линейно-упругие решения можно совместить как

Рост трещины начинается, когда скорость выделения энергии превышает критическое значение ${\displaystyle G_{c}}$, которое является свойством материала,

При нагрузке в режиме I критическая скорость выделения энергии ${\displaystyle G_{c}}$ затем связана с вязкостью разрушения в режиме I < , еще одно материальное свойство, созданное

Существует множество методов расчета скорости энерговыделения с учетом свойств материала, геометрии образца и условий нагрузки. Некоторые из них зависят от соблюдения определенных критериев, например, от того, что материал полностью эластичен или даже линейно-эластичен, и/или что трещина должна расти прямо вперед. Единственный представленный метод, работающий произвольно, — это использование полной потенциальной энергии. Если оба метода применимы, они должны давать одинаковые скорости выделения энергии.

Единственный метод расчета ${\displaystyle G}$ для произвольных условий — это вычисление полной потенциальной энергии и дифференцирование ее по площади поверхности трещины. Обычно это делается:

все с точки зрения площади поверхности трещины.

Если материал линейно упругий, расчет скорости его энерговыделения может быть значительно упрощен. В этом случае кривая зависимости нагрузки от смещения точки нагрузки является линейной с положительным наклоном, а смещение на единицу приложенной силы определяется как податливость, ${\displaystyle C}$

Соответствующая энергия деформации ${\displaystyle \Omega }$ (площадь под кривой) равна

Используя метод податливости, можно показать, что скорость энерговыделения для обоих случаев заданной нагрузки и перемещения оказывается равной

В случае заданного смещения, удерживая длину трещины фиксированной, скорость высвобождения энергии можно вычислить по формуле

в то время как в случае предписанной нагрузки

Как можно видеть, в обоих случаях скорость выделения энергии ${\displaystyle G}$ умножает изменение поверхности ${\displaystyle ds}$ возвращает площадь между кривыми, которая указывает энергию, рассеиваемую на новой площади поверхности, как показано на рисунке справа.

Поскольку скорость энерговыделения определяется как отрицательная производная полной потенциальной энергии по отношению к росту поверхности трещины, скорость энерговыделения можно записать как разность между потенциальной энергией до и после роста трещины. После некоторых тщательных выводов это приводит к интегралу закрытия трещины

где ${\displaystyle \Delta s}$ — новая площадь поверхности разрушения, ${\displaystyle t_{i}^{0}}$ — компоненты тяга, возникающая на верхней поверхности трещины по мере роста трещины, ${\displaystyle \Delta u_{i}^{+}-\Delta u_{i}^{-}}$ — компоненты смещения раскрытия трещины (разница в приращениях смещения между вершиной и поверхности нижней трещины), а интеграл рассчитывается по поверхности материала ${\displaystyle S}$.

Интеграл закрытия трещины справедлив только для упругих материалов, но справедлив и для трещин, растущих в любом направлении. Тем не менее, для двумерной трещины, которая действительно растет прямо вперед, интеграл закрытия трещины упрощается до

где ${\displaystyle \Delta a}$ — новая длина трещины, а компоненты смещения записаны как функция полярных координат ${\displaystyle r=\Delta a-x_{1}}$ и ${\displaystyle \theta =\pi }$.

В определенных ситуациях скорость выделения энергии ${\displaystyle G}$ можно рассчитать с помощью
J-интеграл, т.е. ${\displaystyle G=J}$, используя

где ${\displaystyle W}$ — плотность энергии упругой деформации, ${\displaystyle n_{1}}$ — это ${\displaystyle x_{1}}$компонент единичного вектора, нормальный к ${\displaystyle \Gamma }$, кривая, используемая для линии интеграл, ${\displaystyle t_{i}}$ — компоненты вектора тяги ${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} }$, где < span>${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ — тензор напряжений, а ${\displaystyle u_{i}}$ — компоненты вектора смещения .

Этот интеграл равен нулю для простого замкнутого пути и не зависит от пути, что позволяет использовать любой простой путь, начинающийся и заканчивающийся на берегах трещины, для вычисления ${\displaystyle J}$.
Чтобы приравнять скорость энерговыделения к J-интегралу, ${\displaystyle G=J}$, должны быть выполнены следующие условия:

J-интеграл можно вычислить с нарушением этих условий, но тогда ${\displaystyle G\neq J}$. Когда они не нарушаются, можно связать скорость энерговыделения и J-интеграл с модулями упругости и коэффициентами интенсивности напряжений, используя

Существует несколько методов расчета ${\displaystyle G}$ с использованием конечных элементов. Хотя прямой расчет J-интеграла возможен (с использованием деформаций и напряжений, полученных методом FEA), существуют приближенные подходы для некоторых типов роста трещин, которые обеспечивают достаточную точность при простых расчетах. В этом разделе будут подробно рассмотрены некоторые относительно простые методы анализа трещин с использованием численного моделирования.

Если трещина растет прямолинейно, скорость выделения энергии можно разложить как сумму трех слагаемых ${\displaystyle G_{i}}$, связанных с энергией в каждых трех режимах. В результате метод Nodal Release (NR) можно использовать для определения ${\displaystyle G_{i}}$ на основе результатов FEA. Скорость энерговыделения рассчитывается в узлах сетки конечных элементов для трещины начальной длины и продленной на небольшое расстояние ${\displaystyle \Delta a}$. Сначала мы вычисляем изменение смещения в интересующем узле ${\displaystyle \Delta {\vec {u}}={\vec {u}}^{(t+1)}-{\vec {u}}^{(t)}}$(до и после освобождения узла вершины трещины). Во-вторых, мы отслеживаем узловую силу ${\displaystyle {\vec {F}}}$, выдаваемую FEA. Наконец, мы можем найти каждый компонент ${\displaystyle G}$, используя следующие формулы:

$${\displaystyle G_{1}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{2}{\frac {\Delta u_{2}}{2}}}$$$${\displaystyle G_{2}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{1}{\frac {\Delta u_{1}}{2}}}$$$${\displaystyle G_{3}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{3}{\frac {\Delta u_{3}}{2}}}$$Где ${\displaystyle \Delta a}$ — ширина элемента, ограничивающего вершину трещины. Точность метода в значительной степени зависит от измельчения сетки, как потому, что от него зависят смещение и силы, так и потому, что ${\displaystyle G=\lim _{\Delta a\to 0}G^{\text{NR}}}$. Обратите внимание, что приведенные выше уравнения выведены с использованием интеграла закрытия трещины.

Если скорость энерговыделения превысит критическое значение, трещина будет расти. В этом случае выполняется новое моделирование FEA (для следующего временного шага), при котором узел на вершине трещины освобождается. Для ограниченной подложки мы можем просто прекратить применять фиксированные граничные условия Дирихле в узле вершины трещины на предыдущем временном шаге (т. е. смещения больше не ограничиваются). Для симметричной трещины нам нужно будет обновить геометрию домена, увеличив раскрытие трещины (и, следовательно, создать новую сетку).

Подобно методу узлового освобождения, модифицированный интеграл закрытия трещин (MCCI) представляет собой метод расчета скорости выделения энергии с использованием узловых смещений FEA ${\displaystyle (u_{i}^{j})}$ и сил < span>${\displaystyle (F_{i}^{j})}$. Где ${\displaystyle i}$ представляет направление, соответствующее декартовым базисным векторам с началом в вершине трещины, а ${\displaystyle j}$ представляет узловой индекс. MCCI более эффективен в вычислительном отношении, чем метод узлового освобождения, поскольку он требует только одного анализа для каждого приращения роста трещины.

Необходимым условием метода MCCI является равномерная длина элемента ${\displaystyle (\Delta a)}$ вдоль поверхности трещины в ${\displaystyle x_{1}-}$направление. Кроме того, этот метод требует достаточной дискретизации, чтобы по длине одного элемента поля напряжений были самоподобными. Это означает, что ${\displaystyle K(a+\Delta a)\approx K(a)}$по мере распространения трещины. Ниже приведены примеры метода MCCI с двумя типами общих конечных элементов.

Четырехузловые квадратные линейные элементы, показанные на рисунке 2, имеют расстояние между узлами ${\displaystyle j}$ и ${\displaystyle j+1}$, равное ${\displaystyle \Delta a.}$ Рассмотрим трещину с вершиной, расположенной в узле ${\displaystyle j.}$. Аналогично методу узлового освобождения, если бы трещина распространялась на длину одного элемента вдоль линии симметрии (параллельно оси ${\displaystyle x_{1}}$), смещение раскрытия трещины было бы смещением в предыдущей вершине трещины, т. е. ${\displaystyle {\boldsymbol {u^{j}}}}$, а сила в новой вершине трещины ${\displaystyle (j+1)}$ была бы равна ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{j+1}.}$ Поскольку предполагается, что рост трещины является самоподобным, смещение в узле ${\displaystyle j}$ после распространения трещины равно смещению в узле ${\displaystyle j-1}$ до распространения трещины. Эту же концепцию можно применить к силам в узле ${\displaystyle j+1}$ и ${\displaystyle j.}$ Используя тот же метод, показанный в разделе об узловом освобождении, мы получаем следующие уравнения для скорости высвобождения энергии:

${\displaystyle G_{1}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{2}^{j}{\Delta u_{2}^{j-1}}}$

${\displaystyle G_{2}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{1}^{j}{\Delta u_{1}^{j-1}}}$

${\displaystyle G_{3}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{3}^{j}{\Delta u_{3}^{j-1}}}$

Где ${\displaystyle \Delta u_{i}^{j-1}=u_{i}^{(+)j-1}-u_{i}^{(-)j-1}}$(смещение выше и ниже поверхности трещины соответственно). Поскольку у нас есть линия симметрии, параллельная трещине, мы можем предположить, что ${\displaystyle u_{i}^{(+)j-1}=-u_{i}^{(-)j-1}.}$

Таким образом, ${\displaystyle \Delta u_{i}^{j-1}=2u_{i}^{(+)j-1}.}$

Прямоугольные элементы с 8 узлами, показанные на рисунке 3, имеют квадратичные базисные функции. Процесс расчета G такой же, как и для 4-узловых элементов, за исключением того, что ${\displaystyle \Delta a}$ (рост трещины по одному элементу) теперь представляет собой расстояние от node от ${\displaystyle j}$ до ${\displaystyle j+2.}$ Еще раз, делая предположение о самоподобии При прямолинейном росте трещины скорость энерговыделения можно рассчитать по следующим уравнениям:

${\displaystyle G_{1}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{2}^{j}{\Delta u_{2}^{j-2}}+F_{2}^{j+1}{\Delta u_{2}^{j-1}}\right)}$

${\displaystyle G_{2}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{1}^{j}{\Delta u_{1}^{j-2}}+F_{1}^{j+1}{\Delta u_{1}^{j-1}}\right)}$

${\displaystyle G_{3}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{3}^{j}{\Delta u_{3}^{j-2}}+F_{3}^{j+1}{\Delta u_{3}^{j-1}}\right)}$

Как и в случае с методом узлового освобождения, точность MCCI сильно зависит от уровня дискретизации вдоль вершины трещины, т. е. ${\displaystyle G=\lim _{\Delta a\to 0}G^{\text{MCCI}}.}$ Точность также зависит от выбора элемента. Сетка из 8-узловых квадратных элементов может давать более точные результаты, чем сетка из 4-узловых линейных элементов с тем же количеством степеней свободы в сетке.

J-интеграл может быть рассчитан непосредственно с использованием сетки конечных элементов и функций формы. Мы рассматриваем контур области, как показано на рисунке 4, и выбираем произвольную гладкую функцию ${\displaystyle {\tilde {q}}(x_{1},x_{2})=\sum _{i}N_{i}(x_{1},x_{2}){\tilde {q}}_{i}}$ такую, что ${\displaystyle {\tilde {q}}=1}$ на ${\displaystyle \Gamma }$ и ${\displaystyle {\tilde {q}}=0}$ на ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$.

Для линейных упругих трещин, растущих прямо вперед, ${\displaystyle G=J}$. Затем скорость выделения энергии можно рассчитать по площади, ограниченной контуром, используя обновленную формулировку:
${\displaystyle J=\int _{\mathcal {A}}(\sigma _{ij}u_{i,1}{\tilde {q}}_{,j}-W{\tilde {q}}_{,1})d{\mathcal {A}}}$

Приведенную выше формулу можно применить к любой кольцевой области, окружающей вершину трещины (в частности, можно использовать набор соседних элементов). Этот метод очень точен даже при наличии крупной сетки вокруг вершины трещины (можно выбрать область интегрирования, расположенную далеко, где напряжения и перемещения менее чувствительны к измельчению сетки).

Упомянутые выше методы расчета скорости энерговыделения асимптотически приближаются к реальному решению с повышенной дискретностью, но не могут полностью уловить сингулярность вершины трещины. Более точное моделирование можно выполнить, используя элементы четверти точки вокруг вершины трещины. Эти элементы имеют встроенную особенность, которая более точно создает поля напряжений вокруг вершины трещины. Преимущество метода четверти точки заключается в том, что он позволяет создавать более грубые сетки конечных элементов и значительно снижает вычислительные затраты. Более того, эти элементы получены в результате небольших модификаций обычных конечных элементов без необходимости использования специальных вычислительных программ для анализа. Для целей этого раздела будут рассмотрены упругие материалы, хотя этот метод можно распространить на механику упругопластического разрушения. Предполагая идеальную эластичность, поля напряжений будут испытывать сингулярность вершины трещины ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$.

Квадратичный элемент из 8 узлов описан на рисунке 5 в обоих родительских пространствах с локальными координатами ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta ,}$<. /span> и отображаемым элементом в физическом/глобальном пространстве с помощью ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y.}$< /span> Родительский элемент отображается из локального пространства в физическое пространство с помощью функций формы ${\displaystyle N_{i}(\xi ,\eta )}$ и координат степени свободы < span>${\displaystyle (x_{i},y_{i}).}$ Вершина трещины расположена по адресу ${\displaystyle \xi =-1,\eta =-1}$ или ${\displaystyle x=0,y=0.}$

${\displaystyle x(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )x_{i}}$

${\displaystyle y(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )y_{i}}$

Аналогичным образом также можно сопоставить смещения (определенные как ${\displaystyle u\equiv u_{1},v\equiv u_{2}}$).

${\displaystyle u(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )u_{i}}$

${\displaystyle v(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )v_{i}}$

Свойством функций формы в методе конечных элементов является компактная поддержка, в частности свойство дельты Кронекера (т. е. ${\displaystyle N_{i}=1}$ в узле << MATH1>> и ноль во всех остальных узлах). Это приводит к следующим функциям формы для 8-узловых квадратичных элементов:

${\displaystyle N_{1}={\frac {-(\xi -1)(\eta -1)(1+\eta +\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{2}={\frac {(\xi +1)(\eta -1)(1+\eta -\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{3}={\frac {(\xi +1)(\eta +1)(-1+\eta +\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{4}={\frac {-(\xi -1)(\eta +1)(-1+\eta -\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{5}={\frac {(1-\xi ^{2})(1-\eta )}{2}}}$

${\displaystyle N_{6}={\frac {(1+\xi )(1-\eta ^{2})}{2}}}$

${\displaystyle N_{7}={\frac {(1-\xi ^{2})(1+\eta )}{2}}}$

${\displaystyle N_{8}={\frac {(1-\xi )(1-\eta ^{2})}{2}}}$

При рассмотрении линии перед трещиной, которая совпадает с осью ${\displaystyle x}$— (т. е. ${\displaystyle N_{i}(\xi ,\eta =-1)}$ ) все базисные функции равны нулю, за исключением ${\displaystyle N_{1,2,5}.}$

${\displaystyle N_{1}(\xi ,-1)=-{\frac {\xi (1-\xi )}{2}}}$

${\displaystyle N_{2}(\xi ,-1)={\frac {\xi (1+\xi )}{2}}}$

${\displaystyle N_{5}(\xi ,-1)=(1-\xi ^{2})}$

Для расчета нормальной деформации используется цепное правило для получения производной смещения по ${\displaystyle x.}$

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {\partial u}{\partial x}}=\sum _{i=1,2,5}{\frac {\partial N_{i}}{\partial \xi }}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}u_{i}}$

Если узлы расположены на прямоугольном элементе равномерно, то деформация не будет содержать особенности. Переместив положение узлов 5 и 8 на четверть длины ${\displaystyle ({\tfrac {L}{4}})}$ элемента ближе к вершине трещины, как показано на рисунке 5, отображение из < span>${\displaystyle \xi \rightarrow x}$ становится:

${\displaystyle x(\xi )={\frac {\xi (1+\xi )}{2}}L+(1-\xi ^{2}){\frac {L}{4}}}$

Решение для ${\displaystyle \xi }$ и получение производной дает следующие результаты:

${\displaystyle \xi (x)=-1+2{\sqrt {\frac {x}{L}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \xi }{\partial x}}={\frac {1}{\sqrt {xL}}}}$

Подставляя этот результат в уравнение деформации, получаем окончательный результат:

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {4}{L}}\left({\frac {u_{2}}{2}}-u_{5}\right)+{\frac {1}{\sqrt {xL}}}\left(2u_{5}-{\frac {u_{2}}{5}}\right)}$

Перемещение средних узлов в четверть позиции приводит к правильной ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$ сингулярности вершины трещины.

Метод прямоугольных элементов не позволяет легко создавать сетку отдельных элементов вокруг вершины трещины. Это препятствует возможности улавливать угловую зависимость полей напряжений, что имеет решающее значение для определения пути трещины. Кроме того, за исключением краев элемента, сингулярность ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$ существует в очень маленькой области вблизи вершины трещины. На рисунке 6 показан другой метод четверти точки для моделирования этой особенности. Прямоугольный элемент с 8 узлами можно преобразовать в треугольник. Это делается путем свертывания узлов на линии ${\displaystyle \xi =-1}$ до положения среднего узла и смещения средних узлов на <<. MATH2>> до четверти точки. Свернутый прямоугольник может легче окружить вершину трещины, но требует, чтобы края элемента были прямыми, иначе точность расчета коэффициента интенсивности напряжений будет снижена.

Лучшим кандидатом для метода четверти точки является естественный треугольник, как показано на рисунке 7. Геометрия элемента позволяет легко окружить вершину трещины и упростить создание сетки. Следуя той же процедуре, описанной выше, поле перемещений и деформаций для треугольных элементов составляет:

${\displaystyle u=u_{3}+{\sqrt {\frac {x}{L}}}\left[4u_{6}-3u_{3}-u_{1}\right]+{\frac {x}{L}}\left[2u_{1}+2u_{3}-4u_{6}\right]}$

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {1}{\sqrt {xL}}}\left[-{\frac {u_{1}}{2}}-{\frac {3u_{3}}{2}}+2u_{6}\right]+{\frac {1}{L}}\left[2u_{1}+2u_{3}-4u_{6}\right]}$

Этот метод воспроизводит первые два члена решения Вильямса с постоянным и сингулярным членом.

Преимущество метода четверти точки состоит в том, что его можно легко обобщить на трехмерные модели. Это может значительно сократить объем вычислений по сравнению с другими трехмерными методами, но может привести к ошибкам, если кончик трещины распространяется с большой степенью кривизны.