Склерономный

Механическая система называется склерономной, если уравнения связей не содержат времени как явной переменной и уравнение связей может быть описано обобщенными координатами. Такие ограничения называются склерономными ограничениями. Противоположностью склерономному является реономный.

В трехмерном пространстве частица с массой ${\displaystyle m\,\!}$ и скоростью ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ имеет кинетическую энергию ${\displaystyle T\,\!}$

Скорость — это производная позиции ${\displaystyle r\,\!}$ по времени ${\displaystyle t\,\!}$. Используйте правило цепочки для нескольких переменных:

где ${\displaystyle q_{i}\,\!}$ — обобщенные координаты.

Поэтому,

Тщательно переставляя термины,

где ${\displaystyle T_{0}\,\!}$, ${\displaystyle T_{1}\,\!}$, ${\displaystyle T_{2}\,\!}$ — однородные функции степени 0, 1 и 2 по обобщенным скоростям соответственно. Если эта система склерономна, то положение не зависит явно от времени:

Поэтому только термин ${\displaystyle T_{2}\,\!}$ не исчезает:

Кинетическая энергия — однородная функция степени 2 по обобщенным скоростям.

Как показано справа, простой маятник представляет собой систему, состоящую из гири и нити. Веревка прикреплена верхним концом к стержню, а нижний конец — к грузу. Поскольку строка нерастяжима, ее длина является константой. Следовательно, эта система является склерономной; он подчиняется склерономическому ограничению

где ${\displaystyle (x,y)\,\!}$ — положение веса, а ${\displaystyle L\,\!}$ — длина нить.

Возьмем более сложный пример. Обратитесь к следующему рисунку справа. Предположим, что верхний конец струны прикреплен к точке поворота, совершая простое гармоническое движение.

где ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ — амплитуда, ${\displaystyle \omega \,\!}$ — угловая частота, а ${\displaystyle t\,\!}$ — время.

Хотя верхний конец строки не фиксирован, длина этой нерастяжимой строки по-прежнему остается постоянной. Расстояние между верхним концом и грузом должно оставаться прежним. Следовательно, эта система является реономной, поскольку она подчиняется ограничению, явно зависящему от времени.