Сани Чаплыгина — простой педагогический пример неголономной системы в механике, описанный Сергеем Чаплыгиным. Он состоит из корпуса, скользящего без трения по горизонтальной плоскости, с лезвием, ограничивающим его движение, так что нож скользит только в продольном направлении. Поскольку это ограничение является неголономным, теорема Лиувилля неприменима, и, хотя энергия сохраняется, движение является диссипативным в том смысле, что объем фазового пространства не сохраняется. Движение приводится к равновесию, при котором сани движутся без вращения, при этом острие ножа следует за центром масс.
Есть несколько способов увидеть, что система неголономная. Размерность фазового пространства равна 5, что нечетно. Ограничение на скорость не выводится из ограничения на координаты.
Движение системы можно охарактеризовать просто. Пусть v — скорость, положительные значения указывают на то, что острие ножа отстает. Пусть ω — угловая скорость. Тогда уравнения движения будут иметь вид
где a — расстояние между центром масс и точкой контакта, которой часто является передняя часть саней, I — момент инерции и m — масса. Решения представляют собой эллипсы в плоскости v–ω. Уравнения движения симметричны при обращении времени, но асимметричны при инверсии закрепленной в теле оси, совмещенной с острием ножа.
В геометрической механике сани Чаплыгина относятся к специальной евклидовой группе , поскольку учитываются положение и направление.
Аналогом саней Чаплыгина является торпеда. Теперь тело без трения скользит в пространстве, а не в плоскости. Система вынуждена скользить только в продольном направлении и не может поворачиваться вокруг направления движения, подобно тому, как торпеда движется в воде. Размерность фазового пространства равна 9, поскольку существует 6 положений и 6 скоростей в сочетании с 3 ограничениями. Эта система является естественным аналогом саней Чаплыгина, поскольку обитает в .
