Самостоятельно изгибающийся

Колонна может выгнуться из-за собственного веса без других прямых сил, действующих на нее, в режиме отказа, называемом самовыпучиванием. В обычных задачах выпучивания колонн собственный вес часто игнорируется, поскольку предполагается, что он мал по сравнению с приложенными осевыми нагрузками. Однако, когда это предположение недействительно, важно учитывать самовыпучивание.

Упругий выпучивание «тяжелой» колонны, т. е. выпучивание колонны под действием собственного веса, впервые исследовал Гринхилл в 1881 году. Он обнаружил, что свободно стоящая вертикальная колонна с плотностью ${\displaystyle \rho }$, Модуль Юнга ${\displaystyle E}$ и площадь поперечного сечения ${\displaystyle A}$, прогнется под собственным весом, если его высота превысит определенное критическое значение:

${\displaystyle l_{\text{max}}\approx \left(7.8373\,{\frac {EI}{\rho gA}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

где ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения, ${\displaystyle I}$ — второй момент площади поперечного сечения балки.

Один интересный пример использования уравнения был предложен Гринхиллом в его статье. Он оценил максимальную высоту сосны и обнаружил, что она не может вырасти выше 300 футов. Эта длина устанавливает максимальную высоту деревьев на Земле, если мы предположим, что деревья призматические, а ветви не учитываются.

Математическое выведение

Предположим, что однородный столбец зафиксирован в вертикальном направлении в своей самой низкой точке и поднят на высоту ${\displaystyle l}$, при которой вертикальное положение становится нестабильным и начинается изгиб. На единицу длины ${\displaystyle q}$ действует объемная сила ${\displaystyle q=\rho gA}$, где ${\displaystyle A}$ — площадь поперечного сечения колонны, ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения, а ${\displaystyle \rho }$ — его плотность массы.

Колонна слегка изогнута под собственным весом, поэтому кривая ${\displaystyle w(x)}$ описывает прогиб балки в ${\displaystyle y}$ направление в некоторой позиции ${\displaystyle x}$. Глядя на любую точку столбца, мы можем записать равновесие моментов:

${\displaystyle M=-\int _{0}^{x}q(y-w)\mathrm {d} x}$

где правая часть уравнения — момент веса БП относительно Р.

Согласно теории пучка Эйлера – Бернулли:

${\displaystyle M=-EI{\mathrm {d} ^{2}w \over \mathrm {d} x^{2}}}$

Где ${\displaystyle E}$ — модуль упругости Юнга вещества, ${\displaystyle I}$ — второй момент площади.

Следовательно, дифференциальное уравнение центральной линии BP имеет вид:${\displaystyle }$${\displaystyle }$

${\displaystyle EI{\mathrm {d} ^{2}w \over \mathrm {d} x^{2}}=q\int _{0}^{x}(y-w)\mathrm {d} x}$

Дифференцируя по x, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\mathrm {d} ^{3}w \over \mathrm {d} x^{3}}&=q\int _{0}^{x}\left(-{\mathrm {d} w \over \mathrm {d} x}\right)\mathrm {d} x\\&=-qx{\mathrm {d} w \over \mathrm {d} x}\end{aligned}}}$

Получаем, что основное уравнение представляет собой линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с переменным коэффициентом. Способ решения проблемы — использовать новые переменные ${\displaystyle n,z,k}$ и ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle k^{2}={4 \over 9}{q \over EI},\quad r^{2}=x^{3},\quad {\sqrt {x}}z={\mathrm {d} w \over \mathrm {d} x},\quad n^{2}={1 \over 3^{2}}}$

Тогда уравнение преобразуется в уравнение Бесселя

${\displaystyle r^{2}{\mathrm {d} ^{2}z \over \mathrm {d} r^{2}}+r{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} r}+\left(k^{2}r^{2}-n^{2}\right)z=0}$

Решение преобразованного уравнения: ${\displaystyle z=AJ_{\frac {1}{3}}(kr)+BJ_{-{\frac {1}{3}}}(kr)}$

Где ${\displaystyle J_{n}}$ — функция Бесселя первого рода. Тогда решение исходного уравнения:

${\displaystyle {\mathrm {d} w \over \mathrm {d} x}={\sqrt {x}}\left(AJ_{\frac {1}{3}}\left(kx^{\frac {3}{2}}\right)+BJ_{-{\frac {1}{3}},1}\left(kx^{\frac {3}{2}}\right)\right)}$

Теперь воспользуемся граничными условиями:

Из второго дополнения к закону о прочности получаем, что критическая длина, при которой вертикальная колонна прогнется под собственным весом, равна:

${\displaystyle l_{\text{max}}=\left({\frac {j_{{\frac {1}{3}},1}}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}=\left({\frac {9{j_{{\frac {1}{3}},1}}^{2}}{4}}{\frac {EI}{q}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Использование ${\displaystyle j_{{\frac {1}{3}},1}\approx 1.86635}$ , первый ноль функции Бесселя первого рода порядка ${\displaystyle -{\frac {1}{3}}}$, ${\displaystyle l_{\text{max}}}$ можно аппроксимировать следующим образом:

${\displaystyle l_{\text{max}}\approx \left(7.8373\,{\frac {EI}{\rho gA}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Ошибка Эйлера

Колонна под собственным весом рассматривалась Эйлером в трех известных работах (1778a, 1778b, 1778c). В своей первой работе Эйлер (1778a) пришел к выводу, что колонна, просто поддерживаемая собственным весом, никогда не потеряет своей устойчивости. Во второй своей работе на эту тему Эйлер (1778b) описал свой предыдущий результат как парадоксальный и подозрительный (см. Пановко и Губанова (1965); Николаи, (1955); Тодхантер и Пирсон (1866) по этой теме). В следующей, третьей в серии, работе Эйлер (1778c) обнаружил, что он совершил концептуальную ошибку, и вывод о «бесконечной нагрузке при изгибе» оказался неверным. К сожалению, однако, он совершил численную ошибку и вместо первого собственного значения вычислил второе. Правильные решения были получены Динником (1912), 132 года спустя, а также Виллерсом (1941), Энгельгардтом (1954) и Фрихом-Фаем (1966). Численное решение с произвольной точностью было дано Эйзенбергером (1991).

222 года спустя, после ошибки Эйлера в 1778 году, в 2000 году Элишаков вернулся к этой знаменитой задаче и впервые вывел замкнутые решения для задач самовыпучивания, прибегнув к полуобратному методу. В его монографии рассматриваются и многие другие проблемы.