Реакция на столкновение

В контексте классического механического моделирования и физических движков, используемых в видеоиграх, реакция на столкновение связана с моделями и алгоритмами для моделирования изменений в движении двух твердых тел после столкновения и других форм контакта.

Два твердых тела, находящихся в неограниченном движении, потенциально под действием сил, можно смоделировать путем решения их уравнений движения с использованием методов численного интегрирования. При столкновении кинетические свойства двух таких тел, кажется, претерпевают мгновенное изменение, обычно приводящее к тому, что тела отскакивают друг от друга, скользят или вступают в относительный статический контакт, в зависимости от упругости материалов и конфигурации столкновения. .

Происхождение явления отскока, или реакции, можно проследить до поведения реальных тел, которые, в отличие от своих идеально жестких идеализированных аналогов, испытывают незначительное сжатие при столкновении, за которым следует расширение, перед разделением. Фаза сжатия преобразует кинетическую энергию тел в потенциальную энергию и, в некоторой степени, в тепло. Фаза расширения преобразует потенциальную энергию обратно в кинетическую энергию.

Во время фаз сжатия и расширения двух сталкивающихся тел каждое тело генерирует реактивные силы на другое в точках контакта, так что сумма сил реакции одного тела равна по величине, но противоположна по направлению силам другого, как согласно ньютоновскому принципу действия и противодействия. Если пренебречь эффектами трения, то столкновение рассматривается как затрагивающее только ту составляющую скорости, которая направлена ​​вдоль нормали контакта, а тангенциальные составляющие остаются неизменными.

Степень относительной кинетической энергии, сохраняемой после столкновения, называемая восстановлением, зависит от упругости материалов тел. Коэффициент восстановления между двумя заданными материалами моделируется как отношение ${\displaystyle e\in [0..1]}$ относительной скорости точки контакта после столкновения вдоль нормали контакта, при этом относительно относительной скорости до столкновения той же точки вдоль той же нормали. Эти коэффициенты обычно определяются эмпирически для различных пар материалов, например, дерева и бетона или резины и дерева. Значения для ${\displaystyle e}$, близкие к нулю, указывают на неупругие столкновения, такие как падение куска мягкой глины на пол, тогда как значения, близкие к единице, представляют высокоэластичные столкновения, такие как резиновый мячик, отскакивающий от стены. Потери кинетической энергии происходят относительно одного тела по отношению к другому. Таким образом, общий импульс обоих тел относительно некоторой общей точки отсчета не меняется после столкновения, что соответствует принципу сохранения импульса.

Еще одним важным явлением контакта является трение между поверхностями, сила, которая препятствует относительному движению двух контактирующих поверхностей или тела в жидкости. В этом разделе мы обсуждаем трение между поверхностями двух тел, находящихся в относительном статическом контакте или скользящем контакте. В реальном мире трение возникает из-за несовершенной микроструктуры поверхностей, выступы которых сцепляются друг с другом, создавая реактивные силы, касательные к поверхностям.

Чтобы преодолеть трение между двумя телами, находящимися в статическом контакте, поверхности должны каким-то образом оторваться друг от друга. В движении степень сродства поверхности снижается, и, следовательно, тела, находящиеся в скользящем движении, имеют тенденцию оказывать меньшее сопротивление движению. Эти две категории трения называются соответственно статическим трением и динамическим трением.

Это сила, которая прикладывается к объекту другим объектом или человеком.
направление приложенной силы зависит от того, как приложена сила.

Это опорная сила, действующая на объект, находящийся в контакте с другим.
стабильный объект. Нормальную силу иногда называют силой давления, поскольку она
действие сжимает поверхности вместе. Нормальная сила всегда направлена ​​в сторону
объект и действует перпендикулярно приложенной силе.

Это сила, оказываемая поверхностью, когда объект движется по ней или прилагает усилия для движения по ней. Сила трения противодействует движению объекта. Трение возникает, когда две поверхности плотно прижимаются друг к другу, вызывая притягивающие межмолекулярные силы между молекулами двух разных поверхностей. Таким образом, трение зависит от
природы двух поверхностей и от степени, в которой они прижаты друг к другу.
Трение всегда действует параллельно поверхности, находящейся в контакте, и противоположно направлению движения. Силу трения можно рассчитать с помощью уравнения.

Сила ${\displaystyle \mathbf {f} (t)\in \mathbb {R} ^{3}}$, зависящая от времени ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, действующая на тело предполагаемая постоянная масса ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ для интервала времени ${\displaystyle \lbrack t_{0},t_{1}\rbrack }$ генерирует изменение импульс тела ${\displaystyle \mathbf {p} (t)=m\mathbf {v} (t)}$, где ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$ — результирующее изменение скорости. Таким образом, изменение импульса, называемое импульсом и обозначаемое ${\displaystyle \mathbf {j} \in \mathbb {R} ^{3}}$, вычисляется как

Для фиксированного импульса ${\displaystyle \mathbf {j} }$ уравнение предполагает, что ${\displaystyle t_{1}\rightarrow t_{0}\Rightarrow \left|\mathbf {f} \right|\rightarrow \infty }$, то есть меньший временной интервал должен быть компенсирован более сильной силой реакции для достижения того же импульса. При моделировании столкновения между идеализированными твердыми телами нецелесообразно моделировать фазы сжатия и расширения геометрии тела в течение интервала времени столкновения. Однако, предположив, что может быть найдена сила ${\displaystyle \mathbf {f} }$, равная ${\displaystyle 0}$ везде, кроме ${\displaystyle t_{0}}$, и такой, что предел

существует и равен ${\displaystyle \mathbf {j} }$, понятие мгновенных импульсов может быть введено для моделирования мгновенного изменения скорости после столкновения .

Эффект силы реакции ${\displaystyle \mathbf {f} _{r}(t)\in \mathbb {R} ^{3}}$ за интервал столкновения ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ может следовательно, быть представлен мгновенным импульсом реакции ${\displaystyle \mathbf {j} _{r}(t)\in \mathbb {R} ^{3}}$, вычисляемым как

Исходя из принципа действия и противодействия, если импульс столкновения, приложенный первым телом ко второму телу в точке контакта ${\displaystyle \mathbf {p} _{r}\in \mathbb {R} ^{3}}$, равен ${\displaystyle \mathbf {j} _{r}}$, встречный импульс, приложенный вторым телом к ​​первому, равен ${\displaystyle -\mathbf {j} _{r}}$. Разложение ${\displaystyle \pm \mathbf {j} _{r}=\pm j_{r}\mathbf {\hat {n}} }$ на величину импульса ${\displaystyle j_{r}\in \mathbb {R} }$ и направление по нормали контакта ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ и его отрицание ${\displaystyle -\mathbf {\hat {n}} }$ позволяют вывести формулу для вычисления изменение линейной и угловой скоростей тел в результате ударных импульсов. В последующих формулах всегда предполагается, что ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ указывает от тела 1 к телу 2 в точке контакта.

Предполагая, что величина импульса столкновения ${\displaystyle j_{r}}$ задана, и используя законы движения Ньютона, соотношение между пред- и постлинейной скоростями тел будет следующим:

где для ${\displaystyle i}$-го тела ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$ — это состояние перед столкновением линейная скорость, ${\displaystyle \mathbf {v’} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$ — линейная скорость после столкновения.

Аналогично для угловых скоростей

где для ${\displaystyle i}$-го тела ${\displaystyle {\omega }_{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$ — это угловой предварительный скорость столкновения, ${\displaystyle {\omega ‘}_{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$ — угловая скорость после столкновения, ${\displaystyle \mathbf {I} _{i}\in \mathbb {R} ^{3\times 3}}$ — это тензор инерции в мировой системе отсчета, а ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$ — смещение общей точки контакта ${\displaystyle \mathbf {p} }$ от центра масс.

Скорости ${\displaystyle v_{p1},v_{p2}\in \mathbb {R} ^{3}}$ тел в точке контакта можно вычислить через соответствующие линейную и угловую скорости, используя

для ${\displaystyle i=1,2}$. Коэффициент восстановления ${\displaystyle e}$ связывает относительную скорость до столкновения ${\displaystyle \mathbf {v} _{r}=\mathbf {v} _{p2}-\mathbf {v} _{p1}}$ точка контакта с относительной скоростью после столкновения ${\displaystyle \mathbf {v’} _{r}=\mathbf {v’} _{p2}-\mathbf {v’} _{p1}}$ вдоль нормали контакта ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ следующим образом

Подставляя уравнения (1a), (1b), (2a), (2b) и (3) в уравнение (4) и находя величину импульса реакции ${\displaystyle j_{r}}$ дает

Таким образом, процедура вычисления линейных скоростей ${\displaystyle \mathbf {v’} _{i}}$ и угловых скоростей ${\displaystyle \mathbf {\omega ‘} _{i}}$ после столкновения выглядит следующим образом:

Одной из наиболее популярных моделей для описания трения является модель трения Кулона. Эта модель определяет коэффициенты статического трения ${\displaystyle {\mu }_{s}\in \mathbb {R} }$ и динамического трения ${\displaystyle {\mu }_{d}\in \mathbb {R} }$ такие, что ${\displaystyle {\mu }_{s}>{\mu }_{d}}$. Эти коэффициенты описывают два типа сил трения с точки зрения сил реакции, действующих на тела. Более конкретно, величины статической и динамической силы трения ${\displaystyle f_{s},f_{d}\in \mathbb {R} }$ вычисляются через величину силы реакции ${\displaystyle f_{r}=|\mathbf {f} _{r}|}$< /span> следующим образом

Значение ${\displaystyle f_{s}}$ определяет максимальную величину силы трения, необходимой для противодействия тангенциальной составляющей любой внешней суммарной силы, приложенной к относительно статичному телу, так что она остается статичным. Таким образом, если внешняя сила достаточно велика, статическое трение не может полностью противостоять этой силе, после чего тело набирает скорость и становится объектом динамического трения величиной ${\displaystyle f_{d}}$ действует против скорости скольжения.

Модель кулоновского трения эффективно определяет конус трения, внутри которого тангенциальной составляющей силы, действующей со стороны одного тела на поверхность другого при статическом контакте, противодействует равная и противоположная сила, так что статическая конфигурация сохраняется. И наоборот, если сила выходит за пределы конуса, статическое трение уступает место динамическому трению.

Учитывая нормаль контакта ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \in \mathbb {R} ^{3}}$ и относительную скорость ${\displaystyle \mathbf {v} _{r}\in \mathbb {R} ^{3}}$ точки контакта, касательный вектор ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} \in \mathbb {R} ^{3}}$, ортогональный ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$, может быть определен так, что

где ${\displaystyle \mathbf {f} _{e}\in \mathbb {R} ^{3}}$ — сумма всех внешних сил, действующих на тело. Определение ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$ для нескольких случаев требуется для надежного расчета фактической силы трения ${\displaystyle \mathbf {f} _{f}\in \mathbb {R} ^{3}}$< /span> как для общего, так и для частного состояния контакта. Неформально, в первом случае вектор касательной вычисляется вдоль компонента относительной скорости, перпендикулярного нормали контакта ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$. Если этот компонент равен нулю, во втором случае ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$ определяется как касательная компонента внешней силы ${\displaystyle \mathbf {f} _{e}\in \mathbb {R} ^{3}}$ . Если нет тангенциальной скорости или внешних сил, то трение не предполагается, и для ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$ может быть установлен нулевой вектор. Таким образом, ${\displaystyle \mathbf {f} _{f}\in \mathbb {R} ^{3}}$ вычисляется как

Уравнения (6a), (6b), (7) и (8) описывают модель кулоновского трения в терминах сил. Адаптировав аргумент в пользу мгновенных импульсов, можно вывести основанную на импульсах версию модели кулоновского трения, связывающую импульс трения ${\displaystyle \mathbf {j} _{f}\in \mathbb {R} ^{3}}$, действующий вдоль касательной ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$, к импульсу реакции ${\displaystyle \mathbf {j} _{r}\in \mathbb {R} ^{3}}$. Интегрирование (6a) и (6b) по интервалу времени столкновения ${\displaystyle [t_{0}..t_{1}]}$ дает

где ${\displaystyle j_{r}=|\mathbf {j} _{r}|}$ — величина реактивного импульса, действующего вдоль нормали контакта ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ . Аналогично, если предположить, что ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$ постоянен на протяжении всего временного интервала, интегрирование (8) дает

Уравнения (5) и (10) определяют модель контакта на основе импульсов, которая идеально подходит для моделирования на основе импульсов. При использовании этой модели необходимо соблюдать осторожность при выборе ${\displaystyle {\mu }_{s}}$ и ${\displaystyle {\mu }_{d}}$, так как более высокие значения могут внести в систему дополнительную кинетическую энергию.