В механике напряжение в цилиндре — это распределение напряжений с вращательной симметрией; то есть, который остается неизменным, если напряженный объект вращается вокруг некоторой фиксированной оси.
Модели напряжения в цилиндрах включают в себя:
Эти три главных напряжения — кольцевое, продольное и радиальное — можно рассчитать аналитически с использованием взаимно перпендикулярной трехосной системы напряжений.
Классическим примером (и тезкой) обручного напряжения является натяжение железных лент или обручей деревянной бочки. В прямой закрытой трубе любая сила, приложенная к стенке цилиндрической трубы из-за перепада давления, в конечном итоге приведет к возникновению кольцевых напряжений. Аналогично, если эта труба имеет плоские торцевые заглушки, любая сила, приложенная к ним статическим давлением, вызовет перпендикулярное осевое напряжение на той же стенке трубы. Тонкие сечения часто имеют пренебрежимо малое радиальное напряжение, но точные модели цилиндрических оболочек с толстыми стенками требуют учета таких напряжений.
В толстостенных сосудах под давлением могут быть использованы методы строительства, позволяющие создать благоприятную структуру начальных напряжений. Эти сжимающие напряжения на внутренней поверхности уменьшают общее окружное напряжение в цилиндрах, находящихся под давлением. Цилиндрические сосуды такого типа обычно состоят из концентрических цилиндров, сжатых (или расширенных) друг над другом, т.е. сборных термоусадочных цилиндров, но также могут быть изготовлены из отдельных цилиндров путем автофреттации толстых цилиндров.
Окружное напряжение — это сила, действующая по окружности (перпендикулярно оси и радиусу объекта) в обоих направлениях на каждую частицу в стенке цилиндра. Его можно описать как:
где:
Альтернативой кольцевому напряжению при описании окружного напряжения является напряжение стенки или натяжение стенки (T), которое обычно равно определяется как общая окружная сила, действующая по всей радиальной толщине:
Наряду с осевым напряжением и радиальным напряжением, окружное напряжение является компонентом тензора напряжений в цилиндрических координатах.
Обычно полезно разложить любую силу, приложенную к объекту с вращательной симметрией, на компоненты, параллельные цилиндрическим координатам r, z и θ. Эти компоненты силы вызывают соответствующие напряжения: радиальное напряжение, осевое напряжение и кольцевое напряжение соответственно.
Чтобы предположение о тонкостенности было действительным, толщина стенки сосуда должна составлять не более одной десятой (часто называемой диаметром / t> 20) его радиуса. Это позволяет рассматривать стенку как поверхность и впоследствии использовать уравнение Юнга – Лапласа для оценки окружного напряжения, создаваемого внутренним давлением на тонкостенном цилиндрическом сосуде под давлением:
где
Уравнение кольцевого напряжения для тонких оболочек приближенно справедливо и для сферических сосудов, в том числе для растительных клеток и бактерий, в которых внутреннее тургорное давление может достигать нескольких атмосфер. В практических инженерных приложениях для цилиндров (труб и трубок) окружное напряжение часто преобразуется в давление и называется формулой Барлоу.
Единицами системы дюйм-фунт-секунда (IPS) для P являются фунты-силы на квадратный дюйм (фунты на квадратный дюйм). Единицами для t и d являются дюймы (дюймы).
Единицами СИ для P являются паскали (Па), а для t и d=2r — метры (м). ).
Когда сосуд имеет закрытые концы, на них действует внутреннее давление, развивающее силу вдоль оси цилиндра. Оно известно как осевое напряжение и обычно меньше окружного напряжения.
Хотя это может быть приближено к
Существует также радиальное напряжение , которое развивается перпендикулярно поверхности и может быть оценено в тонкостенных цилиндрах как:
В предположении о тонкостенности отношение велико, поэтому в большинстве случаев этот компонент считается незначительным по сравнению с окружным и осевым напряжениями.
Когда изучаемый цилиндр имеет коэффициент менее 10 (часто обозначаемый как ) уравнения тонкостенного цилиндра больше не выполняются, поскольку напряжения значительно различаются между внутренней и внешней поверхностями, и напряжением сдвига в поперечном сечении больше нельзя пренебрегать.
Эти напряжения и деформации можно рассчитать с помощью уравнений Ламе — набора уравнений, разработанного французским математиком Габриэлем Ламе.
где:
Для цилиндра с граничными условиями:
получаются следующие константы:
Используя эти константы, получаем следующее уравнение для окружного напряжения:
Для сплошного цилиндра: затем и сплошной цилиндр не может иметь внутреннего давления, поэтому .
Поскольку для толстостенных цилиндров отношение меньше 10, радиальное напряжение, пропорционально остальным напряжениям, становится непренебрежимо малым ( т. е. P больше не намного, намного меньше, чем Pr/t и Pr/2t), и поэтому толщина стены становится основным фактором при проектировании (Harvey, 1974, стр. 57).
В теории сосудов под давлением любой элемент стенки оценивается в трехосной системе напряжений, причем тремя главными напряжениями являются окружное, продольное и радиальное. Следовательно, по определению не существует касательных напряжений в поперечной, тангенциальной или радиальной плоскостях.
В толстостенных цилиндрах максимальное касательное напряжение в любой точке определяется половиной алгебраической разности между максимальным и минимальным напряжениями, которая, следовательно, равна половине разности между кольцевым и радиальным напряжениями. Напряжение сдвига достигает максимума на внутренней поверхности, что важно, поскольку оно служит критерием разрушения, поскольку оно хорошо коррелирует с реальными испытаниями на разрыв толстых цилиндров (Harvey, 1974, стр. 57).
Разрушение определяется окружным напряжением в отсутствие других внешних нагрузок, поскольку оно является самым большим главным напряжением. Обратите внимание, что наибольшее напряжение обруч испытывает внутри (снаружи и внутри наблюдается одинаковая общая нагрузка, которая распределяется по разным окружностям); следовательно, трещины в трубах теоретически должны начинаться внутри трубы. Вот почему проверки труб после землетрясений обычно включают в себя помещение камеры внутрь трубы для проверки на наличие трещин.
Податливость определяется эквивалентным напряжением, которое включает окружное напряжение и продольное или радиальное напряжение, если оно отсутствует.
При патологии стенок сосудов или желудочно-кишечного тракта напряжение стенки представляет собой мышечное напряжение стенки сосуда. Согласно закону Лапласа, если в стенке кровеносного сосуда образуется аневризма, радиус сосуда увеличивается. Это означает, что внутренняя сила, действующая на сосуд, уменьшается, и, следовательно, аневризма будет продолжать расширяться, пока не разорвется. Похожая логика применима и к образованию дивертикулов в кишечнике.
Первый теоретический анализ напряжения в цилиндрах был разработан инженером середины 19 века Уильямом Фейрберном, которому помогал его математический аналитик Итон Ходжкинсон. Их первым интересом было изучение конструкции и отказов паровых котлов. Фейрберн понял, что кольцевое напряжение было вдвое больше продольного напряжения, что является важным фактором при сборке корпусов котлов из прокатанных листов, соединенных клепкой. Позднее работа была применена в строительстве мостов и изобретении коробчатой балки. В железнодорожном мосту Чепстоу чугунные опоры усилены внешними полосами кованого железа. Вертикальная продольная сила является сжимающей силой, которой чугун хорошо способен противостоять. Окружное напряжение является растягивающим, поэтому добавляется кованое железо, материал с лучшей прочностью на растяжение, чем чугун.