Расширенный метод конечных элементов (XFEM) — это численная методика, основанная на обобщенном методе конечных элементов (GFEM) и методе разбиения единицы (PUM). Он расширяет классический подход метода конечных элементов (FEM), обогащая пространство решений для решений дифференциальных уравнений с разрывными функциями.
Расширенный метод конечных элементов (XFEM) был разработан в 1999 году Тедом Беличко и его сотрудниками.
Чтобы помочь устранить недостатки метода конечных элементов, он использовался для моделирования распространения различных несплошностей: сильных (трещины) и слабых (границы материалов). Идея XFEM состоит в том, чтобы сохранить большинство преимуществ бессеточных методов, одновременно смягчив их отрицательные стороны.
Расширенный метод конечных элементов был разработан для облегчения трудностей при решении задач с локализованными особенностями, которые не удается эффективно решить путем измельчения сетки. Одним из первых применений было моделирование трещин в материале. В этой исходной реализации к стандартным полиномиальным базисным функциям добавляются разрывные базисные функции для узлов, принадлежавших элементам, пересекаемым трещиной, чтобы обеспечить базис, включающий смещения раскрытия трещины. Ключевым преимуществом XFEM является то, что в таких задачах сетку конечных элементов не нужно обновлять для отслеживания пути трещины. Последующие исследования проиллюстрировали более общее использование метода для задач, связанных с сингулярностями, границами раздела материалов, регулярной сеткой микроструктурных особенностей, таких как пустоты, и других проблем, где локализованная особенность может быть описана соответствующим набором базисных функций.
Расширенные методы конечных элементов расширяют или обогащают
пространство аппроксимации, чтобы оно могло естественным образом воспроизводить
сложная особенность, связанная с интересующей проблемой:
разрыв, особенность, пограничный слой и т. д. Было показано, что
для некоторых задач такое вложение признака задачи в аппроксимацию
пространство может значительно улучшить скорость и точность сходимости.
Более того, решение проблем с разрывами с помощью eXtended
Методы конечных элементов устраняют необходимость создания сетки и повторного построения сетки.
поверхности разрывов, что снижает вычислительные затраты и ошибки прогнозирования.
Это связано с традиционными методами конечных элементов за счет ограничения разрывов краями сетки.
Существует несколько исследовательских программ, в различной степени реализующих эту технику.
XFEM также был реализован в коде, например, Altair Radioss, ASTER, Morfeo и Abaqus. Он все чаще принимается другим коммерческим программным обеспечением для конечных элементов, с несколькими плагинами и фактическими реализациями ядра (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE и т. д.).