В физике и технике коэффициент качества или Q-фактор — это безразмерный параметр, который описывает степень затухания генератора или резонатора. Она определяется как отношение начальной энергии, запасенной в резонаторе, к энергии, теряемой за один радиан цикла колебаний. Добротность альтернативно определяется как отношение центральной частоты резонатора к его полосе пропускания под действием осциллирующей движущей силы. Эти два определения дают численно схожие, но не идентичные результаты. Более высокий Q указывает на меньшую скорость потери энергии и более медленное затухание колебаний. Маятник, подвешенный на высококачественном подшипнике, колеблющийся на воздухе, имеет высокий Q, а маятник, погруженный в масло, — низкий. Резонаторы с высокими добротностями имеют низкое демпфирование, поэтому они дольше звенят или вибрируют.
Добротность — это параметр, который описывает резонансное поведение недозатухающего гармонического осциллятора (резонатора). Резонаторы с синусоидальным приводом, имеющие более высокие коэффициенты Q, резонируют с большими амплитудами (на резонансной частоте), но имеют меньший диапазон частот вокруг этой частоты, на которой они резонируют; диапазон частот, в которых резонирует генератор, называется полосой пропускания. Таким образом, настроенную схему с высоким Q в радиоприемнике будет сложнее настроить, но она будет иметь большую избирательность; он будет лучше фильтровать сигналы других станций, расположенных поблизости в спектре. Генераторы с высокой Q генерируют колебания в меньшем диапазоне частот и более стабильны.
Добротность генераторов существенно варьируется от системы к системе в зависимости от их конструкции. Системы, для которых демпфирование важно (например, демпферы, удерживающие дверь от захлопывания), имеют Q около 1⁄2. Часы, лазеры и другие резонирующие системы, которым необходим либо сильный резонанс, либо высокая стабильность частоты, имеют высокие добротности. Добротность камертонов составляет около 1000. Добротность атомных часов, сверхпроводящих радиочастотных резонаторов, используемых в ускорителях, и некоторых лазеров с высокой Q может достигать 1011 и выше.
Существует множество альтернативных величин, используемых физиками и инженерами для описания степени затухания генератора. Важные примеры включают: коэффициент демпфирования, относительную полосу пропускания, ширину линии и полосу пропускания, измеряемую в октавах.
Концепция Q возникла у К.С. Джонсона из технического отдела Western Electric Company при оценке качества катушек (индукторов). Он выбрал символ Q только потому, что в то время были взяты все остальные буквы алфавита. Этот термин не задумывался как сокращение от «качество» или «фактор качества», хотя эти термины стали ассоциироваться с ним.
Определение Q с момента его первого использования в 1914 году было обобщено и применимо к катушкам и конденсаторам, резонансным цепям, резонансным устройствам, резонансным линиям передачи, резонаторам и вышло за пределы области электроники, чтобы применяться к динамическим системам в целом: механическим и акустические резонаторы, материал Q и квантовые системы, такие как спектральные линии и резонансы частиц.
В контексте резонаторов существует два общих определения Q, которые не совсем эквивалентны. Они становятся примерно эквивалентными по мере того, как Q становится больше, что означает, что резонатор становится менее затухающим. Одним из таких определений является отношение частоты к полосе пропускания резонатора:
где fr — резонансная частота, Δf — ширина резонанса или полная ширина на половине высоты (FWHM ) то есть полоса пропускания, в которой мощность вибрации превышает половину мощности на резонансной частоте, ωr = 2πfr — угловая резонансная частота, а Δω — угловая полоса пропускания половинной мощности.
Согласно этому определению, Q является обратной величиной дробной полосы пропускания.
Другое распространенное, почти эквивалентное определение Q — это отношение энергии, запасенной в колеблющемся резонаторе, к энергии, рассеиваемой за цикл в результате процессов затухания:
Множитель 2π делает Q выраженным в более простых терминах, включая только коэффициенты дифференциального уравнения второго порядка, описывающего большинство резонансных систем, электрических или механических. В электрических системах запасенная энергия представляет собой сумму энергий, запасенных в катушках индуктивности и конденсаторах без потерь; потерянная энергия представляет собой сумму энергий, рассеиваемых в резисторах за цикл. В механических системах запасенная энергия представляет собой сумму потенциальной и кинетической энергий в определенный момент времени; потерянная энергия — это работа, совершаемая внешней силой за цикл для поддержания амплитуды.
В более общем смысле и в контексте спецификации реактивных компонентов (особенно индукторов) используется частотно-зависимое определение Q:
где ω — угловая частота, на которой измеряются запасенная энергия и потери мощности. Это определение согласуется с его использованием при описании цепей с одним реактивным элементом (конденсатором или индуктором), где можно показать, что оно равно отношению реактивной мощности к активной мощности. (См. Отдельные реактивные компоненты.)
Фактор Q определяет качественное поведение простых затухающих осцилляторов. (Математические подробности об этих системах и их поведении см. в разделе «Гармонический осциллятор» и «линейная инвариантная во времени» система (LTI).)
В системах с отрицательной обратной связью доминирующая реакция с обратной связью часто хорошо моделируется системой второго порядка. Запас по фазе разомкнутой системы устанавливает добротность Q системы с обратной связью; по мере уменьшения запаса по фазе приближенная замкнутая система второго порядка становится более колебательной (т. Е. Имеет более высокую добротность).
С физической точки зрения, Q — это приблизительно отношение запасенной энергии к энергии, рассеиваемой за один радиан колебания; или, что почти то же самое, при достаточно высоких значениях Q, в 2π раза превышающее соотношение общей запасенной энергии и энергии, потерянной за один цикл.
Это безразмерный параметр, который сравнивает экспоненциальную постоянную времени τ для затухания амплитуды колеблющейся физической системы с ее периодом колебаний. Эквивалентно, он сравнивает частоту, с которой система колеблется, со скоростью, с которой она рассеивает свою энергию. Точнее, используемые частота и период должны основываться на собственной частоте системы, которая при низких значениях Q несколько выше частоты колебаний, измеренной путем нулевых переходов.
Эквивалентно (для больших значений Q) коэффициент Q примерно равен количеству колебаний, необходимых для того, чтобы энергия свободно колеблющейся системы упала до e-2π или около 1 ⁄535 или 0,2% от его первоначальной энергии. Это означает, что амплитуда падает примерно до e−π или 4 % от исходной амплитуды.
Ширина (пропускная способность) резонанса определяется (приблизительно):
где fN — собственная частота, а Δf — полоса пропускания — ширина диапазона частот, для которых энергия находится на уровне не менее половины максимального значения.
Резонансная частота часто выражается в натуральных единицах (радианах в секунду), а не с использованием fN в герцах, как
Коэффициенты Q, коэффициент затухания ζ, собственная частота ωN, скорость затухания α и экспоненциальная постоянная времени τ связаны так, что:
а коэффициент демпфирования можно выразить как:
Огибающая колебаний затухает пропорционально e−αt или e−t/τ, где α и τ можно выразить как:
и
Энергия колебаний или рассеиваемая мощность затухает в два раза быстрее, то есть пропорционально квадрату амплитуды, как e−2αt или e−2t/τ.
Для двухполюсного фильтра нижних частот передаточная функция фильтра равна
Для этой системы, когда Q > 1/2 (т.е. когда система недостаточно демпфирована), она имеет два комплексно-сопряженных полюса, каждый из которых имеет действительную часть -α. То есть параметр затухания α представляет собой скорость экспоненциального затухания колебаний (то есть выходного сигнала после импульса) в системе. Более высокая добротность подразумевает более низкую скорость затухания, и поэтому системы с высокой Q колеблются в течение многих циклов. Например, качественные колокола после удара молотком долгое время имеют примерно чистый синусоидальный тон.
Для электрически резонансной системы коэффициент Q представляет собой эффект электрического сопротивления, а для электромеханических резонаторов, таких как кристаллы кварца, — механического трения.
Двусторонняя полоса пропускания относительно резонансной частоты F0 Гц равна F0/Q. .
Например, антенна, настроенная на значение Q 10 и центральную частоту 100 кГц, будет иметь полосу пропускания по уровню 3 дБ 10 кГц.
В аудио, полоса пропускания часто выражается в терминах октав. Тогда соотношение между Q и полосой пропускания будет
где BW — полоса пропускания в октавах.
В идеальной последовательной схеме RLC и в настроенном радиочастотном приемнике (TRF) коэффициент Q равен:
где R, L и C — сопротивление, индуктивность и емкость настроенной цепи соответственно. Чем больше последовательное сопротивление, тем ниже Q цепи.
Для параллельной схемы RLC коэффициент Q является обратным последовательному случаю:
Рассмотрим схему, в которой R, L и C включены параллельно. Чем ниже параллельное сопротивление, тем больший эффект оно окажет на демпфирование цепи и, следовательно, тем ниже Q. Это полезно при проектировании фильтров для определения полосы пропускания.
В параллельной цепи LC, где основные потери представляют собой сопротивление дросселя R, включенного последовательно с индуктивностью L, Q как в последовательной схеме. Это обычная ситуация для резонаторов, где желаемым результатом является ограничение сопротивления дросселя для улучшения Q и сужения полосы пропускания.
Q отдельного реактивного компонента зависит от частоты, на которой он оценивается, которая обычно является резонансной частотой цепи, в которой он используется. Q Индуктивность с сопротивлением последовательных потерь представляет собой Q резонансного контура, использующего этот дроссель (включая его последовательные потери) и идеальный конденсатор.
где:
Q конденсатора с сопротивлением последовательных потерь такая же, как Q резонансного контура, в котором используется этот конденсатор с идеальным индуктором:
где:
В общем, Q резонатора, состоящего из последовательно соединенных конденсатора и катушки индуктивности, можно определить по значениям Q компонентов, независимо от того, обусловлены ли их потери последовательным сопротивлением. или иным образом:
Для системы с одной демпфирующей массой и пружиной коэффициент Q представляет собой эффект упрощенного вязкостного демпфирования или сопротивления, где сила демпфирования или сила сопротивления пропорциональна скорости. Формула для Q-фактора:
где M — масса, k — жесткость пружины, а D — коэффициент демпфирования, определяемый уравнением Fдемпфирование = −Dv, где v — скорость.
Q музыкального инструмента имеет решающее значение; чрезмерно высокая Q в резонаторе не будет равномерно усиливать множественные частоты, которые производит инструмент. По этой причине струнные инструменты часто имеют корпуса сложной формы, так что они производят широкий диапазон частот довольно равномерно.
Q медного или духового инструмента должен быть достаточно высоким, чтобы выделить одну частоту из жужжания губ или трости более широкого спектра.
Напротив, вувузела сделана из гибкого пластика и поэтому имеет очень низкий Q для духового инструмента, что придает ему грязный, хриплый тон. Инструменты, изготовленные из более жесткого пластика, латуни или дерева, имеют более высокую добротность. Чрезмерно высокое значение Q может затруднить взятие ноты. Q в инструменте может различаться в зависимости от частоты, но это может быть нежелательно.
Резонаторы Гельмгольца имеют очень высокую добротность, так как предназначены для выделения очень узкого диапазона частот.
В оптике добротность резонансного резонатора определяется выражением
где fo — резонансная частота, E — запасенная энергия в резонаторе, а P = −< span>dE/dt< /span> — рассеиваемая мощность. Оптическая Q равна отношению резонансной частоты к полосе пропускания резонанса полости. Среднее время жизни резонансного фотона в резонаторе пропорционально Q резонатора. Если коэффициент Q резонатора лазера резко изменится с низкого значения на высокое, лазер будет излучать импульс света, который намного более интенсивен, чем обычный непрерывный выходной сигнал лазера. Этот метод известен как Q-переключение. Фактор Q имеет особое значение в плазмонике, где потери связаны с затуханием поверхностного плазмонного резонанса. Хотя потери обычно считаются препятствием при разработке плазмонных устройств, это свойство можно использовать для предоставления новых расширенных функциональных возможностей.