Правило смесей

В материаловедении общее правило смесей — это взвешенное среднее значение, используемое для прогнозирования различных свойств композитного материала. Оно обеспечивает теоретические верхние и нижние границы таких свойств, как модуль упругости, предел прочности на растяжение, теплопроводность и электропроводность. В целом существует две модели: одна для осевой нагрузки (модель Фойгта) и одна для поперечной нагрузки (модель Ройсса).

В общем случае для некоторого свойства материала ${\displaystyle E}$ (часто модуль упругости) правило смесей гласит, что общее свойство в направлении, параллельном волокна могут быть такими высокими, как

${\displaystyle E_{c}=fE_{f}+\left(1-f\right)E_{m}}$

где

В случае модуля упругости это известно как верхний модуль и соответствует нагрузке, параллельной волокнам. Обратное правило смесей гласит, что в направлении, перпендикулярном волокнам, модуль упругости композита может быть таким низким, как

${\displaystyle E_{c}=\left({\frac {f}{E_{f}}}+{\frac {1-f}{E_{m}}}\right)^{-1}.}$

Если изучаемым свойством является модуль упругости, то эта величина называется нижним модулем упругости и соответствует поперечной нагрузке.

Вывод модуля упругости

Модуль Фойгта

Рассмотрим композитный материал, находящийся под одноосным растяжением ${\displaystyle \sigma _{\infty }}$. Если материал должен остаться целым, деформация волокон, ${\displaystyle \epsilon _{f}}$ должна быть равна деформации матрицы, ${\displaystyle \epsilon _{m}}$. Закон Гука для одноосного растяжения, следовательно, дает

где ${\displaystyle \sigma _{f}}$, ${\displaystyle E_{f}}$, ${\displaystyle \sigma _{m}}$, ${\displaystyle E_{m}}$ — напряжение и модуль упругости волокон и матрицы соответственно. Учитывая, что напряжение — это сила на единицу площади, баланс сил дает, что

где ${\displaystyle f}$ — объемная доля волокон в композите (и ${\displaystyle 1-f}$ — объемная доля матрицы).

Если предположить, что композиционный материал ведет себя как линейно-упругий материал, т. е. соблюдая закон Гука ${\displaystyle \sigma _{\infty }=E_{c}\epsilon _{c}}$ для некоторого модуля упругости композита ${\displaystyle E_{c}}$ и некоторая деформация составного ${\displaystyle \epsilon _{c}}$, тогда уравнения 1 и 2 можно объединить, чтобы получить

${\displaystyle E_{c}\epsilon _{c}=fE_{f}\epsilon _{f}+\left(1-f\right)E_{m}\epsilon _{m}.}$

Наконец, поскольку ${\displaystyle \epsilon _{c}=\epsilon _{f}=\epsilon _{m}}$, общий модуль упругости композита можно выразить как

${\displaystyle E_{c}=fE_{f}+\left(1-f\right)E_{m}.}$

Модуль Рейсса

Теперь пусть композитный материал будет загружен перпендикулярно волокнам, предполагая, что ${\displaystyle \sigma _{\infty }=\sigma _{f}=\sigma _{m}}$. Общая деформация в композите распределяется между материалами таким образом, что

${\displaystyle \epsilon _{c}=f\epsilon _{f}+\left(1-f\right)\epsilon _{m}.}$

Общий модуль упругости материала тогда определяется по формуле

${\displaystyle E_{c}={\frac {\sigma _{\infty }}{\epsilon _{c}}}={\frac {\sigma _{f}}{f\epsilon _{f}+\left(1-f\right)\epsilon _{m}}}=\left({\frac {f}{E_{f}}}+{\frac {1-f}{E_{m}}}\right)^{-1}}$

с ${\displaystyle \sigma _{f}=E\epsilon _{f}}$, ${\displaystyle \sigma _{m}=E\epsilon _{m}}$.

Другие свойства

Аналогичные выводы дают правила смесей для

При рассмотрении эмпирической корреляции некоторых физических свойств и химического состава соединений, других соотношений, правил или законов, также очень похоже на правило смесей: