Поверхность текучести

Поверхность текучести — это пятимерная поверхность в шестимерном пространстве напряжений. Поверхность текучести обычно выпуклая, а напряженное состояние внутри поверхности текучести упругое. Когда напряженное состояние лежит на поверхности, говорят, что материал достиг своего предела текучести, и говорят, что материал стал пластичным. Дальнейшая деформация материала приводит к тому, что напряженное состояние остается на поверхности текучести, даже если форма и размер поверхности могут изменяться по мере развития пластической деформации. Это происходит потому, что напряженные состояния, которые лежат вне поверхности текучести, недопустимы в пластичности, независимой от скорости, хотя и не в некоторых моделях вязкопластичности.

Поверхность текучести обычно выражается в терминах (и визуализируется) трехмерного главного пространства напряжений (${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$), двух- или трехмерное пространство, охватываемое инвариантами напряжения (${\displaystyle I_{1},J_{2},J_{3}}$) или версия трехмерного пространства напряжений Хейга–Вестергаарда. Таким образом, мы можем записать уравнение поверхности текучести (то есть функцию текучести) в виде:

Инварианты, используемые для описания поверхностей текучести

Первый главный инвариант (${\displaystyle I_{1}}$) напряжения Коши (${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$), а также второй и третий главные инварианты (${\displaystyle J_{2},J_{3}}$) девиаторной части (${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$) напряжения Коши определяются как:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&={\text{Tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\J_{2}&={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {s}}:{\boldsymbol {s}}={\tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\J_{3}&=\det({\boldsymbol {s}})={\tfrac {1}{3}}({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}):{\boldsymbol {s}}=s_{1}s_{2}s_{3}\end{aligned}}}$

где (${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$) являются основными значениями ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$, (${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}}$) — это основные значения ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$ и

${\displaystyle {\boldsymbol {s}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {I_{1}}{3}}\,{\boldsymbol {I}}}$

где ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$ — это идентификационная матрица .

Связанный набор величин (${\displaystyle p,q,r\,}$), обычно используется для описания поверхностей текучести для связных фрикционных материалов, таких как камни, почвы и керамика. Они определяются как

${\displaystyle p={\tfrac {1}{3}}~I_{1}~:~~q={\sqrt {3~J_{2}}}=\sigma _{\mathrm {eq} }~;~~r=3\left({\tfrac {1}{2}}\,J_{3}\right)^{1/3}}$

где ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }}$ — это эквивалентное напряжение. Однако возможность отрицательных значений ${\displaystyle J_{3}}$ и результирующее мнимое ${\displaystyle r}$ делает использование этих величин на практике проблематичным.

Другой связанный набор широко используемых инвариантов — (${\displaystyle \xi ,\rho ,\theta \,}$), которые описывают цилиндрическую Система координат (координаты Хайга–Вестергаарда). Они определяются как:

${\displaystyle \xi ={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}~I_{1}={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {2J_{2}}}={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~q~;~~\cos(3\theta )=\left({\tfrac {r}{q}}\right)^{3}={\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

${\displaystyle \xi -\rho \,}$ плоскость также называется Рендулическая плоскость. Угол ${\displaystyle \theta }$ называется углом напряжения, значение < span class="mwe-math-element">${\displaystyle \cos(3\theta )}$< img alt="{\displaystyle \cos(3\theta)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert Skin-invert" src="https://. org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46e44f6f6714f473f8cb6b2c6d2509bf23df84a" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.173ex; height:2.843ex;"/> иногда называют Параметр Лоде и связь между ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$ впервые дано Новожиловым В.В. в 1951 году, см. также

Главные напряжения и координаты Хейга–Вестергаарда связаны соотношением

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\\cos \left(\theta -{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\\\cos \left(\theta +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}-\theta \right)\\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}+\theta \right)\end{bmatrix}}\,.}$

В литературе можно найти и другое определение угла Лоде:

${\displaystyle \sin(3\theta )=~{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

в этом случае упорядоченные главные напряжения (где ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$) связаны соотношением

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\tfrac {\rho }{\sqrt {2}}}~{\begin{bmatrix}\cos \theta -{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\{\tfrac {2\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\-{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}-\cos \theta \end{bmatrix}}\,.}$

Примеры поверхностей текучести

В технике известно несколько различных поверхностей текучести, наиболее популярные из которых перечислены ниже.

Поверхность текучести Треска

Критерий текучести Трески считается работой Анри Трески. Он также известен как теория максимального напряжения сдвига (MSST) и критерий Трески–Геста (TG). В терминах главных напряжений критерий Трески выражается как

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\max(|\sigma _{1}-\sigma _{2}|,|\sigma _{2}-\sigma _{3}|,|\sigma _{3}-\sigma _{1}|)=S_{sy}={\tfrac {1}{2}}S_{y}}\!}$

Где ${\displaystyle S_{sy}}$ — предел текучести при сдвиге, а ${\displaystyle S_{y}}$ — предел текучести при растяжении.

На рисунке 1 показана поверхность текучести Трески–Геста в трехмерном пространстве главных напряжений. Это призма с шестью сторонами и бесконечной длиной. Это означает, что материал остается упругим, когда все три главных напряжения примерно равны (гидростатическое давление), независимо от того, насколько он сжат или растянут. Однако, когда одно из главных напряжений становится меньше (или больше) других, материал подвергается сдвигу. В таких ситуациях, если касательное напряжение достигает предела текучести, то материал переходит в пластическую область. На рисунке 2 показана поверхность текучести Трески–Геста в двумерном пространстве напряжений, это поперечное сечение призмы вдоль ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ плоскость.

Поверхность текучести фон Мизеса

Критерий текучести фон Мизеса выражается в главных напряжениях как

${\displaystyle {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}=2{S_{y}}^{2}}\!}$

где ${\displaystyle S_{y}}$ — предел текучести при одноосном растяжении.

На рисунке 3 показана поверхность текучести фон Мизеса в трехмерном пространстве главных напряжений. Это круговой цилиндр бесконечной длины с осью, наклоненной под равными углами к трем главным напряжениям. На рисунке 4 показана поверхность текучести фон Мизеса в двумерном пространстве в сравнении с критерием Трески–Геста. Поперечное сечение цилиндра фон Мизеса на плоскости ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ обеспечивает эллиптическую форму поверхности текучести.

Критерий Буржинского-Ягна

Этот критерий

${\displaystyle 3I_{2}’={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

представляет собой общее уравнение поверхности вращения второго порядка вокруг гидростатической оси. Некоторые частные случаи:

Отношения сжатия-растяжения и кручения-растяжения можно вычислить следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}},\qquad {\bigg (}{\sqrt {3}}\,{\frac {\tau _{*}}{\sigma _{+}}}{\bigg )}^{2}={\frac {1}{(1-\gamma _{1})(1-\gamma _{2})}}}$

Коэффициенты Пуассона при растяжении и сжатии получаются с помощью

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }={\frac {-1+2(\gamma _{1}+\gamma _{2})-3\gamma _{1}\gamma _{2}}{-2+\gamma _{1}+\gamma _{2}}}}$

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}}$

Для пластичных материалов ограничение

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in {\bigg [}\,0.48,\,{\frac {1}{2}}\,{\bigg ]}}$

Важно. Применение вращательно-симметричных критериев хрупкого разрушения с

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in ]-1,~\nu _{+}^{\mathrm {el} }\,]}$

изучен недостаточно.

Критерий Буржинского-Ягна хорошо подходит для академических целей. Для практических приложений в уравнение следует ввести третий инвариант девиатора в нечетной и четной степени, например:

${\displaystyle 3I_{2}'{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

Критерий Хубера

Критерий Хубера состоит из эллипсоида Бельтрами и масштабированного цилиндра фон Мизеса в главном напряженном пространстве, см. также

${\displaystyle 3\,I_{2}’=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }+\gamma _{1}\,I_{1}}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}>0\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}\leq 0\end{array}}\right.}$

с ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$. Переход между поверхностями в поперечном сечении ${\displaystyle I_{1}=0}$ непрерывно дифференцируем.
Критерий представляет собой «классический взгляд» на неупругое поведение материала:

Критерий Хубера можно использовать в качестве поверхности текучести с эмпирическим ограничением для коэффициента Пуассона при растяжении ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in [0.48,1/2]}$, что приводит к ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,0.1155]}$.

Модифицированный критерий Губера см. также ср.

${\displaystyle 3\,I_{2}’=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}},&I_{1}>-d\,\sigma _{\mathrm {+} }\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }^{2}}{(1-\gamma _{1}-\gamma _{2})^{2}}},&I_{1}\leq -d\,\sigma _{\mathrm {+} }\end{array}}\right.}$

состоит из эллипсоида Шлейхера с ограничением коэффициента Пуассона при сжатии

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}={\frac {1}{2}}}$

и цилиндр с ${\displaystyle C^{1}}$-переходом в поперечном сечении ${\displaystyle I_{1}=-d\,\sigma _{\mathrm {+} }}$.
Вторая настройка для параметров ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$ следует с отношением сжатия/растяжения

${\displaystyle d={\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}}\geq 1}$

Модифицированный критерий Хубера может быть лучше адаптирован к измеренным данным, чем критерий Хубера. Для настройки ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0.48}$ следует ${\displaystyle \gamma _{1}=0.0880}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}=-0.0747}$.

Критерий Хубера и модифицированный критерий Хубера следует предпочесть критерию фон Мизеса, поскольку они дают более надежные результаты в области ${\displaystyle I_{1}>\sigma _{\mathrm {+} }}$.
Для практических приложений третий инвариант девиатора ${\displaystyle I_{3}’}$ следует учитывать в этих критериях.

Поверхность текучести Мора – Кулона

Критерий текучести (разрушения) Мора-Кулона аналогичен критерию Треска с дополнительными условиями для материалов с различным пределом текучести на растяжение и сжатие. Эта модель часто используется для моделирования бетона, грунта или зернистых материалов. Критерий текучести Мора-Кулона может быть выражен как:

${\displaystyle {\frac {m+1}{2}}\max {\Big (}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{2})~,~~|\sigma _{1}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{3})~,~~|\sigma _{2}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{2}+\sigma _{3}){\Big )}=S_{yc}}$

где

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}};K={\frac {m-1}{m+1}}}$

и параметры ${\displaystyle S_{yc}}$ и ${\displaystyle S_{yt}}$ — напряжения текучести (разрушения) материала при одноосном сжатии и растяжении соответственно. Формула сводится к критерию Трески, если ${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$.

На рисунке 5 показана поверхность текучести Мора–Кулона в трехмерном пространстве главных напряжений. Это коническая призма, которая ${\displaystyle K}$ определяет угол наклона конической поверхности. На рисунке 6 показана поверхность текучести Мора–Кулона в двумерном пространстве напряжений. На рисунке 6 ${\displaystyle R_{r}}$ и ${\displaystyle R_{c}}$ используется для ${\displaystyle S_{yt}}$ и ${\displaystyle S_{yc}}$, соответственно, в формуле. Это поперечное сечение этой конической призмы на плоскости ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$. На рисунке 6 Rr и Rc используются в формуле для Syc и Syt соответственно.

Поверхность текучести Друкера–Прагера

Критерий текучести Друкера-Прагера аналогичен критерию текучести фон Мизеса, с положениями для обработки материалов с различными пределами текучести на растяжение и сжатие. Этот критерий чаще всего используется для бетона, где как нормальные, так и касательные напряжения могут определять разрушение. Критерий текучести Друкера-Прагера может быть выражен как

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {m-1}{2}}{\bigg )}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})+{\bigg (}{\frac {m+1}{2}}{\bigg )}{\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}=S_{yc}}$

где

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}}}$

и ${\displaystyle S_{yc}}$, ${\displaystyle S_{yt}}$ — одноосные пределы текучести при сжатии и растяжении соответственно. Формула сводится к уравнению фон Мизеса, если ${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$.

На рисунке 7 показана поверхность текучести Друкера–Прагера в трехмерном пространстве главных напряжений. Это правильный конус. На рисунке 8 показана поверхность текучести Друкера–Прагера в двумерном пространстве. Эллиптическая упругая область представляет собой поперечное сечение конуса на плоскости ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$; можно выбрать пересечение поверхности текучести Мора–Кулона в различном количестве вершин. Один из вариантов — пересечь поверхность текучести Мора–Кулона в трех вершинах по обе стороны от ${\displaystyle \sigma _{1}=-\sigma _{2}}$ линия, но обычно по соглашению выбираются те, которые находятся в режиме сжатия. Другой вариант — пересечь поверхность текучести Мора–Кулона в четырех вершинах на обеих осях (одноосная подгонка) или в двух вершинах на диагонали ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$ (двухосная посадка). Критерий текучести Друкера-Прагера также обычно выражается через сцепление материала и угол трения.

Поверхность текучести Бреслера–Пистера

Критерий текучести Бреслера-Пистера является расширением критерия текучести Друкера-Прагера, который использует три параметра и имеет дополнительные условия для материалов, которые текут при гидростатическом сжатии.
В терминах главных напряжений этот критерий текучести может быть выражен как

${\displaystyle S_{yc}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}-c_{0}-c_{1}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-c_{2}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}$

где ${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2}}$ — константы материала. Дополнительный параметр ${\displaystyle c_{2}}$ придает поверхности текучести эллипсоидальное поперечное сечение при взгляде с направления, перпендикулярного ее оси. Если ${\displaystyle \sigma _{c}}$ — предел текучести при одноосном сжатии, ${\displaystyle \sigma _{t}}$ — предел текучести при одноосном растяжении, а ${\displaystyle \sigma _{b}}$ — предел текучести при двухосном сжатии, параметры можно выразить как

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}=&\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {4\sigma _{b}^{2}-\sigma _{b}(\sigma _{c}+\sigma _{t})+\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{2}=&\left({\cfrac {1}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {\sigma _{b}(3\sigma _{t}-\sigma _{c})-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{0}=&c_{1}\sigma _{c}-c_{2}\sigma _{c}^{2}\end{aligned}}}$

Поверхность текучести Виллема–Варнке

Критерий доходности Виллама–Варнке представляет собой трехпараметрическую сглаженную версию критерия доходности Мора–Кулона, имеющую сходство по форме с критериями доходности Друкера–Прагера и Бреслера–Пистера.

Критерий текучести имеет функциональную форму

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0~.}$

Однако чаще всего это выражается в координатах Хейга–Вестергаарда как

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0~.}$

Поперечное сечение поверхности, если смотреть вдоль ее оси, представляет собой сглаженный треугольник (в отличие от Мора–Кулона). Поверхность текучести Виллама–Варнке является выпуклой и имеет уникальные и четко определенные первые и вторые производные в каждой точке ее поверхности. Таким образом, модель Виллама–Варнке является вычислительно надежной и использовалась для различных когезионно-фрикционных материалов.

Тригонометрические поверхности текучести Подгурского и Розендаля

Нормализовано относительно одноосного растягивающего напряжения ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }=\sigma _{+}}$, критерий Подгурского как функция угла напряжения ${\displaystyle \theta }$ читает

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}’}}\,{\frac {\Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})}{\Omega _{3}(0,\beta _{3},\chi _{3})}},}$

с функцией формы тригональной симметрии в ${\displaystyle \pi }$-плоскости

${\displaystyle \Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\pi \beta _{3}-\arccos[\,\sin(\chi _{3}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 3\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{3}\in [0,\,1],\quad \chi _{3}\in [-1,\,1].}$

Он содержит критерии фон Мизеса (круг в ${\displaystyle \pi }$-плоскости, ${\displaystyle \beta _{3}=[0,\,1]}$, ${\displaystyle \chi _{3}=0}$), Треска (правильный шестиугольник, ${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$, ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$), Мариотт (правильный треугольник, ${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$, ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$), Ивлев (правильный треугольник, ${\displaystyle \beta _{3}=\{1,0\}}$, ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$) и также кубический критерий Сайира (критерий Оттосена) с ${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$ и изотоксальные (равносторонние) шестиугольники критерия Капурсо с ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$. Переход фон Мизеса — Трески следует с ${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$, ${\displaystyle \chi _{3}=[0,1]}$. Изогональные (равноугольные) шестиугольники критерия Хейторнтвейта, содержащие критерий Шмидта-Ишлинского (правильный шестиугольник), не могут быть описаны критерием Подгурского.

Критерий Розендаля гласит:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}’}}\,{\frac {\Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})}{\Omega _{6}(0,\beta _{6},\chi _{6})}},}$

с функцией формы гексагональной симметрии в ${\displaystyle \pi }$-плоскости

${\displaystyle \Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(\pi \beta _{6}-\arccos[\,\sin(\chi _{6}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 6\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{6}\in [0,\,1],\quad \chi _{6}\in [-1,\,1].}$

Он содержит критерии фон Мизеса (круг, ${\displaystyle \beta _{6}=[0,\,1]}$, ${\displaystyle \chi _{6}=0}$), Треска (правильный шестиугольник, ${\displaystyle \beta _{6}=\{1,0\}}$, ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$), Шмидта—Ишлинского (правильный шестиугольник, ${\displaystyle \beta _{6}=\{0,1\}}$, ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$), Соколовский (правильный двенадцатиугольник, ${\displaystyle \beta _{6}=1/2}$, ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$), а также бикубический критерий с ${\displaystyle \beta _{6}=0}$ или равнозначно ${\displaystyle \beta _{6}=1}$ и изотоксальные додекагоны единого критерия текучести Ю с ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$. Изогональные додекагоны мультипликативного анзатц-критерия гексагональной симметрии, содержащие критерий Ишлинского-Ивлева (правильный додекагон), не могут быть описаны критерием Розендаля.

Критерии Подгурского и Розендаля описывают отдельные поверхности в пространстве главных напряжений без каких-либо дополнительных внешних контуров и пересечений плоскостей. Обратите внимание, что для того, чтобы избежать числовых проблем, функция действительной части ${\displaystyle Re}$ может быть введена в функцию формы: ${\displaystyle Re(\Omega _{3})}$ и ${\displaystyle Re(\Omega _{6})}$. Обобщение в виде ${\displaystyle \Omega _{3n}}$ актуален для теоретических исследований.

Чувствительное к давлению расширение критериев можно получить с помощью линейного ${\displaystyle I_{1}}$-подстановка

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }\rightarrow {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\qquad {\mbox{with}}\qquad \gamma _{1}\in [0,\,1[,}$

что достаточно для многих применений, например, металлов, чугуна, сплавов, бетона, неармированных полимеров и т. д.

Поверхность текучести Бигони–Пикколроаза

Критерий текучести Бигони–Пикколроаза представляет собой семипараметрическую поверхность, определяемую формулой

${\displaystyle f(p,q,\theta )=F(p)+{\frac {q}{g(\theta )}}=0,}$

где ${\displaystyle F(p)}$ — функция «меридиана»

${\displaystyle F(p)=\left\{{\begin{array}{ll}-Mp_{c}{\sqrt {(\phi -\phi ^{m})[2(1-\alpha )\phi +\alpha ]}},&\phi \in [0,1],\\+\infty ,&\phi \notin [0,1],\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \phi ={\frac {p+c}{p_{c}+c}},}$

описывающая чувствительность к давлению и ${\displaystyle g(\theta )}$ — это «девиаторная» функция

${\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{\cos[\beta {\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{3}}\cos ^{-1}(\gamma \cos 3\theta )]}},}$

описывающие зависимость текучести от Лоде. Семь неотрицательных материальных параметров:

${\displaystyle \underbrace {M>0,~p_{c}>0,~c\geq 0,~0<\alpha <2,~m>1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {F(p)}},~~~\underbrace {0\leq \beta \leq 2,~0\leq \gamma <1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {g(\theta )}},}$

определяют форму меридиональных и девиаторных сечений.

Этот критерий представляет собой гладкую и выпуклую поверхность, которая замкнута как при гидростатическом растяжении, так и при сжатии и имеет каплевидную форму, особенно подходящую для описания фрикционных и зернистых материалов. Этот критерий также был обобщен на случай поверхностей с углами.

Косинусный анзац (Альтенбах-Болчоун-Колупаев)

Для формулировки критерия прочности угол напряжения

${\displaystyle \cos 3\theta ={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\frac {I_{3}’}{I_{2}’^{\frac {3}{2}}}}}$

может быть использован.

Следующий критерий изотропного поведения материала

${\displaystyle (3I_{2}’)^{3}{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}=\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\right)^{6-l-m}\,\left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}}\right)^{l}\,\sigma _{\mathrm {eq} }^{m}}$

содержит ряд других известных менее общих критериев, при условии выбора подходящих значений параметров.

Параметры ${\displaystyle c_{3}}$ и ${\displaystyle c_{6}}$ описывают геометрию поверхности в ${\displaystyle \pi }$-plane. Они подчиняются ограничениям

${\displaystyle c_{6}={\frac {1}{4}}(2+c_{3}),\qquad c_{6}={\frac {1}{4}}(2-c_{3}),\qquad c_{6}\geq {\frac {5}{12}}\,c_{3}^{2}-{\frac {1}{3}},}$

которые следуют из условия выпуклости. Более точная формулировка третьих ограничений предлагается в.

Параметры ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,\,1[}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}}$ описывают положение точек пересечения поверхности текучести с гидростатической осью (диагональю пространства в пространстве главных напряжений). Эти точки пересечения называются гидростатическими узлами.
В случае материалов, которые не разрушаются при гидростатическом давлении (сталь, латунь и т. д.), получается ${\displaystyle \gamma _{2}\in [0,\,\gamma _{1}[}$. В противном случае для материалов, которые разрушаются при гидростатическом давлении (жесткие пены, керамика, спеченные материалы и т. д.), следует ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$.

Целочисленные степени ${\displaystyle l\geq 0}$ и ${\displaystyle m\geq 0}$, ${\displaystyle l+m<6}$ описывает кривизну меридиана. Меридиан с ${\displaystyle l=m=0}$ – прямая линия, а с ${\displaystyle l=0}$ – парабола.

Поверхность текучести Барлата

Для анизотропных материалов в зависимости от направления применяемого процесса (например, прокатки) механические свойства изменяются, и поэтому использование анизотропной функции текучести имеет решающее значение. С 1989 года Фредерик Барлат разработал семейство функций текучести для конститутивного моделирования пластической анизотропии. Среди них критерии текучести Yld2000-2D были применены для широкого спектра листовых металлов (например, алюминиевых сплавов и современных высокопрочных сталей). Модель Yld2000-2D представляет собой функцию текучести неквадратичного типа, основанную на двух линейных преобразованиях тензора напряжений:

${\displaystyle \Phi =\Phi ‘(X’)+\Phi »(X»)=2{{\bar {\sigma }}^{a}}}$ :

where ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ is the effective stress. and ${\displaystyle X’}$ and ${\displaystyle X»}$ are the transformed matrices (by linear transformation C or L):

${\displaystyle {\begin{array}{l}X’=C’.s=L’.\sigma \\X»=C».s=L».\sigma \end{array}}}$

where s is the deviatoric stress tensor.

для главных значений X’ и X”, модель может быть выражена как:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\Phi ‘={\left|{{{X’}_{1}}+{{X’}_{2}}}\right|^{a}}\\\Phi »={\left|{2{{X»}_{2}}+{{X»}_{1}}}\right|^{a}}+{\left|{2{{X»}_{1}}+{{X»}_{2}}}\right|^{a}}\end{array}}\ }$

и:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L’}_{11}}\\{{L’}_{12}}\\{{L’}_{21}}\\{{L’}_{22}}\\{{L’}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{2/3}&0&0\\{-1/3}&0&0\\0&{-1/3}&0\\0&{-2/3}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{1}}\\{\alpha _{2}}\\{\alpha _{7}}\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L»}_{11}}\\{{L»}_{12}}\\{{L»}_{21}}\\{{L»}_{22}}\\{{L»}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{-2}&2&8&{-2}&0\\1&{-4}&{-4}&4&0\\4&{-4}&{-4}&4&0\\{-2}&8&2&{-2}&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{3}}\\{\alpha _{4}}\\{\alpha _{5}}\\{\alpha _{6}}\\{\alpha _{8}}\end{array}}\right]}$

где ${\displaystyle \alpha _{1}…\alpha _{8}}$ — восемь параметров Барлата Модель Yld2000-2D будет идентифицирована с помощью ряда экспериментов.

Laws

Definitions

Solids

Material failure theory

Structures

Fluids

Gases

Plasma