Подвижность электронов

В физике твердого тела подвижность электронов характеризует, насколько быстро электрон может перемещаться через металл или полупроводник, когда его толкает или тянет электрическое поле. Аналогичная величина существует для дырок, называемая подвижностью дырок. Термин подвижность носителей в целом относится как к подвижности электронов, так и к подвижности дырок.

Подвижность электронов и дырок является частным случаем электрической подвижности заряженных частиц в жидкости под действием приложенного электрического поля.

Когда электрическое поле E прикладывается к куску материала, электроны реагируют, двигаясь со средней скоростью, называемой скоростью дрейфа, ${\displaystyle v_{d}}$. Тогда подвижность электронов μ определяется как
$${\displaystyle v_{d}=\mu E.}$$

Подвижность электронов почти всегда указывается в единицах см2/(В⋅с). Это отличается от единицы подвижности СИ, м2/(В⋅с). Они связаны соотношением 1 м2/(В⋅с) = 104 см2/(В⋅с).

Проводимость пропорциональна произведению подвижности и концентрации носителей. Например, одна и та же проводимость может исходить от небольшого числа электронов с высокой подвижностью для каждого или большого числа электронов с малой подвижностью для каждого. Для полупроводников поведение транзисторов и других устройств может сильно различаться в зависимости от того, много ли электронов с низкой подвижностью или мало электронов с высокой подвижностью. Поэтому подвижность является очень важным параметром для полупроводниковых материалов. Почти всегда более высокая подвижность приводит к лучшей производительности устройства при прочих равных условиях.

Подвижность полупроводника зависит от концентрации примесей (включая концентрации доноров и акцепторов), концентрации дефектов, температуры, концентрации электронов и дырок. Это также зависит от электрического поля, особенно в сильных полях, когда происходит насыщение скорости. Это можно определить с помощью эффекта Холла или вывести из поведения транзистора.

Введение

Скорость дрейфа в электрическом поле

Без какого-либо приложенного электрического поля в твердом теле электроны и дырки движутся хаотично. Следовательно, в среднем не будет общего движения носителей заряда в каком-либо конкретном направлении с течением времени.

Однако при приложении электрического поля каждый электрон или дырка ускоряются электрическим полем. Если бы электрон находился в вакууме, он бы ускорялся до постоянно увеличивающейся скорости (это называется баллистическим переносом). Однако в твердом теле электрон многократно рассеивается на дефектах кристалла, фононах, примесях и т. д., так что он теряет часть энергии и меняет направление. Конечным результатом является то, что электрон движется с конечной средней скоростью, называемой скоростью дрейфа. Это чистое движение электрона обычно намного медленнее, чем обычно происходящее случайное движение.

Два носителя заряда, электроны и дырки, обычно имеют разные скорости дрейфа в одном и том же электрическом поле.

Квазибаллистический транспорт возможен в твердых телах, если электроны ускоряются на очень малом расстоянии (таком же малом, как длина свободного пробега) или в течение очень короткого времени (такого же короткого, как длина свободного пробега). В этих случаях скорость дрейфа и подвижность не имеют значения.

Определение и единицы измерения

Подвижность электронов определяется уравнением:
$${\displaystyle v_{d}=\mu _{e}E.}$$
где:

Подвижность дырок определяется похожим уравнением:
$${\displaystyle v_{d}=\mu _{h}E.}$$
Оба электронных и подвижности дырок положительны по определению.

Обычно скорость дрейфа электронов в материале прямо пропорциональна электрическому полю, что означает, что подвижность электронов является константой (независимой от электрического поля). Когда это не так (например, в очень больших электрических полях), подвижность зависит от электрического поля.

Единица скорости в системе СИ — м/с, а единица электрического поля в системе СИ — В/м. Поэтому единица подвижности в системе СИ — (м/с)/(В/м) = м2/(В⋅с). Однако подвижность гораздо чаще выражается в см2/(В⋅с) = 10−4 м2/(В⋅с).

Подвижность обычно является сильной функцией примесей материала и температуры и определяется эмпирически. Значения подвижности обычно представлены в виде таблицы или графика. Подвижность также различна для электронов и дырок в данном материале.

Вывод

Начиная со второго закона Ньютона:
$${\displaystyle a=F/m_{e}^{*}}$$
где:

Так как сила, действующая на электрон, равна −eE:
$${\displaystyle a=-{\frac {eE}{m_{e}^{*}}}}$$

Это ускорение электрона между столкновениями. Скорость дрейфа, таким образом, равна:
$${\displaystyle v_{d}=a\tau _{c}=-{\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}E,}$$ где ${\displaystyle \tau _{c}}$ — это среднее свободное время

Поскольку нас интересует только то, как скорость дрейфа изменяется с электрическим полем, мы объединяем свободные члены вместе, чтобы получить
$${\displaystyle v_{d}=-\mu _{e}E,}$$ где ${\displaystyle \mu _{e}={\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}}$

Аналогично, для отверстий мы имеем
$${\displaystyle v_{d}=\mu _{h}E,}$$ где ${\displaystyle \mu _{h}={\frac {e\tau _{c}}{m_{h}^{*}}}}$
Обратите внимание, что обе подвижности электронов и подвижность дырок положительны. Знак минус добавляется к скорости дрейфа электронов, чтобы учесть отрицательный заряд.

Отношение к плотности тока

Плотность дрейфового тока, возникающая из электрического поля, может быть рассчитана из скорости дрейфа. Рассмотрим образец с площадью поперечного сечения A, длиной l и концентрацией электронов n. Ток, переносимый каждым электроном, должен быть ${\displaystyle -ev_{d}}$, так что общая плотность тока, обусловленная электронами, равна по:
$${\displaystyle J_{e}={\frac {I_{n}}{A}}=-env_{d}}$$
Использование выражения для ${\displaystyle v_{d}}$ дает
$${\displaystyle J_{e}=en\mu _{e}E}$$
Похожий набор уравнений применяется к дыркам (отметим, что заряд на дырке положительный). Поэтому плотность тока из-за дырок определяется как
$${\displaystyle J_{h}=ep\mu _{h}E}$$
где p — концентрация дырок и ${\displaystyle \mu _{h}}$ подвижность отверстия.

Общая плотность тока представляет собой сумму электронной и дырочной компонент:
$${\displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E}$$

Отношение к проводимости

Ранее мы вывели соотношение между подвижностью электронов и плотностью тока
$${\displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E}$$
Теперь закон Ома можно записать в виде
$${\displaystyle J=\sigma E}$$
где ${\displaystyle \sigma }$ определяется как проводимость. Поэтому мы можем записать:
$${\displaystyle \sigma =en\mu _{e}+ep\mu _{h}}$$
который можно разложить на множители
$${\displaystyle \sigma =e(n\mu _{e}+p\mu _{h})}$$

Связь с диффузией электронов

В области, где n и p изменяются с расстоянием, на ток, обусловленный проводимостью, накладывается диффузионный ток. Этот диффузионный ток регулируется законом Фика:
$${\displaystyle F=-D_{\text{e}}\nabla n}$$
где:

Коэффициент диффузии носителя заряда связан с его подвижностью соотношением Эйнштейна. Для классической системы (например, газа Больцмана) это выглядит так:
$${\displaystyle D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}k_{\mathrm {B} }T}{e}}}$$
где:

Для металла, описываемого ферми-газом (ферми-жидкостью), следует использовать квантовую версию соотношения Эйнштейна. Обычно температура намного меньше энергии Ферми, в этом случае следует использовать следующую формулу:
$${\displaystyle D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}E_{F}}{e}}}$$
где:

Примеры

Типичная подвижность электронов при комнатной температуре (300 К) в таких металлах, как золото, медь и серебро, составляет 30–50 см2/(В⋅с). Подвижность носителей заряда в полупроводниках зависит от легирования. В кремнии (Si) подвижность электронов составляет порядка 1000, в германии — около 4000, а в арсениде галлия — до 10 000 см2/(В⋅с). Подвижность дырок обычно ниже и составляет от около 100 см2/(В⋅с) в арсениде галлия до 450 в кремнии и 2000 в германии.

Очень высокая подвижность была обнаружена в нескольких сверхчистых низкоразмерных системах, таких как двумерные электронные газы (2ДЭГ) (35 000 000 см2/(В⋅с) при низкой температуре), углеродные нанотрубки (100 000 см2/(В⋅с) при комнатная температура) и отдельно стоящий графен (200 000 см2/(В⋅с) при низкой температуре). Органические полупроводники (полимеры, олигомеры), разработанные к настоящему времени, имеют подвижность носителей ниже 50 см2/(В⋅с) и обычно ниже 1, а хорошо работающие материалы измеряются ниже 10.

Зависимость электрического поля и насыщение скорости

В слабых полях скорость дрейфа v_d пропорциональна электрическому полю E, поэтому подвижность μ постоянна. Это значение μ называется слабополевой подвижностью.

Однако по мере увеличения электрического поля скорость носителей увеличивается сублинейно и асимптотически к максимально возможному значению, называемому скоростью насыщения v_sat. Например, значение v_sat составляет порядка 1×107 см/с как для электронов, так и для дырок в Si. Оно составляет порядка 6×106 см/с для Ge. Эта скорость является характеристикой материала и сильно зависит от уровней легирования или примесей и температуры. Это одно из ключевых свойств материала и полупроводникового прибора, которые определяют предельную скорость отклика и частоту устройства, такого как транзистор.

Это явление насыщения скорости является результатом процесса, называемого рассеянием оптических фононов. В сильных полях носители достаточно ускоряются, чтобы набрать достаточную кинетическую энергию между столкновениями для испускания оптического фонона, и они делают это очень быстро, прежде чем снова ускоряются. Скорость, которую достигает электрон перед испусканием фонона, равна:
$${\displaystyle {\frac {m^{*}v_{\text{emit}}^{2}}{2}}\approx \hbar \omega _{\text{phonon (opt.)}}}$$
где ω_phonon(opt.) — угловая частота оптического фонона, а m* — эффективная масса носителя в направлении электрического поля. Значение E_{phonon (opt.)} составляет 0,063 эВ для Si и 0,034 эВ для GaAs и Ge. Скорость насыщения составляет всего половину v_emit, поскольку электрон стартует с нулевой скоростью и ускоряется до v_emit в каждом цикле. (Это несколько упрощенное описание.)

Насыщение скорости — не единственное возможное поведение сильного поля. Другим является эффект Ганна, когда достаточно сильное электрическое поле может вызвать междолинный перенос электронов, что снижает скорость дрейфа. Это необычно; увеличение электрического поля почти всегда увеличивает скорость дрейфа или же оставляет ее неизменной. Результатом является отрицательное дифференциальное сопротивление.

В режиме насыщения скорости (или других эффектов высокого поля) подвижность является сильной функцией электрического поля. Это означает, что подвижность является несколько менее полезной концепцией по сравнению с простым обсуждением скорости дрейфа напрямую.

Связь между рассеянием и подвижностью

Напомним, что по определению подвижность зависит от скорости дрейфа. Основным фактором, определяющим скорость дрейфа (помимо эффективной массы), является время рассеяния, т. е. как долго носитель баллистически ускоряется электрическим полем, пока не рассеется (столкнется) с чем-то, что изменит его направление и/или энергию. Наиболее важными источниками рассеяния в типичных полупроводниковых материалах, обсуждаемыми ниже, являются ионизированное примесное рассеяние и акустическое фононное рассеяние (также называемое решеточным рассеянием). В некоторых случаях могут быть важны другие источники рассеяния, такие как нейтральное примесное рассеяние, оптическое фононное рассеяние, поверхностное рассеяние и дефектное рассеяние.

Упругое рассеяние означает, что энергия (почти) сохраняется во время рассеяния. Некоторыми процессами упругого рассеяния являются рассеяние на акустических фононах, рассеяние на примесях, пьезоэлектрическое рассеяние и т. д. При рассеянии акустических фононов электроны рассеиваются из состояния k в k’, излучая или поглощая фонон волнового вектора q. Это явление обычно моделируется, предполагая, что колебания решетки вызывают небольшие сдвиги энергетических зон. Дополнительный потенциал, вызывающий процесс рассеяния, создается отклонениями зон из-за этих небольших переходов из замороженных положений решетки.

Рассеяние ионизированных примесей

Полупроводники легированы донорами и/или акцепторами, которые обычно ионизированы и, таким образом, заряжены. Кулоновские силы отклонят электрон или дырку, приближающиеся к ионизированной примеси. Это известно как рассеяние ионизированной примеси. Величина отклонения зависит от скорости носителя и его близости к иону. Чем сильнее легирован материал, тем выше вероятность того, что носитель столкнется с ионом за заданное время, и тем меньше среднее свободное время между столкновениями, и тем меньше подвижность. При определении силы этих взаимодействий из-за дальнодействующей природы кулоновского потенциала другие примеси и свободные носители приводят к значительному уменьшению диапазона взаимодействия с носителями по сравнению с голым кулоновским взаимодействием.

Если эти рассеиватели находятся вблизи границы раздела, сложность проблемы возрастает из-за существования кристаллических дефектов и нарушений. Центры захвата заряда, рассеивающие свободные носители заряда, во многих случаях образуются из-за дефектов, связанных с оборванными связями. Рассеяние происходит потому, что после захвата заряда дефект становится заряженным и, следовательно, начинает взаимодействовать со свободными носителями. Если рассеянные носители находятся в инверсионном слое на границе раздела, то пониженная размерность носителей отличает этот случай от случая объемного рассеяния на примесях, поскольку носители движутся только в двух измерениях. Шероховатость межфазной границы также вызывает рассеяние на короткие расстояния, ограничивающее подвижность квазидвумерных электронов на границе раздела.

Рассеяние на решетке (фононное)

При любой температуре выше абсолютного нуля вибрирующие атомы создают в кристалле волны давления (акустические), которые называются фононами. Как и электроны, фононы можно считать частицами. Фонон может взаимодействовать (сталкиваться) с электроном (или дыркой) и рассеивать его. При более высокой температуре фононов становится больше, и, таким образом, увеличивается рассеяние электронов, что имеет тенденцию уменьшать подвижность.

Пьезоэлектрическое рассеяние

Пьезоэлектрический эффект может возникнуть только в полупроводниковых соединениях из-за их полярной природы. Он мал в большинстве полупроводников, но может привести к локальным электрическим полям, которые вызывают рассеяние носителей, отклоняя их; этот эффект важен в основном при низких температурах, когда другие механизмы рассеяния слабы. Эти электрические поля возникают из-за искажения элементарной ячейки, когда деформация прикладывается в определенных направлениях в решетке.

Рассеивание шероховатости поверхности

Рассеивание шероховатости поверхности, вызванное беспорядком интерфейса, является рассеянием на коротких расстояниях, ограничивающим подвижность квазидвумерных электронов на интерфейсе. С помощью высокоразрешающих просвечивающих электронных микрофотографий было определено, что интерфейс не является резким на атомном уровне, но фактическое положение плоскости интерфейса изменяется на один или два атомных слоя вдоль поверхности. Эти изменения случайны и вызывают колебания энергетических уровней на интерфейсе, что затем вызывает рассеяние.

Рассеивание сплава

В составных (сплавных) полупроводниках, которыми являются многие термоэлектрические материалы, рассеяние, вызванное возмущением кристаллического потенциала из-за случайного расположения замещающих видов атомов в соответствующей подрешетке, известно как сплавное рассеяние. Это может происходить только в тройных или более сложных сплавах, поскольку их кристаллическая структура формируется путем случайной замены некоторых атомов в одной из подрешеток (подрешетке) кристаллической структуры. Как правило, это явление довольно слабое, но в определенных материалах или обстоятельствах оно может стать доминирующим эффектом, ограничивающим проводимость. В объемных материалах интерфейсное рассеяние обычно игнорируется.

Неупругое рассеяние

В процессе неупругого рассеяния происходит значительный обмен энергией. Как и в случае упругого рассеяния фононов, в неупругом случае потенциал возникает из-за деформаций энергетических зон, вызванных атомными колебаниями. Оптические фононы, вызывающие неупругое рассеяние, обычно имеют энергию в диапазоне 30-50 мэВ, для сравнения, энергии акустических фононов обычно меньше 1 мэВ, но некоторые могут иметь энергию порядка 10 мэВ. В процессе рассеяния происходит значительное изменение энергии носителей. Оптические или высокоэнергетические акустические фононы также могут вызывать междолинное или межзонное рассеяние, что означает, что рассеяние не ограничивается одной долиной.

Рассеяние электронов

В силу принципа исключения Паули электроны можно считать невзаимодействующими, если их плотность не превышает значения 1016~1017 см−3 или значения электрического поля 103 В/см. Однако значительно выше этих пределов начинает доминировать электрон-электронное рассеяние. Дальнодействие и нелинейность кулоновского потенциала, определяющего взаимодействия между электронами, затрудняют рассмотрение этих взаимодействий.

Связь между подвижностью и временем рассеяния

Простая модель дает приблизительное соотношение между временем рассеяния (средним временем между событиями рассеяния) и подвижностью. Предполагается, что после каждого события рассеяния движение носителя становится случайным, поэтому его средняя скорость равна нулю. После этого он равномерно ускоряется в электрическом поле, пока снова не рассеется. Результирующая средняя подвижность дрейфа равна:
$${\displaystyle \mu ={\frac {q}{m^{*}}}{\overline {\tau }}}$$
где q — элементарный заряд, m* — эффективная масса носителя, а τ — среднее время рассеяния.

Если эффективная масса анизотропна (зависит от направления), то m* — эффективная масса в направлении электрического поля.

Правило Маттиссена

Обычно присутствует более одного источника рассеяния, например, как примеси, так и фононы решетки. Обычно очень хорошим приближением является объединение их влияний, используя «Правило Маттиссена» (разработанное на основе работы Августа Маттиссена в 1864 году):

$${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}.}$$
где μ — фактическая мобильность, ${\displaystyle \mu _{\rm {impurities}}}$ — это подвижность, которую имел бы материал, если бы было рассеяние на примесях, но не было другого источника рассеяния, и ${\displaystyle \mu _{\rm {lattice}}}$ — это подвижность, которую имел бы материал, если бы существовало рассеяние фононов на решетке, но не было другого источника рассеяние. Для других источников рассеяния могут быть добавлены другие термины, например
$${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {defects}}}}+\cdots .}$$
Правило Маттиссена также можно сформулировать через время рассеяния:
$${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\tau _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {defects}}}}+\cdots .}$$
где τ — истинное среднее время рассеяния, а τ_{примеси} — время рассеяния, если имело место рассеяние на примесях, но не было другого источника рассеяния, и т. д.

Правило Маттиссена является приблизительным и не является универсальным. Это правило недействительно, если факторы, влияющие на подвижность, зависят друг от друга, поскольку отдельные вероятности рассеяния нельзя суммировать, если они не независимы друг от друга. Среднее свободное время полета носителя и, следовательно, время релаксации обратно пропорциональны вероятности рассеяния. Например, рассеяние на решетке изменяет среднюю скорость электронов (в направлении электрического поля), что, в свою очередь, изменяет тенденцию к рассеянию примесей. Существуют более сложные формулы, которые пытаются учесть эти эффекты.

Температурная зависимость подвижности

С ростом температуры концентрация фононов увеличивается и вызывает повышенное рассеяние. Таким образом, рассеяние на решетке снижает подвижность носителей заряда все больше и больше при более высокой температуре. Теоретические расчеты показывают, что подвижность в неполярных полупроводниках, таких как кремний и германий, определяется взаимодействием акустических фононов. Ожидается, что результирующая подвижность будет пропорциональна T −3/2, в то время как подвижность, обусловленная только оптическим рассеянием фононов, будет пропорциональна T −1/2. Экспериментальные значения температурной зависимости подвижности в Si, Ge и GaAs приведены в таблице.

Как ${\textstyle {\frac {1}{\tau }}\propto \left\langle v\right\rangle \Sigma }$, где ${\displaystyle \Sigma }$ — сечение рассеяния электронов и дырок при рассеивающий центр и ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$ — это тепловое среднее (статистика Больцмана) по всем скоростям электронов или дырок в нижней зоне проводимости или верхней валентной зоне, можно определить температурную зависимость подвижности. Здесь используется следующее определение сечения рассеяния: число частиц, рассеянных в телесный угол dΩ за единицу времени, деленное на число частиц на площадь за время (интенсивность падающего света), которое следует из классической механики. Поскольку статистика Больцмана справедлива для полупроводников ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle \sim {\sqrt {T}}}$.

Для рассеяния на акустических фононах при температурах, значительно превышающих температуру Дебая, расчетное сечение Σ_ph определяется из квадрата средней амплитуды колебаний фонона и пропорционально T. Рассеяние от заряженных дефектов (ионизированных доноров или акцепторов) приводит к сечению ${\displaystyle {\Sigma }_{\text{def}}\propto {\left\langle v\right\rangle }^{-4}}$. Эта формула представляет собой сечение рассеяния для «Резерфордовского рассеяния», где точечный заряд (носитель) движется мимо другого точечного заряда (дефекта), испытывая кулоновское взаимодействие.

Температурные зависимости этих двух механизмов рассеяния в полупроводниках можно определить, объединив формулы для τ, Σ и ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$, для рассеяния от акустических фононов ${\displaystyle {\mu }_{ph}\sim T^{-3/2}}$ и из заряженных дефектов ${\displaystyle {\mu }_{\text{def}}\sim T^{3/2}}$.

Однако эффект рассеяния ионизированной примеси уменьшается с ростом температуры, поскольку увеличиваются средние тепловые скорости носителей. Таким образом, носители проводят меньше времени вблизи ионизированной примеси, когда они проходят, и эффект рассеяния ионов, таким образом, уменьшается.

Эти два эффекта действуют одновременно на носители через правило Маттиссена. При более низких температурах доминирует рассеяние ионизированных примесей, в то время как при более высоких температурах доминирует рассеяние фононов, а фактическая подвижность достигает максимума при промежуточной температуре.

Неупорядоченные полупроводники

В то время как в кристаллических материалах электроны могут быть описаны волновыми функциями, распространенными на все твердое тело, это не относится к системам с заметным структурным беспорядком, таким как поликристаллические или аморфные полупроводники. Андерсон предположил, что за пределами критического значения структурного беспорядка электронные состояния будут локализованы. Локализованные состояния описываются как ограниченные конечной областью реального пространства, нормируемые и не способствующие переносу. Расширенные состояния распространяются по всему объему материала, не нормализуются и способствуют переносу. В отличие от кристаллических полупроводников, подвижность обычно увеличивается с температурой в неупорядоченных полупроводниках.

Многократный отлов и выпуск

Позже Мотт разработал концепцию мобильности. Это энергия ${\displaystyle E_{C}}$, выше которой электроны переходят из локализованных в делокализованные состояния. В этом описании, называемом множественным захватом и освобождением, электроны способны перемещаться только в расширенных состояниях и постоянно захватываются и снова освобождаются из локализованных состояний с более низкой энергией. Поскольку вероятность освобождения электрона из ловушки зависит от его тепловой энергии, подвижность в такой системе можно описать соотношением Аррениуса:

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-{\frac {E_{\text{A}}}{k_{\text{B}}T}}\right)}$$

где ${\displaystyle \mu _{0}}$ — префактор мобильности, ${\displaystyle E_{\text{A}}}$ — энергия активации, ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ — постоянная Больцмана, а ${\displaystyle T}$ — это температура. Энергия активации обычно оценивается путем измерения подвижности как функции температуры. Энергия Урбаха может использоваться в качестве заменителя энергии активации в некоторых системах.

Переменный диапазон прыжков

При низкой температуре или в системе с большой степенью структурного беспорядка (например, полностью аморфные системы) электроны не могут получить доступ к делокализованным состояниям. В такой системе электроны могут перемещаться только путем туннелирования из одного места в другое, в процессе, называемом переменным диапазоном прыжков. В оригинальной теории прыжков с переменной дальностью, разработанной Моттом и Дэвисом, вероятность ${\displaystyle P_{ij}}$, электрона переход с одного сайта ${\displaystyle i}$, на другой сайт ${\displaystyle j}$, зависит от их разделения в пространстве ${\displaystyle r_{ij}}$, и их разделение по энергии ${\displaystyle \Delta E_{ij}}$.

$${\displaystyle P_{ij}=P_{0}\exp \left(-2\alpha r_{ij}-{\frac {\Delta E_{ij}}{k_{B}T}}\right)}$$

Здесь ${\displaystyle P_{0}}$ — это префактор, связанный с фононом частота в материале и <> — перекрытие волновой функции параметр. Можно показать, что мобильность в системе, управляемой скачкообразным изменением диапазона, равна:

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-\left[{\frac {T_{0}}{T}}\right]^{-1/(d+1)}\right)}$$

где ${\displaystyle \mu _{0}}$ — префактор мобильности, ${\displaystyle T_{0}}$ — это параметр (с размерностью температуры), который количественно определяет ширину локализованных состояний, и ${\displaystyle d}$ — размерность системы.

Измерение подвижности полупроводников

Мобильность зала

Подвижность носителей заряда чаще всего измеряется с помощью эффекта Холла. Результат измерения называется «подвижностью Холла» (что означает «подвижность, выведенная из измерения эффекта Холла»).

Рассмотрим образец полупроводника с прямоугольным поперечным сечением, как показано на рисунках, ток течет в направлении x, а магнитное поле приложено в направлении z. Результирующая сила Лоренца будет ускорять электроны (материалы n-типа) или дырки (материалы p-типа) в направлении (−y) в соответствии с правилом правой руки и устанавливать электрическое поле ξ_y. В результате на образце возникает напряжение, которое можно измерить с помощью высокоомного вольтметра. Это напряжение, V_H, называется напряжением Холла. V_H отрицательно для материала n-типа и положительно для материала p-типа.

Математически сила Лоренца, действующая на заряд q, определяется выражением

Для электронов:
$${\displaystyle {\vec {F}}_{Hn}=-q({\vec {v}}_{n}\times {\vec {B}}_{z})}$$

Для отверстий:
$${\displaystyle {\vec {F}}_{Hp}=+q({\vec {v}}_{p}\times {\vec {B}}_{z})}$$

В устойчивом состоянии эта сила уравновешивается силой, создаваемой напряжением Холла, так что нет результирующей силы на носителях в направлении y. Для электронов,

$${\displaystyle {\vec {F}}_{y}=(-q){\vec {\xi }}_{y}+(-q)[{\vec {v}}_{n}\times {\vec {B}}_{z}]=0}$$

$${\displaystyle \Rightarrow -q\xi _{y}+qv_{x}B_{z}=0}$$

$${\displaystyle \xi _{y}=v_{x}B_{z}}$$

Для электронов поле направлено в направлении −y, а для дырок — в направлении +y.

Электронный ток I определяется выражением ${\displaystyle I=-qnv_{x}tW}$. Подставьте v_x в выражение для ξ_y,

$${\displaystyle \xi _{y}=-{\frac {IB}{nqtW}}=+{\frac {R_{Hn}IB}{tW}}}$$

где R_Hn — коэффициент Холла для электрона, который определяется как
$${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}}$$

Так как ${\displaystyle \xi _{y}={\frac {V_{H}}{W}}}$
$${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}={\frac {V_{Hn}t}{IB}}}$$

Аналогично, для отверстий
$${\displaystyle R_{Hp}={\frac {1}{pq}}={\frac {V_{Hp}t}{IB}}}$$

Из коэффициента Холла мы можем получить подвижность носителей следующим образом:
$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\left(-nq\right)\mu _{n}\left(-{\frac {1}{nq}}\right)\\&=-\sigma _{n}R_{Hn}\\&=-{\frac {\sigma _{n}V_{Hn}t}{IB}}\end{aligned}}}$$

Аналогично,
$${\displaystyle \mu _{p}={\frac {\sigma _{p}V_{Hp}t}{IB}}}$$

Здесь значение V_Hp (напряжение Холла), t (толщина образца), I (ток) и B (магнитное поле) можно измерить напрямую, а проводимости σ_n или σ_p либо известны, либо могут быть получены путем измерения удельного сопротивления.

Подвижность полевого эффекта

Подвижность также может быть измерена с помощью полевого транзистора (FET). Результат измерения называется «полевой подвижностью» (что означает «подвижность, выведенная из измерения полевого эффекта»).

Измерение может выполняться двумя способами: измерениями в режиме насыщения или измерениями в линейной области. (Описание различных режимов или областей работы см. в разделе MOSFET.)

Использование режима насыщения

В этой технике для каждого фиксированного напряжения затвора V_GS напряжение сток-исток V_DS увеличивается до тех пор, пока ток I_D не насытится. Затем квадратный корень этого насыщенного тока строится относительно напряжения затвора, и измеряется наклон m_sat. Тогда подвижность равна:
$${\displaystyle \mu =m_{\text{sat}}^{2}{\frac {2L}{W}}{\frac {1}{C_{i}}}}$$
где L и W — длина и ширина канала, а C_i — емкость затвора-изолятора на единицу площади. Это уравнение происходит от приближенного уравнения для MOSFET в режиме насыщения:
$${\displaystyle I_{D}={\frac {\mu C_{i}}{2}}{\frac {W}{L}}(V_{GS}-V_{th})^{2}.}$$
где V_th — пороговое напряжение. Это приближение игнорирует эффект Эрли (модуляцию длины канала) и другие вещи. На практике этот метод может недооценивать истинную подвижность.

Использование линейной области

В этой технике транзистор работает в линейной области (или «омическом режиме»), где V_DS мало и ${\displaystyle I_{D}\propto V_{GS}}$ с наклоном m_lin. Тогда подвижность равна:
$${\displaystyle \mu =m_{\text{lin}}{\frac {L}{W}}{\frac {1}{V_{DS}}}{\frac {1}{C_{i}}}.}$$
Это уравнение получено из приближенного уравнения для МОП-транзистора в линейной области:
$${\displaystyle I_{D}=\mu C_{i}{\frac {W}{L}}\left((V_{GS}-V_{th})V_{DS}-{\frac {V_{DS}^{2}}{2}}\right)}$$
На практике этот метод может переоценивать истинную подвижность, поскольку если V_DS недостаточно мал, а V_G недостаточно велик, МОП-транзистор может не оставаться в линейной области.

Оптическая мобильность

Подвижность электронов может быть определена с помощью измерений бесконтактной лазерной фоторефлективной техники. Серия измерений фоторефлективности выполняется по мере того, как образец проходит через фокус. Длина диффузии электронов и время рекомбинации определяются путем регрессионного подбора данных. Затем для расчета подвижности используется соотношение Эйнштейна.

Терагерцовая мобильность

Подвижность электронов можно рассчитать с помощью измерения терагерцового зонда с временным разрешением. Фемтосекундные лазерные импульсы возбуждают полупроводник, а полученная фотопроводимость измеряется с помощью терагерцового зонда, который обнаруживает изменения в терагерцовом электрическом поле.

Микроволновая проводимость с временным разрешением (TRMC)

Прокси для подвижности носителей заряда можно оценить с помощью микроволновой проводимости с временным разрешением (TRMC). Импульсный оптический лазер используется для создания электронов и дырок в полупроводнике, которые затем обнаруживаются как увеличение фотопроводимости. Зная поглощение образца, размеры и плотность потока падающего лазерного излучения, можно определить параметр ${\displaystyle \phi \Sigma \mu =\phi (\mu _{e}+\mu _{h})}$ можно оценить, где ${\displaystyle \phi }$ — выход генерации носителей (между 0 и 1), ${\displaystyle \mu _{e}}$ — подвижность электронов, а ${\displaystyle \mu _{h}}$ — подвижность отверстий. ${\displaystyle \phi \Sigma \mu }$ имеет те же размеры, что и подвижность, но тип носителя (электрон или дырка) скрыт.

Зависимость концентрации легирования в сильнолегированном кремнии

Носителями заряда в полупроводниках являются электроны и дырки. Их число контролируется концентрацией примесных элементов, т.е. концентрацией легирования. Таким образом, концентрация легирования оказывает большое влияние на подвижность носителей.

Несмотря на значительный разброс экспериментальных данных, для некомпенсированного материала (без противолегирования) для сильнолегированных подложек (т.е. ${\displaystyle 10^{18}\mathrm {cm} ^{-3}}$ и выше), подвижность в кремнии часто характеризуется эмпирическим соотношением:
$${\displaystyle \mu =\mu _{o}+{\frac {\mu _{1}}{1+\left({\frac {N}{N_{\text{ref}}}}\right)^{\alpha }}}}$$
где N — концентрация легирования (либо N_D, либо N_A), а N_ref и α — подходящие параметры. При комнатной температуре приведенное выше уравнение принимает вид:

Основные носители:
$${\displaystyle \mu _{n}(N_{D})=65+{\frac {1265}{1+\left({\frac {N_{D}}{8.5\times 10^{16}}}\right)^{0.72}}}}$$
$${\displaystyle \mu _{p}(N_{A})=48+{\frac {447}{1+\left({\frac {N_{A}}{6.3\times 10^{16}}}\right)^{0.76}}}}$$

Носители меньшинств:
$${\displaystyle \mu _{n}(N_{A})=232+{\frac {1180}{1+\left({\frac {N_{A}}{8\times 10^{16}}}\right)^{0.9}}}}$$
$${\displaystyle \mu _{p}(N_{D})=130+{\frac {370}{1+\left({\frac {N_{D}}{8\times 10^{17}}}\right)^{1.25}}}}$$

Эти уравнения применимы только к кремнию и только в слабом поле.