пластик Бингама

В материаловедении пластик Бингама — это вязкопластический материал, который ведет себя как твердое тело при низких напряжениях, но течет как вязкая жидкость при высоких напряжениях. Он назван в честь Юджина К. Бингама, который предложил его математическую форму.

Она используется как общая математическая модель потока бурового раствора в буровой технике и при работе со шламами. Обычным примером является зубная паста, которая не выдавливается, пока к трубке не будет приложено определенное давление. Затем она выталкивается как относительно целостная пробка.

Объяснение

На рисунке 1 красным цветом показан график поведения обычной вязкой (или ньютоновской) жидкости, например, в трубе. Если давление на одном конце трубы увеличивается, это создает напряжение в жидкости, стремящееся заставить ее двигаться (называемое напряжением сдвига), и объемный расход увеличивается пропорционально. Однако для жидкости Bingham Plastic (синим цветом) напряжение может быть приложено, но она не будет течь, пока не будет достигнуто определенное значение, предел текучести. После этой точки расход неуклонно увеличивается с увеличением напряжения сдвига. Примерно так Бингам представил свое наблюдение в экспериментальном исследовании красок. Эти свойства позволяют пластику Bingham иметь текстурированную поверхность с пиками и выступами вместо безликой поверхности, как у ньютоновской жидкости.

На рисунке 2 показано, как это обычно представляется в настоящее время. На графике показано напряжение сдвига по вертикальной оси и скорость сдвига по горизонтальной. (Объемный расход зависит от размера трубы, скорость сдвига является мерой того, как скорость изменяется с расстоянием. Она пропорциональна скорости потока, но не зависит от размера трубы.) Как и раньше, ньютоновская жидкость течет и дает скорость сдвига для любого конечного значения напряжения сдвига. Однако пластик Бингама снова не демонстрирует никакой скорости сдвига (нет течения и, следовательно, нет скорости) до тех пор, пока не будет достигнуто определенное напряжение. Для ньютоновской жидкости наклон этой линии представляет собой вязкость, которая является единственным параметром, необходимым для описания ее течения. Напротив, пластик Бингама требует двух параметров: предела текучести и наклона линии, известного как пластическая вязкость.

Физическая причина такого поведения заключается в том, что жидкость содержит частицы (например, глину) или крупные молекулы (например, полимеры), которые имеют некое взаимодействие, создавая слабую твердую структуру, ранее известную как ложное тело, и требуется определенное напряжение, чтобы разрушить эту структуру. После того, как структура разрушена, частицы движутся вместе с жидкостью под действием вязких сил. Если напряжение снимается, частицы снова ассоциируются.

Определение

Материал представляет собой упругое тело для напряжения сдвига ${\displaystyle \tau }$, меньше критического значения ${\displaystyle \tau _{0}}$. После превышения критического напряжения сдвига (или «предела текучести») материал течет таким образом, что скорость сдвига, ∂u/∂y (как определено в статье о вязкости), прямо пропорциональна величине, на которую приложенное напряжение сдвига превышает предел текучести:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}={\begin{cases}0,&\tau <\tau _{0}\\{\frac {\tau -\tau _{0}}{\mu _{\infty }}},&\tau \geq \tau _{0}\end{cases}}}$

Формулы коэффициента трения

В потоке жидкости часто возникает проблема расчета падения давления в установленной трубопроводной сети. Как только коэффициент трения, f, становится известным, становится проще решать различные проблемы потока в трубах, а именно, вычислять падение давления для оценки затрат на перекачку или находить расход в трубопроводной сети для заданного падения давления. Обычно крайне сложно прийти к точному аналитическому решению для расчета коэффициента трения, связанного с потоком неньютоновских жидкостей, и поэтому для его расчета используются явные приближения. После расчета коэффициента трения падение давления можно легко определить для заданного потока с помощью уравнения Дарси–Вейсбаха:

${\displaystyle f={2h_{\text{f}}gD \over LV^{2}}}$

где:

Ламинарный поток

Точное описание потерь на трение для пластиков Бингама в полностью развитом ламинарном потоке в трубе было впервые опубликовано Бакингемом. Его выражение, уравнение Бэкингема–Рейнера, может быть записано в безразмерной форме следующим образом:

${\displaystyle f_{\text{L}}={64 \over \operatorname {Re} }\left[1+{\operatorname {He} \over 6\operatorname {Re} }-{64 \over 3}\left({\operatorname {He} ^{4} \over f^{3}\operatorname {Re} ^{7}}\right)\right]}$

где:

Число Рейнольдса и число Хедстрема соответственно определяются как:

${\displaystyle \operatorname {Re} ={\rho VD \over \mu },}$ and

${\displaystyle \operatorname {He} ={\rho D^{2}\tau _{o} \over \mu ^{2}}}$

где:

Турбулентный поток

Дарби и Мелсон разработали эмпирическое выражение.
затем оно было уточнено и определяется следующим образом:

${\displaystyle f_{\text{T}}=4\times 10^{a}\operatorname {Re} ^{-0.193}}$

где:

Примечание: выражение Дарби и Мелсона относится к коэффициенту трения Фэннинга и его необходимо умножить на 4, чтобы использовать в уравнениях потерь на трение, приведенных в другом месте на этой странице.

Аппроксимации уравнения Букингема–Рейнера.

Хотя точное аналитическое решение уравнения Бекингема–Рейнера может быть получено, поскольку это полиномиальное уравнение четвертого порядка относительно f, из-за сложности решения оно редко используется. Поэтому исследователи пытались разработать явные приближения для уравнения Бекингема–Рейнера.

Уравнение Свами–Аггарвала

Уравнение Свами–Аггарвала используется для прямого решения коэффициента трения Дарси–Вейсбаха f для ламинарного течения пластичных жидкостей Бингама. Это приближение неявного уравнения Бекингема–Рейнера, но расхождение с экспериментальными данными находится в пределах точности данных. Уравнение Свами–Аггарвала задается следующим образом:

${\displaystyle f_{L}={64 \over \mathrm {Re} }+{64 \over \mathrm {Re} }\left({\mathrm {He} \over 6.2218\mathrm {Re} }\right)^{0.958}}$

Решение Даниша-Кумара

Дэниш и др. предоставили явную процедуру для расчета коэффициента трения f с использованием метода разложения Адомиана. Коэффициент трения, содержащий два члена, с помощью этого метода определяется как:

${\displaystyle f_{L}={\frac {K_{1}+{\dfrac {4K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{3}}}}{1+{\dfrac {3K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{4}}}}}}$

где

${\displaystyle K_{1}={16 \over \mathrm {Re} }+{16\mathrm {He} \over 6\mathrm {Re} ^{2}},}$

и

${\displaystyle K_{2}=-{16\mathrm {He} ^{4} \over 3\mathrm {Re} ^{8}}.}$

Объединенное уравнение для коэффициента трения для всех режимов течения

Уравнение Дарби–Мелсона

В 1981 году Дарби и Мелсон, используя подход Черчилля и Черчилля и Усаги, разработали выражение, позволяющее получить единое уравнение коэффициента трения, справедливое для всех режимов течения:

${\displaystyle f=\left[{f_{\text{L}}}^{m}+{f_{\text{T}}}^{m}\right]^{\frac {1}{m}}}$

где:

${\displaystyle m=1.7+{40000 \over \operatorname {Re} }}$

Оба уравнения Свами-Аггарвала и Дарби-Мелсона можно объединить, чтобы получить явное уравнение для определения коэффициента трения пластичных жидкостей Бингама в любом режиме. Относительная шероховатость не является параметром ни в одном из уравнений, поскольку коэффициент трения пластичных жидкостей Бингама не чувствителен к шероховатости трубы.