Пара (механика)

В механике пара — это система сил с результирующим (то есть чистым или суммарным) моментом силы, но без результирующей силы.

Более описательный термин — силовая пара или чистый момент. Его эффект заключается в придании углового момента, но не линейного импульса. В динамике твердого тела силовые пары являются свободными векторами, то есть их воздействие на тело не зависит от точки приложения.

Результирующий момент пары — это частный случай момента. Пара обладает тем свойством, что она не зависит от точки отсчета.

Пара — это пара сил, равных по величине, противоположно направленных и смещенных на перпендикулярное расстояние или момент.

Простейшая пара состоит из двух равных и противоположных сил, линии действия которых не совпадают. Это называется «простая пара». Силы оказывают вращающий эффект или момент, называемый крутящим моментом, вокруг оси, которая нормальна (перпендикулярна) плоскости сил. Единицей СИ для крутящего момента пары является ньютон-метр.

Если две силы равны F и −F, то величина крутящего момента определяется по следующей формуле:
$${\displaystyle \tau =Fd}$$
где

Величина крутящего момента равна F • d, причем направление крутящего момента задается единичным вектором ${\displaystyle {\hat {e}}}$, который перпендикулярен плоскости, содержащей две силы, и положительный, являющийся парой против часовой стрелки. Если d принимается как вектор между точками действия сил, то крутящий момент представляет собой векторное произведение d и F, т.е.
$${\displaystyle \mathbf {\tau } =|\mathbf {d} \times \mathbf {F} |.}$$

Момент силы определяется только относительно определенной точки P (говорят, что это «момент относительно P») и, вообще, когда P меняется, меняется момент. Однако момент (крутящий момент) пары независим от опорной точки P: любая точка будет давать один и тот же момент. Другими словами, пара, в отличие от любых более общих моментов, является «свободным вектором». (Этот факт называется Теоремой Вариньона о втором моменте.)

Доказательство этого утверждения следующее: предположим, что существует набор векторов сил F₁, F₂ и т. д., образующие пару, с векторами положения (около некоторого начала координат P), r ₁, r₂ и т. д. соответственно. Момент с P

Теперь мы выбираем новую опорную точку P’, которая отличается от P вектором r. Новый момент — это

Теперь из распределительного свойства векторного произведения следует

Однако определение пары сил означает, что

Поэтому,

Это доказывает, что момент не зависит от точки отсчета, что является доказательством того, что пара является свободным вектором.

Сила F, приложенная к твердому телу на расстоянии d от центра масс, оказывает тот же эффект, что и та же сила, приложенная непосредственно к центру масс и паре F. i>Cℓ = Fd. Пара создает угловое ускорение твердого тела под прямым углом к ​​плоскости пары. Сила в центре масс ускоряет тело в направлении действия силы без изменения ориентации. Общие теоремы таковы:

Пары очень важны в машиностроении и физических науках. Вот несколько примеров: