Отношения Рамберга–Осгуда

Уравнение Рамберга-Осгуда было создано для описания нелинейной зависимости между напряжением и деформацией, то есть кривой напряжение-деформация, в материалах вблизи их пределов текучести. Это особенно применимо к металлам, которые затвердевают пластической деформацией (см. наклеп), демонстрируя плавный упруго-пластический переход. Поскольку это феноменологическая модель, очень важно проверить ее соответствие реальным экспериментальным данным для конкретного интересующего материала.

В исходном виде уравнение деформации (деформации) имеет вид

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}+K\left({\frac {\sigma }{E}}\right)^{n}}$

здесь

${\displaystyle \varepsilon }$ is strain,

${\displaystyle \sigma }$ is stress,

${\displaystyle E}$ is Young’s modulus, and

${\displaystyle K}$ and ${\displaystyle n}$ are constants that depend on the material being considered. In this form, K and n are not the same as the constants commonly seen in the Hollomon equation.

Уравнение по сути предполагает, что упругая деформационная часть кривой напряжение-деформация, ${\displaystyle \varepsilon _{e}}$, может быть моделируется линией, в то время как пластиковая часть, ${\displaystyle \varepsilon _{p}}$, может быть смоделирована с помощью степенного закона. Упругие и пластические компоненты суммируются для нахождения общей деформации.

${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{e}+\varepsilon _{p}}$

Первый член в правой части, ${\displaystyle {\sigma }/{E}\,}$, равен упругой части деформации, в то время как второй член, ${\displaystyle \ K({\sigma }/{E})^{n}}$, учитывает пластиковую часть, параметры ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle n}$ описывающий поведение при затвердевании материала. Представляем предел текучести материала, ${\displaystyle \sigma _{0}}$ и определение нового параметра, ${\displaystyle \alpha }$, связанная с ${\displaystyle K}$ как ${\displaystyle \alpha =K({\sigma _{0}}/{E})^{n-1}\,}$, удобно переписать термин в крайней правой части следующим образом:

${\displaystyle \ K\left({\frac {\sigma }{E}}\right)^{n}=\alpha {\frac {\sigma }{E}}\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{n-1}}$

${\displaystyle \ K\left({\frac {\sigma }{E}}\right)^{n}=\alpha {\frac {\sigma }{E}}\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{n-1}}$

${\displaystyle \ K\left({\frac {\sigma }{E}}\right)^{n}=\alpha {\frac {\sigma }{E}}\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{n-1}}$

Заменив в первом выражении, уравнение Рамберга–Осгуда можно записать как

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}+\alpha {\frac {\sigma }{E}}\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{n-1}}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}+\alpha {\frac {\sigma }{E}}\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{n-1}}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}+\alpha {\frac {\sigma }{E}}\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{n-1}}$

Поведение при затвердевании и предел текучести

В последней форме модели Рамберга–Осгуда поведение упрочнения материала зависит от материальных констант ${\displaystyle \alpha \,}$ и ${\displaystyle n\,}$. Из-за степенной зависимости между напряжением и пластической деформацией модель Рамберга–Осгуда подразумевает, что пластическая деформация присутствует даже при очень низких уровнях напряжения. Тем не менее, для низких приложенных напряжений и для обычно используемых значений материальных констант ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle n}$, пластическая деформация остается незначительной по сравнению с упругой деформацией. С другой стороны, для уровней напряжения выше, чем ${\displaystyle \sigma _{0}}$, пластическая деформация становится все больше, чем упругая деформация.

Значение ${\displaystyle \alpha {\frac {\sigma _{0}}{E}}}$ можно рассматривать как yield offset, как показано на рисунке 1. Это происходит из-за того, что ${\displaystyle \varepsilon =(1+\alpha ){{\sigma _{0}}/{E}}\,}$, когда ${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}\,}$.

Соответственно (см. рисунок 1):

elastic strain at yield = ${\displaystyle {{\sigma _{0}}/{E}}\,}$

plastic strain at yield = ${\displaystyle \alpha ({\sigma _{0}}/E)\,}$ = yield offset

Обычно используемые значения для ${\displaystyle n\,}$ составляют ~5 или больше, хотя более точные значения обычно получаются путем подгонки растяжения (или компрессионные) экспериментальные данные. Значения для ${\displaystyle \alpha \,}$ также можно найти с помощью подгонки под экспериментальные данные, хотя для некоторых материалов это можно исправить в для того, чтобы иметь смещение текучести равным принятому значению деформации 0,2%, что означает:

${\displaystyle \alpha {\frac {\sigma _{0}}{E}}=0.002}$

${\displaystyle \alpha {\frac {\sigma _{0}}{E}}=0.002}$

${\displaystyle \alpha {\frac {\sigma _{0}}{E}}=0.002}$

Альтернативные формулировки

Можно найти несколько немного отличающихся альтернативных формулировок уравнения Рамберга-Осгуда. Поскольку модели являются чисто эмпирическими, часто бывает полезно попробовать разные модели и проверить, какая из них лучше всего подходит для выбранного материала.

Уравнение Рамберга-Осгуда также можно выразить с помощью параметров Холломона, где ${\displaystyle K}$ — коэффициент прочности (Па), а ${\displaystyle n}$ — коэффициент деформационного упрочнения (без единиц).

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}+\left({\frac {\sigma }{K}}\right)^{1/n}}$

В качестве альтернативы, если предел текучести, ${\displaystyle \sigma _{y}}$, предполагается, что он находится на смещении 0,2% деформации, можно вывести следующую зависимость. Обратите внимание, что ${\displaystyle n}$ снова соответствует определению в исходном уравнении Рамберга-Осгуда и является обратной величиной деформации Холломона коэффициент упрочнения.

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}+0.002\left({\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}\right)^{n}}$