Отношения Рамберга–Осгуда

Уравнение Рамберга–Осгуда было создано для описания нелинейной связи между напряжением и деформацией, то есть кривой напряжение–деформация, в материалах вблизи их пределов текучести. Оно особенно применимо к металлам, которые упрочняются пластической деформацией (см. упрочнение деформацией), демонстрируя плавный упруго-пластический переход. Поскольку это феноменологическая модель, проверка соответствия модели фактическим экспериментальным данным для конкретного интересующего материала имеет важное значение.

В исходном виде уравнение деформации (деформации) имеет вид

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}+K\left({\frac {\sigma }{E}}\right)^{n}}$

здесь

${\displaystyle \varepsilon }$ is strain,

${\displaystyle \sigma }$ is stress,

${\displaystyle E}$ is Young’s modulus, and

${\displaystyle K}$ and ${\displaystyle n}$ are constants that depend on the material being considered. In this form, K and n are not the same as the constants commonly seen in the Hollomon equation.

В уравнении по существу предполагается часть упругой деформации кривой напряжение-деформация, ${\displaystyle \varepsilon _{e}}$ можно моделировать с помощью линии, а пластиковую часть — ${\displaystyle \varepsilon _{p}}$, можно смоделировать с помощью степенного закона. Упругие и пластические компоненты суммируются, чтобы найти общую деформацию.

${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{e}+\varepsilon _{p}}$

Первый член справа: < > равен упругой части деформации, а второй член, ${\displaystyle \ K({\sigma }/{E})^{n}}$, учитывает пластиковую деталь, параметры ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle n}$, описывающее поведение материала при затвердевании. Представляем предел текучести материала, ${\displaystyle \sigma _{0}}$ и определение нового параметра ${\displaystyle \alpha }$, относится к ${\displaystyle K}$ как ${\displaystyle \alpha =K({\sigma _{0}}/{E})^{n-1}\,}$ удобно переписать термин в крайней правой части следующим образом:

${\displaystyle \ K\left({\frac {\sigma }{E}}\right)^{n}=\alpha {\frac {\sigma }{E}}\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{n-1}}$

${\displaystyle \ K\left({\frac {\sigma }{E}}\right)^{n}=\alpha {\frac {\sigma }{E}}\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{n-1}}$

${\displaystyle \ K\left({\frac {\sigma }{E}}\right)^{n}=\alpha {\frac {\sigma }{E}}\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{n-1}}$

Заменив первое выражение, уравнение Рамберга–Осгуда можно записать в виде

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}+\alpha {\frac {\sigma }{E}}\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{n-1}}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}+\alpha {\frac {\sigma }{E}}\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{n-1}}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}+\alpha {\frac {\sigma }{E}}\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{n-1}}$

Поведение при затвердевании и смещение текучести

В последней форме модели Рамберга-Осгуда поведение материала при затвердевании зависит от констант материала ${\displaystyle \alpha \,}$ и ${\displaystyle n\,}$. Из-за степенной зависимости между напряжением и пластической деформацией модель Рамберга-Осгуда предполагает, что пластическая деформация присутствует даже при очень низких уровнях напряжения. Тем не менее, для низких приложенных напряжений и для часто используемых значений констант материала ${\displaystyle \alpha }$ и << MATH3>>, пластическая деформация остается незначительной по сравнению с упругой деформацией. С другой стороны, для уровней стресса выше, чем ${\displaystyle \sigma _{0}}$ пластическая деформация становится все больше, чем упругая.

Значение ${\displaystyle \alpha {\frac {\sigma _{0}}{E}}}$ можно рассматривать как смещение доходности, как показано на рисунке 1. Это связано с тем, что ${\displaystyle \varepsilon =(1+\alpha ){{\sigma _{0}}/{E}}\,}$, когда < span class="mwe-math-element">${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}\,}$< img alt="{\displaystyle \sigma =\sigma _{0}\,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert Skin-invert" src="https ://.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57d6e9f3fef1ff71a4df280c155028a1af22a66" style="vertical-align: -0.671ex; ширина: 7,197ex; высота: 2.009ex;"/>.

Соответственно (см. рисунок 1):

elastic strain at yield = ${\displaystyle {{\sigma _{0}}/{E}}\,}$

plastic strain at yield = ${\displaystyle \alpha ({\sigma _{0}}/E)\,}$ = yield offset

Часто используемые значения для ${\displaystyle n\,}$ составляют ~5 или больше. , хотя более точные значения обычно получают путем подбора экспериментальных данных по растяжению (или сжатию). Значения для ${\displaystyle \alpha \,}$ также можно найти с помощью подгонки к экспериментальным данным, хотя для некоторых материалов ее можно зафиксировать, чтобы смещение текучести было равно принятому значению деформации 0,2%, что означает:

${\displaystyle \alpha {\frac {\sigma _{0}}{E}}=0.002}$

${\displaystyle \alpha {\frac {\sigma _{0}}{E}}=0.002}$

${\displaystyle \alpha {\frac {\sigma _{0}}{E}}=0.002}$

Альтернативные составы

Можно найти несколько немного отличающихся альтернативных формулировок уравнения Рамберга-Осгуда. Поскольку модели являются чисто эмпирическими, часто бывает полезно попробовать разные модели и проверить, какая из них лучше всего подходит для выбранного материала.

Уравнение Рамберга-Осгуда также можно выразить с использованием параметров Холломона, где ${\displaystyle K}$< /span> — коэффициент прочности (Па) и ${\displaystyle n}$ – коэффициент деформационного упрочнения (без единиц измерения).

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}+\left({\frac {\sigma }{K}}\right)^{1/n}}$

Альтернативно, если предел текучести, << MATH0>> предполагается при деформации смещения 0,2%, можно вывести следующее соотношение. Обратите внимание, что ${\displaystyle n}$ снова соответствует определению в оригинальном Ramberg- Уравнение Осгуда и является обратной величиной коэффициента деформационного упрочнения Холломона.

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}+0.002\left({\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}\right)^{n}}$