Ось зоны

Вектор решетки индексируется по его координатам в системе прямого базиса решетки ${\displaystyle \{{\bf {a}},{\bf {b}},{\bf {c}}\}}$ и обычно помещается в квадратные скобки []. Таким образом, прямой вектор решетки < > или <>, определено as ${\displaystyle u{\bf {a}}+v{\bf {b}}+w{\bf {c}}}$. Угловые скобки ⟨⟩ используются для обозначения симметрично эквивалентного класса векторов решетки (т.е. набора векторов, порожденных действием группы симметрии решетки). В случае например, кубическая решетка ⟨100⟩ представляет , , , [100], [010] и [001], поскольку каждый из этих векторов симметрично эквивалентен при повороте на 90 градусов вдоль оси A. координата эквивалентна отрицательному знаку (например, ${\displaystyle [{\overline {1}}00]=-{\bf {a}}}$).

Термин «ось зоны» более конкретно относится к направлению вектора решетки в прямом пространстве. Например, поскольку векторы решетки и параллельны, их ориентация соответствует зоне ⟨120⟩ кристалла. Подобно тому, как набор плоскостей обратной решетки в прямом пространстве соответствует вектору обратной решетки в дополнительном пространстве пространственных частот и импульсов, «зона» определяется как набор плоскостей обратной решетки в частотном пространстве, который соответствует вектору решетки в прямом пространстве. космос.

Обратное пространство, аналогичное оси зоны, представляет собой «нормаль плоскости решетки» или «направление g-вектора». Векторы обратной решетки (одной формы или осевой) индексируются по Миллеру с использованием координат в базисе обратной решетки ${\displaystyle \{{\bf {a}}^{*},{\bf {b}}^{*},{\bf {c}}^{*}\}}$ вместо этого, обычно между круглыми скобками () (аналогично квадратным скобкам [] для прямых векторов решетки). Фигурные скобки {} (не путать с математическим набором) используются для обозначения симметрично эквивалентного класса векторов обратной решетки, аналогично угловым скобкам ⟨⟩ для классов прямых векторов решетки.

Здесь ${\displaystyle {\bf {a}}^{*}\equiv (b\times c)/V_{c}}$, ${\displaystyle {\bf {b}}^{*}\equiv (c\times a)/V_{c}}$ и ${\displaystyle {\bf {c}}^{*}\equiv (a\times b)/V_{c}}$, где объем элементарной ячейки равен ${\displaystyle V_{c}={\bf {a}}\cdot ({\bf {b}}\times {\bf {c}})}$ (${\displaystyle \cdot }$ обозначает скалярное произведение, а ${\displaystyle \times }$ перекрестное произведение). Таким образом, вектор обратной решетки ${\displaystyle {\bf {g}}_{hkl}}$ или ${\displaystyle (hkl)=h{\bf {a}}^{*}+k{\bf {b}}^{*}+l{\bf {c}}^{*}}$ имеет направление, перпендикулярное кристаллографической плоскости, и величину ${\displaystyle g_{hkl}=1/d_{hkl}}$ равно обратной величине интервала ${\displaystyle d_{hkl}}$ между этими ${\displaystyle (hkl)}$ плоскости, измеряемые в единицах пространственной частоты, например, циклов на ангстрем (циклов/Å).

Полезное и довольно общее правило кристаллографических «дуальных векторных пространств в 3D», например, обратных решеток, заключается в том, что условие для прямого вектора решетки [uvw] (или оси зоны) быть перпендикулярным вектору обратной решетки (hkl) можно записать с помощью скалярного произведения как ${\displaystyle [uvw]\cdot (hkl)=uh+vk+wl=0}$. Это верно даже если, как это часто бывает, базисный векторный набор, используемый для описания решетки, не является декартовым.

Шаблоны зональной оси

В более широком смысле, [uvw] зональная диаграмма (ZAP) представляет собой дифракционную картину, полученную с помощью падающего луча, например электронов, рентгеновских лучей или нейтронов, движущихся вдоль направления решетки, заданного индексами оси зоны [uvw]. Из-за малой длины волны λ электроны высокой энергии, используемые в электронных микроскопах, имеют очень большой радиус сферы Эвальда (1/λ), так что дифракция электронов обычно «освещает» дифракционные пятна g-векторами ( hkl), которые перпендикулярны [uvw].

Одним из результатов этого, как показано на рисунке выше, является то, что зоны с «низким индексом» обычно перпендикулярны плоскостям решетки с «низким индексом Миллера», которые, в свою очередь, имеют малые пространственные частоты (значения g) и, следовательно, большую периодичность решетки. (d-расстояния). Возможная интуиция, лежащая в основе этого, заключается в том, что в электронной микроскопии электронные лучи должны быть направлены вниз по широким (т.е. легко видимым) туннелям между столбцами атомов в кристалле, направляя луч вниз в зону с низким индексом (и, следовательно, с высокой симметрией). ось может помочь.