Ортотропный материал

В материаловедении и механике твердого тела ортотропные материалы имеют материальные свойства в определенной точке, которые различаются вдоль трех ортогональных осей, где каждая ось имеет двойную вращательную симметрию. Эти направленные различия в прочности можно количественно оценить с помощью уравнения Ханкинсона.

Они являются подклассом анизотропных материалов, поскольку их свойства изменяются при измерении с разных направлений.

Знакомый пример ортотропного материала — древесина. В древесине можно определить три взаимно перпендикулярных направления в каждой точке, в которой свойства различны. Она наиболее жесткая (и прочная) вдоль волокон (осевое направление), поскольку большинство целлюлозных фибрилл выровнены таким образом. Она обычно наименее жесткая в радиальном направлении (между годичными кольцами) и является промежуточной в окружном направлении. Эта анизотропия была обеспечена эволюцией, поскольку она наилучшим образом позволяет дереву оставаться в вертикальном положении.

Поскольку предпочтительная система координат — цилиндрически-полярная, этот тип ортотропии также называется полярной ортотропией.

Другим примером ортотропного материала является листовой металл, сформированный путем сжатия толстых секций металла между тяжелыми роликами. Это сглаживает и растягивает его зернистую структуру. В результате материал становится анизотропным — его свойства различаются между направлением прокатки и каждым из двух поперечных направлений. Этот метод используется с пользой в балках из конструкционной стали и в алюминиевой обшивке самолетов.

Если ортотропные свойства различаются между точками внутри объекта, он обладает как ортотропией, так и неоднородностью. Это предполагает, что ортотропия является свойством точки внутри объекта, а не объекта в целом (если только объект не является однородным). Соответствующие плоскости симметрии также определяются для небольшой области вокруг точки и не обязательно должны быть идентичны плоскостям симметрии всего объекта.

Ортотропные материалы являются подмножеством анизотропных материалов; их свойства зависят от направления, в котором они измеряются. Ортотропные материалы имеют три плоскости/оси симметрии. Изотропный материал, напротив, имеет одинаковые свойства в каждом направлении. Можно доказать, что материал, имеющий две плоскости симметрии, должен иметь третью. Изотропные материалы имеют бесконечное число плоскостей симметрии.

Трансверсально изотропные материалы — это специальные ортотропные материалы, которые имеют одну ось симметрии (любая другая пара осей, перпендикулярных основной и ортогональных между собой, также является осями симметрии). Одним из распространенных примеров трансверсально изотропного материала с одной осью симметрии является полимер, армированный параллельными стеклянными или графитовыми волокнами. Прочность и жесткость такого композитного материала обычно будет больше в направлении, параллельном волокнам, чем в поперечном направлении, а направление толщины обычно имеет свойства, аналогичные поперечному направлению. Другим примером может служить биологическая мембрана, в которой свойства в плоскости мембраны будут отличаться от свойств в перпендикулярном направлении. Было показано, что свойства ортотропного материала обеспечивают более точное представление упругой симметрии кости, а также могут дать информацию о трехмерной направленности свойств материала на уровне ткани кости.

Важно помнить, что материал, который является анизотропным в одном масштабе длины, может быть изотропным в другом (обычно большем) масштабе длины. Например, большинство металлов являются поликристаллическими с очень мелкими зернами. Каждое из отдельных зерен может быть анизотропным, но если материал в целом состоит из множества случайно ориентированных зерен, то его измеренные механические свойства будут средним значением свойств по всем возможным ориентациям отдельных зерен.

Ортотропия в физике

Анизотропные материальные отношения

Материальное поведение представлено в физических теориях конститутивными отношениями. Большой класс физических поведений может быть представлен линейными материальными моделями, которые принимают форму тензора второго порядка. Материальный тензор обеспечивает связь между двумя векторами и может быть записан как

${\displaystyle \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d} }$

где ${\displaystyle \mathbf {d} ,\mathbf {f} }$ — два вектора, представляющие физические величины, и ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$ — материальный тензор второго порядка. Если выразить приведенное выше уравнение через компоненты относительно ортонормальной системы координат, то можно записать

${\displaystyle f_{i}=K_{ij}~d_{j}~.}$

В приведенном выше соотношении предполагается суммирование по повторяющимся индексам. В матричной форме имеем

${\displaystyle {\underline {\mathbf {f} }}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\mathbf {d} }}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}}$

Примеры физических проблем, соответствующих приведенному выше шаблону, приведены в таблице ниже.

Условие материальной симметрии

Матрица материалов ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}}$ имеет симметрию относительно заданного ортогонального преобразования (${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$), если он не изменяется при таком преобразовании.
Для сохранения неизменности свойств материала при таком преобразовании мы требуем

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}}$

Следовательно, условие материальной симметрии (используя определение ортогонального преобразования)

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}}$

Ортогональные преобразования могут быть представлены в декартовых координатах с помощью ${\displaystyle 3\times 3}$ матрицы ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$ задано

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.}$

Поэтому условие симметрии можно записать в матричной форме как

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

Свойства ортотропных материалов

Ортотропный материал имеет три ортогональные плоскости симметрии. Если мы выберем ортонормальную систему координат так, чтобы оси совпадали с нормалями к трем плоскостям симметрии, матрицы преобразования будут

${\displaystyle {\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{1}}}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$

Можно показать, что если матрица ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}}$ если материал инвариантен относительно отражения относительно двух ортогональных плоскостей, то он также инвариантен относительно отражения относительно третьей ортогональной плоскости.

Рассмотрим отражение ${\displaystyle {\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}}$ относительно ${\displaystyle 1-2\,}$ плоскости. Тогда у нас есть

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&-K_{13}\\K_{21}&K_{22}&-K_{23}\\-K_{31}&-K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}}$

Вышеуказанное соотношение подразумевает, что ${\displaystyle K_{13}=K_{23}=K_{31}=K_{32}=0}$. Далее рассмотрим отражение ${\displaystyle {\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}}$ относительно ${\displaystyle 1-3\,}$ плоскости. Тогда у нас есть

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&-K_{12}&0\\-K_{21}&K_{22}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}}$

Это означает, что ${\displaystyle K_{12}=K_{21}=0}$. Таким образом, свойства ортотропного материала описываются матрицей

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{22}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}}$

Ортотропия в линейной упругости

Анизотропная упругость

В линейной упругости соотношение между напряжением и деформацией зависит от типа рассматриваемого материала. Это соотношение известно как закон Гука. Для анизотропных материалов закон Гука можно записать как

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

где ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ — тензор напряжений, ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ — тензор деформации, а ${\displaystyle {\mathsf {c}}}$ — тензор упругой жесткости. Если тензоры в приведенном выше выражении описать в терминах компонент относительно ортонормированной системы координат, то можно записать

${\displaystyle \sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\varepsilon _{k\ell }}$

где суммирование предполагалось по повторяющимся индексам. Поскольку тензоры напряжения и деформации симметричны, а соотношение напряжение-деформация в линейной упругости может быть получено из функции плотности энергии деформации, для линейных упругих материалов справедливы следующие симметрии

${\displaystyle c_{ijk\ell }=c_{jik\ell }~,~~c_{ijk\ell }=c_{ij\ell k}~,~~c_{ijk\ell }=c_{k\ell ij}~.}$

Ввиду вышеуказанных симметрий соотношение между напряжением и деформацией для линейно-упругих материалов можно выразить в матричной форме как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Альтернативное представление в нотации Фойгта:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$

или

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}$

Матрица жесткости ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}}$ в приведенном выше соотношении удовлетворяет точечной симметрии.

Условие симметрии материала

Матрица жесткости ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}}$ удовлетворяет заданному условию симметрии, если оно не изменяется при соответствующем ортогональном преобразовании. Ортогональное преобразование может представлять симметрию относительно точки, оси или плоскости. Ортогональные преобразования в линейной упругости включают вращения и отражения, но не преобразования, изменяющие форму, и могут быть представлены в ортонормальных координатах с помощью ${\displaystyle 3\times 3}$ матрица ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} }}}}$ предоставлено

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} }}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.}$

В нотации Фойгта матрица преобразования для тензора напряжений может быть выражена как ${\displaystyle 6\times 6}$ матрица ${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}}$ задано

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&2A_{12}A_{13}&2A_{11}A_{13}&2A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&2A_{22}A_{23}&2A_{21}A_{23}&2A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&2A_{32}A_{33}&2A_{31}A_{33}&2A_{31}A_{32}\\A_{21}A_{31}&A_{22}A_{32}&A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\A_{11}A_{31}&A_{12}A_{32}&A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\A_{11}A_{21}&A_{12}A_{22}&A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}}$

Преобразование для тензора деформации имеет немного иную форму из-за выбора обозначений. Эта матрица преобразования имеет вид

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}}$

Можно показать, что ${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}^{-1}}$.

Упругие свойства континуума инвариантны относительно ортогонального преобразования ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} }}}}$ тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}}$

Матрицы жесткости и податливости в ортотропной упругости

Ортотропный упругий материал имеет три ортогональные плоскости симметрии. Если мы выберем ортонормальную систему координат так, чтобы оси совпадали с нормалями к трем плоскостям симметрии, матрицы преобразования будут

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} _{1}}}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {\mathbf {A} _{2}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {\mathbf {A} _{3}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$

Мы можем показать, что если матрица ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}}$ если линейный упругий материал инвариантен относительно отражения относительно двух ортогональных плоскостей, то он также инвариантен относительно отражения относительно третьей ортогональной плоскости.

Если мы рассмотрим отражение ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} _{3}}}}}$ относительно ${\displaystyle 1-2\,}$ плоскости, то имеем

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Тогда требование ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}}$ подразумевает, что

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&-C_{14}&-C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&-C_{24}&-C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&-C_{34}&-C_{35}&C_{36}\\-C_{14}&-C_{24}&-C_{34}&C_{44}&C_{45}&-C_{46}\\-C_{15}&-C_{25}&-C_{35}&C_{45}&C_{55}&-C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&-C_{46}&-C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}$

Вышеуказанное требование может быть выполнено только в том случае, если

${\displaystyle C_{14}=C_{15}=C_{24}=C_{25}=C_{34}=C_{35}=C_{46}=C_{56}=0~.}$

Давайте теперь рассмотрим отражение ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} _{2}}}}}$ относительно ${\displaystyle 1-3\,}$ плоскости. В этом случае

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

Используя условие инвариантности снова, мы получаем дополнительное требование, что

${\displaystyle C_{16}=C_{26}=C_{36}=C_{45}=0~.}$

Никакой дополнительной информации получить нельзя, поскольку отражение относительно третьей плоскости симметрии не является независимым от отражений относительно плоскостей, которые мы уже рассмотрели. Поэтому матрица жесткости ортотропного линейно-упругого материала может быть записана как

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}}$

Обратная матрица этой матрицы обычно записывается как

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {1}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {21}}}{E_{\rm {2}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {31}}}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {12}}}{E_{\rm {1}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {2}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {32}}}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {13}}}{E_{\rm {1}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {23}}}{E_{\rm {2}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {23}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {31}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {12}}}}\\\end{bmatrix}}}$

где ${\displaystyle {E}_{\rm {i}}\,}$ — модуль Юнга вдоль оси ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle G_{\rm {ij}}\,}$ — модуль сдвига в направлении ${\displaystyle j}$ на плоскости, нормаль которой направлена ​​в направлении ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle \nu _{\rm {ij}}\,}$ — коэффициент Пуассона, который соответствует сжатию в направлении ${\displaystyle j}$ когда расширение применяется в направлении ${\displaystyle i}$.

Границы модулей ортотропных упругих материалов

Зависимость деформации от напряжения для ортотропных линейно-упругих материалов можно записать в нотации Фойгта как

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\underline {\underline {\mathsf {S}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}}$

где матрица соответствия ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}}$ задается как

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&0&0&0\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&0&0&0\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&0&0&0\\0&0&0&S_{44}&0&0\\0&0&0&0&S_{55}&0\\0&0&0&0&0&S_{66}\end{bmatrix}}}$

Матрица податливости симметрична и должна быть положительно определенной, чтобы плотность энергии деформации была положительной. Из критерия Сильвестра следует, что все главные миноры матрицы положительны, т. е.

${\displaystyle \Delta _{k}:=\det({\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}})>0}$

где ${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}}}$ — это ${\displaystyle k\times k}$ главная подматрица ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}}$.

Затем,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}>0&\implies \quad S_{11}>0\\\Delta _{2}>0&\implies \quad S_{11}S_{22}-S_{12}^{2}>0\\\Delta _{3}>0&\implies \quad (S_{11}S_{22}-S_{12}^{2})S_{33}-S_{11}S_{23}^{2}+2S_{12}S_{23}S_{13}-S_{22}S_{13}^{2}>0\\\Delta _{4}>0&\implies \quad S_{44}\Delta _{3}>0\implies S_{44}>0\\\Delta _{5}>0&\implies \quad S_{44}S_{55}\Delta _{3}>0\implies S_{55}>0\\\Delta _{6}>0&\implies \quad S_{44}S_{55}S_{66}\Delta _{3}>0\implies S_{66}>0\end{aligned}}}$

Мы можем показать, что этот набор условий подразумевает, что

${\displaystyle S_{11}>0~,~~S_{22}>0~,~~S_{33}>0~,~~S_{44}>0~,~~S_{55}>0~,~~S_{66}>0}$

или

${\displaystyle E_{1}>0,E_{2}>0,E_{3}>0,G_{12}>0,G_{23}>0,G_{13}>0}$

Однако для значений коэффициентов Пуассона невозможно установить аналогичные нижние границы ${\displaystyle \nu _{ij}}$.

Laws

Definitions

Solids

Material failure theory

Structures

Fluids

Gases

Plasma