Оптимизация топологии

Оптимизация топологии — это математический метод, который оптимизирует расположение материалов в заданном пространстве проектирования для заданного набора нагрузок, граничных условий и ограничений с целью максимизации производительности системы. Оптимизация топологии отличается от оптимизации формы и оптимизации размеров в том смысле, что проект может принять любую форму в пространстве дизайна, вместо того, чтобы иметь дело с предопределенными конфигурациями.

Традиционная формулировка оптимизации топологии использует метод конечных элементов (МКЭ) для оценки характеристик конструкции. Конструкция оптимизируется с использованием либо методов математического программирования на основе градиента, таких как алгоритм критериев оптимальности и метод перемещения асимптот, либо алгоритмов, не основанных на градиенте, таких как генетические алгоритмы.

Оптимизация топологии имеет широкий спектр применения в аэрокосмической, машиностроительной, биохимической и гражданской инженерии. В настоящее время инженеры в основном используют оптимизацию топологии на уровне концепции процесса проектирования. Из-за свободных форм, которые возникают естественным образом, результат часто бывает трудно изготовить. По этой причине результат, возникающий в результате оптимизации топологии, часто дорабатывается для технологичности. Добавление ограничений в формулу с целью повышения технологичности является активной областью исследований. В некоторых случаях результаты оптимизации топологии могут быть непосредственно изготовлены с использованием аддитивного производства; таким образом, оптимизация топологии является ключевой частью проектирования для аддитивного производства.

Постановка задачи

Задачу оптимизации топологии можно записать в общей форме задачи оптимизации следующим образом:

{\begin{aligned}&{\underset {\rho }{\operatorname {minimize} }}&&F=F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )=\int _{\Omega }f(\mathbf {u(\rho ),\rho } )\mathrm {d} V\\&\operatorname {subject\;to} &&G_{0}(\rho )=\int _{\Omega }\rho \mathrm {d} V-V_{0}\leq 0\\&&&G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\rho )\leq 0{\text{ with }}j=1,…,m\end{aligned}}

Постановка задачи включает в себя следующее:

Оценка $\mathbf {u(\rho )}$ часто включает решение дифференциального уравнения. Чаще всего это делается с использованием метода конечных элементов, поскольку эти уравнения не имеют известного аналитического решения.

Методологии внедрения

Жидкость-Структура-Взаимодействие-Топология-Оптимизация-1

Существуют различные методологии реализации, которые используются для решения задач оптимизации топологии.

Решение с дискретными/бинарными переменными

Жидкость-Структура-Взаимодействие-Топология-Оптимизация-2

Решение задач оптимизации топологии в дискретном смысле осуществляется путем дискретизации области проектирования на конечные элементы. Плотность материала внутри этих элементов затем рассматривается как переменная задачи. В этом случае плотность материала, равная единице, указывает на наличие материала, а ноль указывает на отсутствие материала. Поскольку достижимая топологическая сложность конструкции зависит от количества элементов, большое их количество является предпочтительным. Большое количество конечных элементов увеличивает достижимую топологическую сложность, но имеет свою цену. Во-первых, решение системы МКЭ становится дороже. Во-вторых, недоступны алгоритмы, способные обрабатывать большое количество (нередко несколько тысяч элементов) дискретных переменных с множеством ограничений. Более того, они практически нечувствительны к изменениям параметров. В литературе сообщалось о проблемах с числом переменных до 30 000.

Решение задачи с непрерывными переменными

Ранее заявленные сложности с решением задач оптимизации топологии с использованием двоичных переменных заставили сообщество искать другие варианты. Одним из них является моделирование плотностей с непрерывными переменными. Плотности материалов теперь также могут достигать значений от нуля до единицы. Доступны основанные на градиенте алгоритмы, которые обрабатывают большие объемы непрерывных переменных и множественные ограничения. Но свойства материалов должны моделироваться в непрерывной обстановке. Это делается с помощью интерполяции. Одной из наиболее реализованных методологий интерполяции является метод Твердого изотропного материала со штрафом (SIMP). Эта интерполяция по сути является степенным законом $E\;=\;E_{0}\,+\,\rho ^{p}(E_{1}-E_{0})$ . Он интерполирует модуль Юнга материала в скалярное поле выбора. Значение параметра пенализации $p$ обычно принимается между $[1,\,3]$ . Было показано, что это подтверждает микроструктуру материалов. В методе SIMP добавляется нижняя граница модуля Юнга, $E_{0}$ , чтобы убедиться, что производные целевой функции не равны нулю, когда плотность становится нулевой. Чем выше фактор штрафования, тем больше SIMP штрафует алгоритм при использовании недвоичных плотностей. К сожалению, параметр штрафования также вносит невыпуклости.

Коммерческое программное обеспечение

Оптимизация топологии-поля-давления-взаимодействия-структуры-жидкости

На рынке есть несколько коммерческих программ для оптимизации топологии. Большинство из них используют оптимизацию топологии как подсказку о том, как должна выглядеть оптимальная конструкция, и требуется ручная реконструкция геометрии. Есть несколько решений, которые производят оптимальные конструкции, готовые для аддитивного производства.

Примеры

Структурное соответствие

Жесткая конструкция — это конструкция, которая имеет минимально возможное смещение при заданном наборе граничных условий. Глобальной мерой смещений является энергия деформации (также называемая податливостью) конструкции при заданных граничных условиях. Чем меньше энергия деформации, тем выше жесткость конструкции. Итак, целевая функция задачи – минимизация энергии деформации.

В широком смысле можно представить, что чем больше материала, тем меньше прогиб, поскольку будет больше материала, способного противостоять нагрузкам. Итак, оптимизация требует противоположного ограничения — ограничения объема. На самом деле это фактор стоимости, так как мы не хотели бы тратить много денег на материал. Чтобы получить общее количество используемого материала, можно выполнить интеграцию поля выбора по объему.

Наконец, дифференциальные уравнения, определяющие упругость, подставляются таким образом, чтобы получить окончательную постановку задачи.

\min _{\rho }\;\int _{\Omega }{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } :\mathbf {\varepsilon } \,\mathrm {d} \Omega

при условии:

Но прямая реализация такой задачи в рамках конечных элементов по-прежнему невозможна из-за таких проблем, как:

Некоторые методы, такие как фильтрация на основе обработки изображений, в настоящее время используются для решения некоторых из этих проблем. Хотя долгое время казалось, что это был чисто эвристический подход, теоретические связи с нелокальной эластичностью были сделаны для подтверждения физического смысла этих методов.

Мультифизические задачи

Эволюция топологии-оптимизации-недиагональной конструкции

Взаимодействие жидкости и структуры

Взаимодействие жидкости со структурой — это сильно связанное явление, касающееся взаимодействия неподвижной или движущейся жидкости и упругой структуры. Многие инженерные приложения и природные явления подвержены взаимодействию жидкости со структурой, и поэтому учет таких эффектов имеет решающее значение при проектировании многих инженерных приложений. Оптимизация топологии для задач взаимодействия жидких структур изучалась, например, в ссылки и. Ниже показаны расчетные решения, решенные для различных чисел Рейнольдса. Проектные решения зависят от потока жидкости и указывают на то, что связь между жидкостью и конструкцией решена в задачах проектирования.

Термоэлектрическое преобразование энергии

Эволюция конструкции-взаимодействия-жидкости-дизайна

Термоэлектричество — это мультифизическая проблема, которая касается взаимодействия и связи между электрической и тепловой энергией в полупроводниковых материалах. Термоэлектрическое преобразование энергии можно описать двумя отдельно выделенными эффектами: эффектом Зеебека и эффектом Пельтье. Эффект Зеебека касается преобразования тепловой энергии в электрическую, а эффект Пельтье касается преобразования электрической энергии в тепловую. Пространственно распределяя два термоэлектрических материала в двумерном пространстве проектирования с помощью методологии оптимизации топологии, можно превзойти производительность составляющих термоэлектрических материалов для термоэлектрических охладителей и термоэлектрических генераторов.

3F3D-форма соответствует принудительной 3D-печати

Оптимизация топологии контактной задачи с использованием подхода третьей среды

Нынешнее распространение технологий 3D-принтеров позволило дизайнерам и инженерам использовать методы оптимизации топологии при разработке новых продуктов. Оптимизация топологии в сочетании с 3D-печатью может привести к уменьшению веса, улучшению структурных характеристик и сокращению цикла от проектирования до производства. Поскольку конструкции, хотя и эффективны, могут быть невозможно реализовать с помощью более традиционных технологий производства.

Внутренний контакт

Оптимизация-топологии-поля-давления-взаимодействия-структуры-жидкости-4

Внутренний контакт можно включить в оптимизацию топологии, применив третий метод контакта со средой. Третий метод контакта со средой (TMC) представляет собой неявную контактную формулировку, которая является непрерывной и дифференцируемой. Это делает TMC подходящим для использования с градиентными подходами к оптимизации топологии.