Обобщенная модель Максвелла

Обобщенная модель Максвелла

Обобщенная модель Максвелла: Понимание вязкоупругости

Обобщенная модель Максвелла, также известная как модель Максвелла–Вихерта, представляет собой одну из самых универсальных форм линейной модели вязкоупругости. Эта модель была названа в честь выдающихся ученых Джеймса Клерка Максвелла и Э. Вихерта, которые внесли значительный вклад в развитие теории вязкоупругих материалов. В данной модели несколько элементов Максвелла соединяются параллельно, что позволяет более точно описывать поведение материалов под воздействием различных нагрузок.

Основные принципы обобщенной модели Максвелла

В отличие от простых моделей, которые предполагают, что релаксация материала происходит в один момент времени, обобщенная модель Максвелла учитывает, что этот процесс происходит в несколько этапов. Это связано с тем, что молекулы в материале имеют сегменты различной длины, и более короткие сегменты вносят меньший вклад в общую релаксацию, чем более длинные. Таким образом, в модели Вихерта используется множество пружинно-амортизационных элементов Максвелла, что позволяет более точно представлять распределение времени релаксации.

Общая модельная форма

Общая форма модели для твердых веществ может быть представлена следующим образом:

\[\sigma + \sum_{n=1}^{N} \left( \sum_{i_1=1}^{N-n+1} \ldots \left( \sum_{i_a=i_{a-1}+1}^{N-(n-a)+1} \ldots \left( \sum_{i_n=i_{n-1}+1}^{N} \left( \prod_{j \in \{i_1, \ldots, i_n\}} \tau_j \right) \right) \ldots \right) \ldots \right) \frac{\partial^n \sigma}{\partial t^n}\]

где \(\sigma\) — напряжение, \(\tau_j\) — время релаксации, а \(N\) — количество элементов в модели.

Твердые вещества

Для твердых веществ модель включает в себя элементы с различными модулями упругости \(E_i\), вязкостью \(\eta_i\) и временем релаксации \(\tau_i\), которые могут быть определены как:

\[\tau_i = \frac{\eta_i}{E_i}\]

Эта формула показывает, что время релаксации зависит от соотношения вязкости и упругости материала. Общая форма модели для твердых тел может быть записана как:

\[\sigma + \sum_{n=1}^{N} \left( \sum_{i_1=1}^{N-n+1} \ldots \left( \sum_{i_a=i_{a-1}+1}^{N-(n-a)+1} \ldots \left( \sum_{i_n=i_{n-1}+1}^{N} \left( \prod_{j \in \{i_1, \ldots, i_n\}} \tau_j \right) \right) \ldots \right) \ldots \right) \frac{\partial^n \sigma}{\partial t^n}\]

Жидкости

Обобщенная модель Максвелла также применяется к жидкостям, где элементы имеют аналогичные характеристики. В этом случае модель может быть представлена в следующем виде: