Обобщенная модель Максвелла

Обобщенная модель Максвелла, также известная как модель Максвелла–Вихерта (в честь Джеймса Клерка Максвелла и Э. Вихерта), является наиболее общей формой линейной модели вязкоупругости. В этой модели несколько элементов Максвелла собираются параллельно. Она учитывает, что релаксация происходит не в один момент времени, а в наборе моментов времени. Из-за наличия молекулярных сегментов разной длины, причем более короткие вносят меньший вклад, чем более длинные, существует различное распределение времени. Модель Вихерта показывает это, имея столько пружинно-амортизационных элементов Максвелла, сколько необходимо для точного представления распределения. На рисунке справа показана обобщенная модель Вихерта.

Общая модельная форма

Твердые вещества

Даны ${\displaystyle N+1}$ элементы с модулями ${\displaystyle E_{i}}$, вязкости ${\displaystyle \eta _{i}}$ и время релаксации ${\displaystyle \tau _{i}={\frac {\eta _{i}}{E_{i}}}}$

Общая форма модели для твердых тел имеет вид:

${\displaystyle \sigma +}$
${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{…\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{…\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},…,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)…}}\right)…}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}}$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle E_{0}\epsilon +}$
${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{…\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{…\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({E_{0}+\sum _{j\in \left\{{i_{1},…,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},…,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)…}}\right)…}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}}$

${\displaystyle \sigma +}$
${\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}+}$
${\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\sigma }}{\partial {t}^{2}}}}$
${\displaystyle +…+}$

${\displaystyle \left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{…\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{…\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},…,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)…}}\right)…}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}$
${\displaystyle +…+}$
${\displaystyle \left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\sigma }}{\partial {t}^{N}}}}$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle E_{0}\epsilon +}$
${\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N}{\left({E_{0}+E_{i}}\right)\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}+}$
${\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\left({E_{0}+E_{i}+E_{j}}\right)\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\epsilon }}{\partial {t}^{2}}}}$
${\displaystyle +…+}$

${\displaystyle \left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{…\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{…\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({E_{0}+\sum _{j\in \left\{{i_{1},…,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},…,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)…}}\right)…}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}$
${\displaystyle +…+}$
${\displaystyle \left({E_{0}+\sum _{j=1}^{N}E_{j}}\right)\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\epsilon }}{\partial {t}^{N}}}}$

Пример: стандартная линейная твердотельная модель

Следуя приведенной выше модели с элементами ${\displaystyle N+1=2}$, получаем стандартную линейную твердотельную модель:

${\displaystyle \sigma +\tau _{1}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}=E_{0}\epsilon +\tau _{1}\left({E_{0}+E_{1}}\right){\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}}$

Жидкости

Даны ${\displaystyle N+1}$ элементы с модулями ${\displaystyle E_{i}}$, вязкости ${\displaystyle \eta _{i}}$ и время релаксации ${\displaystyle \tau _{i}={\frac {\eta _{i}}{E_{i}}}}$

Общая форма модели для жидкостей имеет вид:

${\displaystyle \sigma +}$
${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{…\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{…\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},…,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)…}}\right)…}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}}$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\eta _{0}+\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{…\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{…\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({\sum _{j\in \left\{{i_{1},…,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},…,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)…}}\right)…}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}}$

${\displaystyle \sigma +}$
${\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}+}$
${\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\sigma }}{\partial {t}^{2}}}}$
${\displaystyle +…+}$

${\displaystyle \left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{…\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{…\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},…,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)…}}\right)…}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}$
${\displaystyle +…+}$
${\displaystyle \left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\sigma }}{\partial {t}^{N}}}}$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle {\left({\eta _{0}+\sum _{i=1}^{N}{E_{i}\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}+}$
${\displaystyle {\left({\eta _{0}+\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\left({E_{i}+E_{j}}\right)\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\epsilon }}{\partial {t}^{2}}}}$
${\displaystyle +…+}$

${\displaystyle \left({\eta _{0}+\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{…\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{…\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({\sum _{j\in \left\{{i_{1},…,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},…,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)…}}\right)…}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}$
${\displaystyle +…+}$
${\displaystyle \left({\eta _{0}+\left({\sum _{j=1}^{N}E_{j}}\right)\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}\right){\frac {\partial ^{N}{\epsilon }}{\partial {t}^{N}}}}$

Пример: трехпараметрическая жидкость

Аналогом стандартной линейной твердотельной модели является модель жидкости с тремя параметрами, также известная как модель Джеффриса:

${\displaystyle \sigma +\tau _{1}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}=\left({\eta _{0}+\tau _{1}E_{1}{\frac {\partial }{\partial t}}}\right){\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}}$