Напряжение цилиндра

В механике напряжение в цилиндре — это распределение напряжений с вращательной симметрией; то есть, который остается неизменным, если напряженный объект вращается вокруг некоторой фиксированной оси.

Модели напряжений цилиндра включают в себя:

Эти три главных напряжения — кольцевое, продольное и радиальное — можно рассчитать аналитически с использованием взаимно перпендикулярной трехосной системы напряжений.

Классическим примером (и тезкой) обручного напряжения является натяжение железных лент или обручей деревянной бочки. В прямой закрытой трубе любая сила, приложенная к стенке цилиндрической трубы из-за перепада давления, в конечном итоге приведет к возникновению кольцевых напряжений. Аналогично, если эта труба имеет плоские торцевые заглушки, любая сила, приложенная к ним статическим давлением, вызовет перпендикулярное осевое напряжение на той же стенке трубы. Тонкие сечения часто имеют пренебрежимо малое радиальное напряжение, но точные модели цилиндрических оболочек с толстыми стенками требуют учета таких напряжений.

В толстостенных сосудах высокого давления могут использоваться методы строительства, позволяющие получить благоприятные начальные схемы напряжений. Эти сжимающие напряжения на внутренней поверхности снижают общее кольцевое напряжение в цилиндрах высокого давления. Цилиндрические сосуды такого типа обычно изготавливаются из концентрических цилиндров, усаженных друг на друга (или расширенных друг в друга), т. е. сборных цилиндров с горячей посадкой, но также могут быть выполнены для отдельных цилиндров посредством автофреттажа толстых цилиндров.

Окружное напряжение — это сила, действующая по окружности (перпендикулярно оси и радиусу объекта) в обоих направлениях на каждую частицу в стенке цилиндра. Его можно описать как:

где:

Альтернативой кольцевому напряжению при описании окружного напряжения является напряжение стенки или натяжение стенки (T), которое обычно равно определяется как общая окружная сила, действующая по всей радиальной толщине:

Наряду с осевым напряжением и радиальным напряжением, окружное напряжение является компонентом тензора напряжений в цилиндрических координатах.

Обычно полезно разложить любую силу, приложенную к объекту с вращательной симметрией, на компоненты, параллельные цилиндрическим координатам r, z и θ. Эти компоненты силы вызывают соответствующие напряжения: радиальное напряжение, осевое напряжение и кольцевое напряжение соответственно.

Чтобы предположение о тонкостенности было действительным, толщина стенки сосуда должна составлять не более одной десятой (часто называемой диаметром / t> 20) его радиуса. Это позволяет рассматривать стенку как поверхность и впоследствии использовать уравнение Юнга – Лапласа для оценки окружного напряжения, создаваемого внутренним давлением на тонкостенном цилиндрическом сосуде под давлением:

где

Уравнение кольцевого напряжения для тонких оболочек также приблизительно справедливо для сферических сосудов, включая растительные клетки и бактерии, в которых внутреннее тургорное давление может достигать нескольких атмосфер. В практических инженерных приложениях для цилиндров (труб и трубок) кольцевое напряжение часто перестраивается для давления и называется формулой Барлоу.

Единицами системы дюйм-фунт-секунда (IPS) для P являются фунты-силы на квадратный дюйм (фунты на квадратный дюйм). Единицами для t и d являются дюймы (дюймы).
Единицами СИ для P являются паскали (Па), а для t и d=2r — метры (м). ).

Когда сосуд имеет закрытые концы, на них действует внутреннее давление, развивающее силу вдоль оси цилиндра. Оно известно как осевое напряжение и обычно меньше окружного напряжения.

Хотя это можно приблизить к

Существует также радиальное напряжение $\sigma _{r}\$ , которое развивается перпендикулярно поверхности и может быть оценено в тонкостенных цилиндрах как:

В предположении о тонкостенности отношение ${\dfrac {r}{t}}\$ велико, поэтому в большинстве случаев этот компонент считается незначительным по сравнению с окружным и осевым напряжениями.

Когда изучаемый цилиндр имеет коэффициент ${\text{radius}}/{\text{thickness}}$ менее 10 (часто обозначаемый как ${\text{diameter}}/{\text{thickness}}<20$ ) уравнения тонкостенного цилиндра больше не выполняются, поскольку напряжения значительно различаются между внутренней и внешней поверхностями, и напряжением сдвига в поперечном сечении больше нельзя пренебрегать.

Эти напряжения и деформации можно рассчитать с помощью уравнений Ламе — набора уравнений, разработанного французским математиком Габриэлем Ламе.

где:

Для цилиндра с граничными условиями:

получаются следующие константы:

Используя эти константы, получаем следующее уравнение для окружного напряжения:

Для сплошного цилиндра: $R_{i}=0$ , затем $B=0$ и сплошной цилиндр не может иметь внутреннее давление, поэтому $A=P_{o}$ .

Поскольку для толстостенных цилиндров отношение ${\dfrac {r}{t}}\$ меньше 10, радиальное напряжение, пропорционально остальным напряжениям, становится непренебрежимо малым ( т. е. P больше не намного, намного меньше, чем Pr/t и Pr/2t), и поэтому толщина стены становится основным фактором при проектировании (Harvey, 1974, стр. 57).

В теории сосудов под давлением любой элемент стенки оценивается в трехосной системе напряжений, причем тремя главными напряжениями являются окружное, продольное и радиальное. Следовательно, по определению не существует касательных напряжений в поперечной, тангенциальной или радиальной плоскостях.

В толстостенных цилиндрах максимальное касательное напряжение в любой точке определяется половиной алгебраической разности между максимальным и минимальным напряжениями, которая, следовательно, равна половине разности между кольцевым и радиальным напряжениями. Напряжение сдвига достигает максимума на внутренней поверхности, что важно, поскольку оно служит критерием разрушения, поскольку оно хорошо коррелирует с реальными испытаниями на разрыв толстых цилиндров (Harvey, 1974, стр. 57).

Разрушение определяется окружным напряжением в отсутствие других внешних нагрузок, поскольку оно является самым большим главным напряжением. Обратите внимание, что наибольшее напряжение обруч испытывает внутри (снаружи и внутри наблюдается одинаковая общая нагрузка, которая распределяется по разным окружностям); следовательно, трещины в трубах теоретически должны начинаться внутри трубы. Вот почему проверки труб после землетрясений обычно включают в себя помещение камеры внутрь трубы для проверки на наличие трещин.
Податливость определяется эквивалентным напряжением, которое включает окружное напряжение и продольное или радиальное напряжение, если оно отсутствует.

При патологии стенок сосудов или желудочно-кишечного тракта напряжение стенки представляет собой мышечное напряжение стенки сосуда. Согласно закону Лапласа, если в стенке кровеносного сосуда образуется аневризма, радиус сосуда увеличивается. Это означает, что внутренняя сила, действующая на сосуд, уменьшается, и, следовательно, аневризма будет продолжать расширяться, пока не разорвется. Похожая логика применима и к образованию дивертикулов в кишечнике.

Первый теоретический анализ напряжения в цилиндрах был разработан инженером середины XIX века Уильямом Фэйрберном при содействии его математического аналитика Итона Ходжкинсона. Их первый интерес заключался в изучении конструкции и неисправностей паровых котлов. Фэйрберн понял, что окружное напряжение в два раза превышает продольное напряжение, что является важным фактором при сборке корпусов котлов из катаных листов, соединенных клепкой. Позже работы были применены к строительству мостов и изобретению коробчатой балки. На Чепстоуском железнодорожном мосту чугунные опоры укреплены внешними полосами из кованого железа. Вертикальная, продольная сила – это сжимающая сила, которой чугун хорошо способен противостоять. Окружное напряжение является растягивающим, поэтому добавляется кованое железо, материал с большей прочностью на разрыв, чем чугун.