Модель фазового поля

Модель фазового поля – это математическая модель для решения межфазных задач. В основном его применяли к динамике затвердевания, но также применяли и к другим ситуациям, таким как вязкое образование пальцев, механика разрушения, водородное охрупчивание и динамика пузырьков.

Метод заменяет граничные условия на интерфейсе на частное дифференциальное уравнение для эволюции вспомогательного поля (фазового поля), которое играет роль параметра порядка. Это фазовое поле принимает два различных значения (например, +1 и −1) в каждой из фаз, с плавным изменением между обоими значениями в зоне вокруг интерфейса, которая затем размыта с конечной шириной. Дискретное местоположение интерфейса может быть определено как совокупность всех точек, где фазовое поле принимает определенное значение (например, 0).

Модель фазового поля обычно строится таким образом, что в пределе бесконечно малой ширины интерфейса (так называемый предел резкого интерфейса) восстанавливается правильная динамика интерфейса. Такой подход позволяет решить задачу путем интегрирования набора уравнений в частных производных для всей системы, избегая тем самым явного рассмотрения граничных условий на интерфейсе.

Модели фазового поля были впервые представлены Фиксом и Лангером, и к ним возрос интерес к затвердеванию и другим областям.

Уравнения модели фазового поля

Модели фазового поля обычно строятся для воспроизведения заданной межфазной динамики. Например, в задачах затвердевания динамика фронта задается уравнением диффузии либо для концентрации, либо для температуры в объеме, а также некоторыми граничными условиями на границе раздела (условие локального равновесия и закон сохранения), которые составляют модель четкой границы раздела.

Ряд формулировок модели фазового поля основан на функции свободной энергии, зависящей от параметра порядка (фазовое поле) и диффузионного поля (вариационные формулировки). Уравнения модели затем получаются с использованием общих соотношений статистической физики. Такая функция строится из физических соображений, но содержит параметр или комбинацию параметров, связанных с шириной интерфейса. Параметры модели затем выбираются путем изучения предела модели с этой шириной, стремящейся к нулю, таким образом, чтобы можно было идентифицировать этот предел с предполагаемой моделью четкого интерфейса.

Другие формулировки начинаются с прямой записи уравнений фазового поля, без ссылки на какой-либо термодинамический функционал (невариационные формулировки). В этом случае единственной ссылкой является модель резкого интерфейса, в том смысле, что она должна быть восстановлена ​​при выполнении предела малой ширины интерфейса модели фазового поля.

Уравнения фазового поля в принципе воспроизводят динамику межфазной границы, когда ширина межфазной границы мала по сравнению с наименьшим масштабом длины в задаче. При затвердевании эта шкала представляет собой длину капилляра < > , что представляет собой микроскопический масштаб. С вычислительной точки зрения интеграция уравнений в частных производных, разрешающих такой малый масштаб, является непомерно высокой. Однако Карма и Раппель ввели предел тонкой границы раздела, который позволил ослабить это условие и открыл путь к практическому количественному моделированию с использованием моделей фазового поля.
С ростом мощности компьютеров и теоретическим прогрессом в моделировании фазового поля модели фазового поля стали полезным инструментом для численного моделирования межфазных проблем.

Вариационные формулировки

Модель фазового поля может быть построена с использованием физических аргументов, если имеется явное выражение для свободной энергии системы. Простой пример проблем с затвердеванием следующий:

${\displaystyle F[e,\varphi ]=\int d{\mathbf {r} }\left[K|{\mathbf {\nabla } }\varphi |^{2}+h_{0}f(\varphi )+e_{0}u(\varphi )^{2}\right]}$

где ${\displaystyle \varphi }$ — поле фазы, ${\displaystyle u(\varphi )=e/e_{0}+h(\varphi )/2}$ , < > — локальная энтальпия на единицу объема, ${\displaystyle h}$ — это определенная полиномиальная функция ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle e_{0}={L^{2}}/{T_{M}c_{p}}}$ (где ${\displaystyle L}$< /span> — это скрытое тепло, < > — температура плавления, а <> — удельная теплоемкость). Термин с ${\displaystyle \nabla \varphi }$ соответствует межфазной энергии. Функция ${\displaystyle f(\varphi )}$ обычно принимается как двухъямный потенциал, описывающий плотность свободной энергии основной массы каждого фазы, которые сами по себе соответствуют двум минимумам функции ${\displaystyle f(\varphi )}$. Константы ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle h_{0}}$ имеют соответственно размерности энергии на единицу длины и энергии на единицу объема. Ширина интерфейса затем задается как ${\displaystyle W={\sqrt {K/h_{0}}}}$.
Модель фазового поля может быть получена из следующих вариационных соотношений:

${\displaystyle \partial _{t}\varphi =-{\frac {1}{\tau }}\left({\frac {\delta F}{\delta \varphi }}\right)+\eta ({\mathbf {r} },t)}$

${\displaystyle \partial _{t}e=De_{0}\nabla ^{2}\left({\frac {\delta F}{\delta e}}\right)-{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {q} }_{e}(\mathbf {r} ,t).}$

где D — коэффициент диффузии для переменной ${\displaystyle e}$ и << MATH1>> и ${\displaystyle \mathbf {q} _{e}}$ — стохастические члены, учитывающие тепловые флуктуации (статистические свойства которых можно получить из теоремы о диссипации флуктуаций). Первое уравнение дает уравнение эволюции фазового поля, тогда как второе — это уравнение диффузии, которое обычно переписывается для температуры или концентрации (в случае сплава). Эти уравнения масштабируют пространство с помощью ${\displaystyle l}$ и время с ${\displaystyle l^{2}/D}$:

${\displaystyle \alpha \varepsilon ^{2}\partial _{t}\varphi =\varepsilon ^{2}\nabla ^{2}\varphi -f'(\varphi )-{\frac {e_{0}}{h_{0}}}h'(\varphi )u+{\tilde {\eta }}({\mathbf {r} },t)}$

${\displaystyle \partial _{t}u=\nabla ^{2}u+{\frac {1}{2}}h'(\varphi )\partial _{t}\varphi -\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {q} _{u}(\mathbf {r} ,t)}$

где ${\displaystyle \varepsilon =W/l}$ — безразмерная ширина интерфейса, ${\displaystyle \alpha ={D\tau }/{W^{2}h_{0}}}$ и ${\displaystyle {\tilde {\eta }}({\mathbf {r} },t)}$, ${\displaystyle \mathbf {q} _{u}(\mathbf {r} ,t)}$ — это безразмерные шумы.

Альтернативные функции плотности энергии

Выбор функции свободной энергии, << MATH0>> , может оказать существенное влияние на физическое поведение интерфейса, поэтому его следует выбирать с осторожностью. Функция двойной ямы представляет собой аппроксимацию уравнения состояния Ван-дер-Ваальса вблизи критической точки и исторически использовалась из-за простоты реализации, когда модель фазового поля использовалась исключительно для целей отслеживания границы раздела. Но это привело к часто наблюдаемому явлению спонтанного сжатия капли, при котором высокая смешиваемость фаз, предсказанная уравнением состояния вблизи критической точки, допускает значительное взаимопроникновение фаз и в конечном итоге может привести к полному исчезновению капли, радиус которой меньше некоторого критическое значение. Минимизация воспринимаемых потерь непрерывности в течение всего моделирования требует ограничений на параметр «Подвижность», что приводит к тонкому балансу между межфазным размытием из-за конвекции, межфазным восстановлением из-за минимизации свободной энергии (т.е. диффузии на основе подвижности) и взаимопроникновением фаз, что также зависит от по мобильности. В недавнем обзоре альтернативных функций плотности энергии для приложений отслеживания интерфейса была предложена модифицированная форма функции двойных препятствий, которая позволяет избежать явления спонтанного сжатия капли и ограничений на подвижность, при этом сравнительные результаты позволяют провести ряд эталонных симуляций с использованием функции двойной ямы. функция и метод четкого интерфейса объема жидкости. Предлагаемая реализация имеет вычислительную сложность лишь немного большую, чем у функции двойной ямы, и может оказаться полезной для приложений отслеживания интерфейса модели фазового поля, где продолжительность / характер моделируемых явлений вызывает проблемы непрерывности фазы (т.е. небольшие капли , расширенное моделирование, несколько интерфейсов и т. д.).

Четкий интерфейсный предел уравнений фазового поля

Модель фазового поля может быть построена для целенаправленного воспроизведения заданной динамики межфазного слоя, представленной четкой моделью межфазного интерфейса. В таком случае должен быть установлен резкий предел интерфейса (т.е. предел, когда ширина интерфейса стремится к нулю) предлагаемого набора уравнений фазового поля. Этот предел обычно достигается путем асимптотического разложения полей модели по степеням ширины интерфейса ${\displaystyle \varepsilon }$. Эти расширения выполняются как в межфазной области (внутреннее расширение), так и в объеме (внешнее расширение), а затем асимптотически согласовываются по порядку. В результате получается уравнение в частных производных для диффузионного поля и ряд граничных условий на границе раздела, которые должны соответствовать модели острого интерфейса и сравнение которых с ней дает значения параметров модели фазового поля.

В то время как такие расширения были в ранних моделях фазового поля, выполненных до нижнего порядка в стиле ${\displaystyle \varepsilon }$, более поздние модели используют асимптотику более высокого порядка (тонкие пределы интерфейса), чтобы отменить нежелательные побочные эффекты или включить в модель новую физику. Например, этот метод позволил исключить кинетические эффекты, рассмотреть случаи с неодинаковыми коэффициентами диффузии в фазах, смоделировать вязкие пальцевые и двухфазные течения Навье–Стокса, включить в модель флуктуации и т. д.

Модели многофазного поля

В моделях многофазного поля микроструктура описывается набором параметров порядка, каждый из которых связан с определенной фазой или кристаллографической ориентацией. Эта модель в основном используется для фазовых превращений в твердом состоянии, при которых развивается несколько зерен (например, рост зерен, рекристаллизация или превращение первого порядка, такое как аустенит в феррит в ферритных сплавах). Помимо описания нескольких зерен в микроструктуре, модели многофазного поля особенно позволяют учитывать возникновение нескольких термодинамических фаз, например. в технических марках сплавов.

Фазовые модели на графах

Многие результаты для моделей континуального фазового поля имеют дискретные аналоги для графов, просто заменяя исчисление исчислением на графах.

Моделирование фазового поля в механике разрушения

Разрушение твердых тел часто анализируется численно в контексте конечных элементов с использованием дискретных или диффузных представлений трещин. Подходы, использующие представление конечных элементов, часто используют сильные разрывы, встроенные на внутриэлементном уровне, и часто требуют дополнительных критериев, основанных, например, на напряжениях, плотности энергии деформации или скоростях энерговыделения или других специальных обработках, таких как методы виртуального закрытия трещин и перераспределения сетки. для определения путей трещин. Напротив, подходы, использующие представление диффузной трещины, сохраняют непрерывность поля смещения, например, модели сплошного повреждения и теории разрушения фазового поля. Последнее восходит к переформулировке принципа Гриффита в вариационной форме и имеет сходство с моделями повреждения с градиентным усилением. Возможно, наиболее привлекательной характеристикой подходов к разрушению с использованием фазового поля является то, что зарождение трещин и траектории трещин автоматически определяются из задачи минимизации, которая объединяет энергии упругости и разрушения. Во многих ситуациях зарождение трещин можно правильно объяснить, прослеживая ветви критических точек, связанных с упругими растворами, до тех пор, пока они не потеряют устойчивость. В частности, модели разрушения с фазовым полем могут допускать зарождение даже тогда, когда плотность энергии упругой деформации пространственно постоянна.
Ограничением этого подхода является то, что зарождение основано на плотности энергии деформации, а не на напряжении. Альтернативная точка зрения, основанная на введении движущей силы нуклеации, направлена ​​на решение этой проблемы.

Модели фазового поля для коллективной миграции клеток

Группа биологических клеток может сложным образом передвигаться за счет потребления аденозинтрифосфата. Взаимодействия между клетками, такие как сплоченность или несколько химических сигналов, могут вызывать скоординированное движение. Это явление называется «коллективной миграцией клеток». Теоретической моделью этих явлений является модель фазового поля, которая включает фазовое поле для каждого вида клеток и дополнительные переменные поля, такие как концентрация хемотаксического агента. Такую модель можно использовать для таких явлений, как рак, заживление ран, морфогенез и явления эктоплазмы.

Программное обеспечение